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1、第九章MATLAB在概率统计中的应用第九章MATLAB在概率统计中的应用概率统计的应用十分广泛，几乎遍及所有科学技术领域以及工农业生产和国民经济各个部门中。例如，使用概率统计方法可以进行气象预报、水文预报、地震预报以及产品的抽样验收；在研制新产品时，为寻找最佳生产方案可用概率统计方法进行试验设计和数据处理；在可靠性的工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性及平均寿命的估计；在自动控制中可用它给出数学模型以便通过计算机控制工业生产；在通信工程中可用它来提高信号的抗干扰性和分辨率等等。在概率统计方面也出现了许多应用软件，如广为大家所知的概率统计的应用十分广泛，几乎遍及所有科学技术领域
2、以及工农业生产和国民经济各个部门中。例如，使用概率统计方法可以进行气象预报、水文预报、地震预报以及产品的抽样验收；在研制新产品时，为寻找最佳生产方案可用概率统计方法进行试验设计和数据处理；在可靠性的工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性及平均寿命的估计；在自动控制中可用它给出数学模型以便通过计算机控制工业生产；在通信工程中可用它来提高信号的抗干扰性和分辨率等等。在概率统计方面也出现了许多应用软件，如广为大家所知的SAS、STATIST、SPSS等等。在等等。在MATLAB较早的版本中，对概率统计的重视显然是不够的，功能也不是那么强大。而在较早的版本中，对概率统计的重视显然是不够
3、的，功能也不是那么强大。而在MATLAB6.0中，仅在中，仅在Statistic Toolbox中的功能函数就多达二百多个，功能已足以赶超任何其他专用统计软件。而且，在应用上中的功能函数就多达二百多个，功能已足以赶超任何其他专用统计软件。而且，在应用上MATLAB还具有他软件不可比拟的操作简单、接口方便、扩充能力强等优势，再加上众多的还具有他软件不可比拟的操作简单、接口方便、扩充能力强等优势，再加上众多的MATLAB爱好者已对爱好者已对MATLAB的使用方法比较熟悉。可以预见，的使用方法比较熟悉。可以预见，MATLAB将在不长的时间里在概率统计领域中占据极其重要的地位。在本章中，将对将在不长的
4、时间里在概率统计领域中占据极其重要的地位。在本章中，将对MATLAB在随机变量的在随机变量的数学特征、常用统计方法、常用随机数的产生、参数估计、区间估计、假设检验、方差分析和回归诊断及统计图的绘制数学特征、常用统计方法、常用随机数的产生、参数估计、区间估计、假设检验、方差分析和回归诊断及统计图的绘制等方面的应用作较为全面的介绍。等方面的应用作较为全面的介绍。9.1 统计量的数字特征统计量的数字特征9.1.1简单数学期望和几种均值简单数学期望和几种均值数学期望是概率统计中的重要概念，设有离散型随机变量，其分布为，则其数学期望是概率统计中的重要概念，设有离散型随机变量，其分布为，则其数学期望数学期
5、望可以表示为：可以表示为：()1,2,kkPxpk=?=1)(kkkpxxE其中是对应的概率。其中是对应的概率。kpkx给定一组样本值，给定一组样本值，样本均值样本均值为：为：,21nxxxx?=nkkxnxE11)(此时期望值等于各元素的算术平均值。在此时期望值等于各元素的算术平均值。在MATLAB中提供了函数中提供了函数mean，用来求这种简单期望值，用来求这种简单期望值(样本均值样本均值)。mean 平均值函数对于向量平均值函数对于向量x，mean(x)得到向量得到向量x的各分量平均值；对于矩阵的各分量平均值；对于矩阵X，mean(x)得到一行向量，此向量每一行值为矩阵列元素的平均值，对
6、于得到一行向量，此向量每一行值为矩阵列元素的平均值，对于N维数组维数组X，mean(x)得到沿得到沿X第一个非独立维的元素的平均值。第一个非独立维的元素的平均值。X=1 2 3;4 5 6;7 8 9；mean(X)ans=4 5 6 X=1 2 3；mean(X)ans=2Mean(X,DIM)得到得到X的的DIM维数的平均值维数的平均值 mean(X,1)ans=4 5 6mean(X,2)ans=258=9 8 76 5 43 2 1X【例【例9.1.1】随机地取】随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）计）74.001、74.005、74.003、
