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1、第6章数理统计的基本概念数理统计的基本概念总体与样本常用统计量统计抽样分翦螃疆究的性质、收集、整理数据 统计推断圉目 6.2总体与样本1 .总体：研究对象的全体(如：一批灯泡的寿命).样本简单随机抽样随机性:每个个体被抽到的机会均等每个可能的观察值独立性:每次抽取后不改变总体的成分试验的全部可能的观察值通常指研究对象的某项数量指标个体：组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)有限总体 如：考察某大学大一2000名男生的身高 Y无限总体如：测量一湖泊任一地点的深度总体对应一个r.v.X,笼统称总体X (或Y、Z大写表示)11 *话上出3来自总体X的样本X,，X可记为 InX，X吧X或八。尸(“),
2、 1II显然，样本张合分布国数或概率密度为F*(x ,x ,L ,x ) = PIF(x )12ni或 f*(x、x ,L ,x ) = Fl/(x) 12”ii=13.总体、样本、总体样本X.X ,L,X1 2n样本观察值的关一 样本观察值 xyx ,L,x 1 2 7T推蔚橇糠疹辘T样本观察值去 6.4统计量与抽样分布定义：设(X,X)是来自总体X的样本，称不含 未知参数的样本函数)为总体X的一 统计n注:统计量是一个一维随机变 量，例：设X/X,L ,X ,密来自总体N(u,O2)的样本，其 山。物未知参数，7二：2,是统计量X 是统计量1X二min为最小顺序统计量 iwiw为最大顺序统
3、计量1 口4” z(5 -01不是统计量圉目几个常用的统计量1 样本均值X二十 X n i.样本方差 S2=t(X-X)2w-1*样本标准s /反映总体均值(田的信息E( X)= E( X)反映总体方差。(的信息E(S2)= D(X)反映总体标准差的信息4.最小顺序统计X(i=min(XvXf.fX量X(n)=max(X/X.,X!注1：观察值用小写表示，记为X,S2,S,4 ,万z X(1)()3 .样本A阶(原点)矩AXa反映总体攵阶矩E(Xr)的信息 n i=ip E(Xk) - (j , k4一 2，欣必二机“x一 a/&=1,2,反映总体左阶中心矩E(XEX)k的信息， 10注2：注
4、3：S2,W(x 二x十(2、 G(X)= E(X), D(X)E(S2)二A p=A fk =E1例：1)设总体X兀(入)，样本x, ,X， 12n那么 (X) ；O(x)=.2)设总体XU(L 5),样本,，4，L ,10那么 E(3) ,D(X).统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：X2分布、t分布和F分布(一)X2分布构造：设 X,L ,X 3n(0,1)，贝!I1nX 2 = x 2J x 2 j . + x 2 X 2 ()称为自由度为n的X2分布注：假设X ,X,L,x来自正态总体nQ，o 2),那么 1 ZnJL nX2二y(x- haX2G2 rk-i2.
5、 X2分布具有可加设X X2（q）, X厂X2（？且X , X 2?相互独立.Xj + X 厂 X2(%+)推广：假设 Xj2：X2（）.且 X2jG= 1,2,L,A） 相互独立，+ L + 平：x2(4 + & + L +4.分布的分位点尸仅？ 45,有近似公X2（）：（ +J2-a 2 a16ElD(X2)=2t A)(x2) - nD(X2)- Ii1519213.t分布的分位点PT t (n) = ex a (0 a 45,有近似公式()= 2. F分布的性质1)假设 FF(n,n),那么12 F 2 12)假设 Tt(n),那么 T2F(l, n)3. F分布的分位点PF , n
6、= Q(0a F (n ) = 1 -a1-a12PFn,n)ra pF / 1 二0F F (,)：得证！-2EQII例 设X 0是取自N(0,0.32)的样本，求PX %21.44i/=1例设X,X ,L ,X是来自总体N (0, 1)的一个简单随 12X12 +%2 +L +X2机样本，那么丫=2(总+寸2 +L+线严从一分布.111215正态总体的抽样分布定理定理一、二、三设X,.,X是来总体N(|J,O2)的样本，X,S2分别为样 1”本均值和样本方差，那么_1。X NW,吟 即 X -已1(0,1) n。/、)-22。 X2( -1 )O 23。X与S2相互独立 41 :1)S八2
7、3证明：X =-Xx是个独立的正态匚上的线性组合 n i故服从正态分布证明：v_u,、_N(0,1)xQ1)o/No2(X)=-Ze(X ) = p n i ；=1J X二N(u，今 n圉目且两者独立.根堀t分布的松造定理四设X L，X 蚓N(|J ,02)： i q11x,s：y,，y 17;匕S2且两样本独立，那么 2例 在总体XN(80,202)中抽取容量为100的样本, 求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率.1。 170 20 212F(n -1 ,n -1)122。进一步，假定。广经二02,就有x-y- (u - us，*1 2例某种蔬菜的单棵重量XN(p,。2),其中标准差 。=2g。今随机抽出12棵.用S2记这12棵蔬菜重量的样 太方差.米(1)