7、74.001、74.000、73.998、74.006、74.002。试求样本的均值。试求样本的均值。d=74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002;mean(d)ans=74.0020在在MATLAB命令窗口中输入对于有些情况下，各样本值还有与其相对应的权，这时只要先把样本值数组与权数组作点乘或样本值向量与权向量作点积，再把结果作简单期望运算即可。命令窗口中输入对于有些情况下，各样本值还有与其相对应的权，这时只要先把样本值数组与权数组作点乘或样本值向量与权向量作点积，再把结果作简单期望运算即可。【例【例9.1.2】设随机变量
8、】设随机变量X的分布律见下表，求和的值。的分布律见下表，求和的值。)(xE)53(2+xE解：的值解：的值)(xE x=-2 0 2;pk=0.4 0.3 0.3;sum(x.*pk)ans=-0.2000的值的值)53(2+xE z=3*x.2+5z=17 5 17 sum(z.*pk)ans=13.4000MATLAB还提供了其他几个求平均数的函数，如下：还提供了其他几个求平均数的函数，如下：nanmean(x)：把向量把向量x非数元素除外后的算术平均；非数元素除外后的算术平均；kp0.30.30.420-2x【例9.1.3】【例9.1.3】x=0,1,2,NaN;mean(x)ans=N
9、aNgeomean(x):求向量求向量x的几何平均的几何平均 nanmean(x)ans=1nnxxxxgeomean?21)(=x=2 4 8；geomean(x)ans=4harmmean(x):求向量求向量x的调和平均；的调和平均；nxxxnxharmmean111)(21+=?【例【例9.1.4】x=1,4x=1 4 harmmean(x)ans=1.6000 mean(x,percent):mean(x,percent):把向量x中最大和最小的percent/2的数据剔除后的数据平均。把向量x中最大和最小的percent/2的数据剔除后的数据平均。ans=47.5000【例【例9.1
10、.5】x=-1,0,5,8,9,65,98,100,150 200;trimmean(x,20)ans=54.3750 trimmean(x,40)9.1.2 数据比较数据比较在给定的一组数据中，还常要对它们进行最大、最小、中值的查找或对它们排序等操作。在在给定的一组数据中，还常要对它们进行最大、最小、中值的查找或对它们排序等操作。在MATLAB中也有这样的函数。中也有这样的函数。maxmax求变量的最大值元素。求变量的最大值元素。nanmaxnanmax求变量的忽略NAN的最大值元素。求变量的忽略NAN的最大值元素。min min 求变量的最小值元素。求变量的最小值元素。nanminnanm
11、in求变量的最小值元素（忽略NAN元素）。求变量的最小值元素（忽略NAN元素）。medianmedian求变量的中值。求变量的中值。nanmediannanmedian求变量的中值（忽略NAN元素）。求变量的中值（忽略NAN元素）。madmad求变量的绝对差分平均值。,求变量的绝对差分平均值。,sort sort 对变量由小到大排序。对变量由小到大排序。sortrowssortrows对矩阵按首行进行行排序。对矩阵按首行进行行排序。rangerange求变量的极差，即最大值与最小值的差。求变量的极差，即最大值与最小值的差。=njjxxnxmad1|1)(=njjxnx11mad(x)ans=2
12、4.4082 X=4 2 1;3 5 6;7 8 9sortrows(X)ans=3 5 64 2 17 8 9x=-1 2-6 9-5-9 98;maxval,maxInd=max(x)maxval=98maxInd=7minval,minInd=min(x)minval=-9minInd=6sort(x)ans=-9 -6 -5 -1 2 9 989.1.3 累积与累和累积与累和求向量或矩阵的元素累积或累和运算是比较常用的两类运算，在MATLAB中可由以下函数实现。求向量或矩阵的元素累积或累和运算是比较常用的两类运算，在MATLAB中可由以下函数实现。sumsum求向量或矩阵的元素累和。求
13、向量或矩阵的元素累和。nansumnansum忽略NAN求向量或矩阵的元素累和。忽略NAN求向量或矩阵的元素累和。cumsumcumsum求此元素位置以前的元素和。求此元素位置以前的元素和。cumtrapzcumtrapz梯形累和函数。梯形累和函数。cumprodcumprod求当前元素与所有前面位置的元素的积求当前元素与所有前面位置的元素的积【例【例9.1.7】x=-1 2 6 9 5 9 98;sum(x)ans=88cumsum(x)ans=-1 1 -5 4 -1 -10 88cumprod(x)ans=-1 -2 12 108 -540 4860 4762809.1.4 方差和标准差
14、方差和标准差对于一组采样数据，有时只从其累和或均值中还不能判断它们的质量好坏，为了表征随机变量与其均值的偏离程度，我们引入了方差或标准差。对于一组采样数据，有时只从其累和或均值中还不能判断它们的质量好坏，为了表征随机变量与其均值的偏离程度，我们引入了方差或标准差。方差方差表示为表示为)()()(2xExExVarxD=标准差标准差表示为表示为)()(xDx=对于样本来说，对于样本来说，样本方差样本方差为为=niixxns122)(11在在MATLAB中可由以下函数计算。中可由以下函数计算。1.var:1.var:方差函数。方差函数。var(x)若若x为向量则返回向量的样本方差值，若为向量则返回
15、向量的样本方差值，若x为矩阵则返回矩阵列向量的方差行向量。为矩阵则返回矩阵列向量的方差行向量。=niixxnx12)(11)var(var(x,1)函数返回向量（矩阵）函数返回向量（矩阵）x的简单方差（即置前因子为的简单方差（即置前因子为1/n的方差）的方差）=niixxnx12)(1)1,var(var(X,w)函数返回向量（矩阵）函数返回向量（矩阵）X即以即以w为权的方差。为权的方差。=niiiEXxwwX12)(),var(=niiixwEX1Nanvar:忽略忽略NAN的方差函数，函数调用形式同的方差函数，函数调用形式同var。2.std 标准差函数。标准差函数。std(x)函数返回向
16、量或矩阵函数返回向量或矩阵x的样本标准差（置前因子为的样本标准差（置前因子为1/n-1）。）。=niixxnxstd12)(11)(std(x,1)函数返回向量或矩阵函数返回向量或矩阵x的标准差（置前因子为的标准差（置前因子为1/n）。）。=niixxnxstd12)(1)1,(std(x,0)函数同函数同std(x)。std(x,flag,dim)函数返回向量（矩阵）中维数为函数返回向量（矩阵）中维数为dim的标准差值，其中的标准差值，其中flag=0时，置前因子为时，置前因子为1/n-1；否则，置前因子为；否则，置前因子为1/n。nanstd函数同函数同std。【例【例9.3】对例】对例9
17、.1中的样本值，求其方差值、样本方差值、标准差、样本标准差的值。中的样本值，求其方差值、样本方差值、标准差、样本标准差的值。d=74.0010,74.0050,74.0030,74.0010,74.0000,73.9980,74.0060,74.0020;var(d,1)%方差方差ans=6.0000e-006=niixxnx12)(1)1,var(var(d)%样本方差样本方差ans=6.8571e-006=niixxnx12)(11)var(std(d,1)%标准差标准差ans=0.0024211()()niistd xxxn=std(d)%样本标准差样本标准差ans=0.0026=nii
18、xxnxstd12)(11)(9.1.5 偏度和峰度为描述随机变量分布的形状与对称形式或正态分布型的偏离程度，引入了特征量：为描述随机变量分布的形状与对称形式或正态分布型的偏离程度，引入了特征量：偏度偏度和和峰度峰度。1.偏度偏度的定义为。1.偏度偏度的定义为)()(31xDxExEv=此函数表征分布形状偏斜对称的程度，若则可以认为分布是此函数表征分布形状偏斜对称的程度，若则可以认为分布是对称的对称的，若则称为，若则称为右偏态右偏态，此时位于均值右边的值比位于左边的值多一些；反之，则称为左偏态即位于均值左边的值比位于右边的值多一些。正态分布的偏度为，此时位于均值右边的值比位于左边的值多一些；反
19、之，则称为左偏态即位于均值左边的值比位于右边的值多一些。正态分布的偏度为0。01=v01v此函数在此函数在MATLAB中由功能函数中由功能函数skewness实现。其调用形式为：实现。其调用形式为：skewness随机分布的偏度函数随机分布的偏度函数 skewness(x)若若x为向量则函数返回此向量的偏斜度，若为向量则函数返回此向量的偏斜度，若x为矩阵则返回矩阵列向量的偏斜度行向量。为矩阵则返回矩阵列向量的偏斜度行向量。)()(1)(313xDxxnxskewnessnii=niixxnxD12)(1)(2.峰度峰度的定义为峰度峰度的定义为)()(42xDxExEv=若，表示分布有沉重的若，
20、表示分布有沉重的“尾巴尾巴”，即数据中含有较多偏离均值的数据，对于正态分布，故的值也可看成是数据偏离正态分布的尺度。在，即数据中含有较多偏离均值的数据，对于正态分布，故的值也可看成是数据偏离正态分布的尺度。在MATLAB中此函数由中此函数由kurtosis实现。实现。02v32=v2vkurtosis(x)若若x为向量则函数返回此向量的峰度，若为矩阵则返回矩阵列向量的峰度行向量。为向量则函数返回此向量的峰度，若为矩阵则返回矩阵列向量的峰度行向量。kurtosis 随机分布的峰度函数。随机分布的峰度函数。)()(1)(414xDxxnxkurtosisnii=niixxnxD12)(1)(ske
21、wnessl=skewness(w)skewnessl=-0.2512 kurtosisl=kurtosis(w)kurtosisl=2.8762【例9.4】有15名学生的体重（单位为kg）为75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0。计算此15名学生体重的均值、标准差、偏斜度和峰度。【例9.4】有15名学生的体重（单位为kg）为75.0，64.0，47.4，66.9，62.2，62.2，58.7，63.5，66.6，64，57.0，61.0，56.9，50.0，72.0。计算此15名学生体重
22、的均值、标准差、偏斜度和峰度。解：在解：在MATLAB命令窗口中输入命令窗口中输入w=75.0,64.0,47.4,66.9,62.2,62.2,58.7,63.5,66.6,64,57.0,61.0,56.9,50.0,72.0;meanl=mean(w)meanl=61.8267 stdl=std(w)stdl=7.29059.1.6 协方差和相关系数协方差和相关系数对于二维随机变量（对于二维随机变量（X,Y），除了讨论），除了讨论X与与Y的数学期望和方差以外，还需讨论描述的数学期望和方差以外，还需讨论描述X与与Y之间相互关系的数学特征，这里将介绍协方差和相关系数之间相互关系的数学特征，这
23、里将介绍协方差和相关系数。引入以下定义：引入以下定义：)()(),cov(yEyxExEyx=)()(),cov(),(yDxDyxyxcof=协方差相关系数在协方差相关系数在MATLAB中这两个量分别由功能函数中这两个量分别由功能函数cov和和corrcoef来实现。来实现。cov(x)x为向量时，函数返回此向量的方差，为向量时，函数返回此向量的方差，x为矩阵时，函数返回此矩阵的协方差矩阵，其中协方差矩阵的对角元素是为矩阵时，函数返回此矩阵的协方差矩阵，其中协方差矩阵的对角元素是x矩阵的列向量的方差值。矩阵的列向量的方差值。cov(x,y)函数返回向量函数返回向量x、y的协方差矩阵，且的协方
24、差矩阵，且x、y的维数必须相同。的维数必须相同。,则则cov(x,y)返回返回),(21nxxxx?=),(21nyyyy?=22211211aaaa)var(),var(2211yaxa=njjjyyxxnaa12112)(1122矩阵其中矩阵其中cov(x)返回向量返回向量x的样本协方差（矩阵），即置前因子为的样本协方差（矩阵），即置前因子为1/n-1，也可写成，也可写成cov(x,0)。cov(x,1)返回向量的协方差（矩阵），置前因子为返回向量的协方差（矩阵），置前因子为1/n。cov(x,y)与与cov(x,y,1)的区别同上。的区别同上。corrcoef(x,y)函数返回列向量函数
25、返回列向量x、y的相关系数。的相关系数。corrcoef(x)函数返回矩阵函数返回矩阵x的列元的相关系数矩阵。的列元的相关系数矩阵。a=1,2,1,2,2,1;var(a)ans=0.3000【例【例9.5】协方差矩阵函数和相关系数函数应用示例。对向量】协方差矩阵函数和相关系数函数应用示例。对向量 cov(a)ans=0.3000 d=rand(2,6)d=0.9218 0.1763 0.9355 0.4103 0.0579 0.81320.7382 0.4057 0.9169 0.8936 0.3529 0.0099对矩阵对矩阵 covl=cov(d)covl=0.0169 -0.0211
26、0.0017 -0.0444 -0.0271 0.0737-0.0211 0.0263 -0.0021 0.0555 0.0338 -0.09220.0017 -0.0021 0.0002 -0.0045 -0.0027 0.0075-0.0444 0.0555 -0.0045 0.1168 0.0713 -0.1942-0.0271 0.0338 -0.0027 0.0713 0.0435 -0.11850.0737 -0.0922 0.0075 -0.1942 -0.1185 0.3226 covzhi=covl(1,2)%第一个列向量与第二个列向量的协方差第一个列向量与第二个列向量的协方差covzhi=-0.0211 covzhi=covl(1,3)%第一个列向量与第三个列向量的协方差第一个列向量与第三个列向量的协方差covzhi=0.00179.1.7 协方差矩阵9.1.7 协方差矩阵对于二维随机变量（对于二维随机变量（X,Y），定义协方差矩阵），定义协方差矩阵=22211211),cov(CCCCyx)()()()()()(2222112211yEyECxExyEyECyEyxExECxExEC=其中：在其中：在MATLAB中实现协方差矩阵的函数与实现协方差的函数一样，参看中实现协方差矩阵的函数与实现协方差的函数一样，参看9.1.6节。节。