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1、-1-数理统计习题数理统计习题 1 1 样本与抽样分布样本与抽样分布 1设总体X服从参数为2的指数分布，1X，2X，10X为X的样本，X与2nS分别为样本均数和样本方差，求 XE，XD，)(2nSE。2 设1X，2X，nX是 来 自 正 态 总 体22,10N的 样 本，且95.098.1002.9 XP，求样本容量值。3设1,0 NX，1X，2X是总体X的样本，则21XXY 服从什么分布？4 设在正态总体2,N中抽取一个样本容量为16的样本，算的样本方差为2S。（1）若未知，求04.222SP；（2）若22，求2S的方差。5已知样本1X，2X，nX的样本均数为nX，样本方差为2nS。在样本中
2、再增加一个1nX，证明（1）11111nnnXnXnnX；（2）21221111nnnnXXnSnnS。6设1X，2X，nX是来自正态总体2,N的样本，令niiiiXnXY11，ni,2,1，求iY服从的分布及相应的概率密度函数。7设1X，2X，6X是总体2,0N的样本，且 btXXXXXXa654321，求常数a，b。8设总体X服从参数为的泊松分布，1X，2X，nX为X的样本，求随机向量（1X，2X，nX）的联合分布列。-2-9已知1X，2X是总体2,0N的样本，求221221XXXXY的分布。10设1X，2X，nX相互独立，且它们都服从同一个两点分布pXP1，pXP10，证明X=1X+2X
3、+nXpnB,。2 2 参数估计参数估计 1设总体X服从区间ba,上的均匀分布，1X，2X，nX为X的样本，求未知参数a，b的矩估计。2观察电话总机在 1 分钟内接收到的呼唤次数，共观察 100 次，获得数据如下：接收到的呼唤次数/分 0 1 2 3 4 5 观察次数 3 18 29 31 14 5 已知电话总机在 1 分钟内接收到的呼唤次数服从参数为的泊松分布，求的矩估计量值和极大似然估计。3设随机变量X的概率密度函数为 ,0,0,63其 它xxxxp 1X，2X，nX为X的样本，求参数的矩估计。4设总体X的概率密度函数为 ,0,0,1其 它xxxp 其中0为已知常数，0为未知参数，1X，2
4、X，nX为X的样本，求参数的极大似然估计。5设总体X的分布列为：X 0 1 2 3 P 2 12 2 21 其中210未知，求的矩估计。6设一个试验的三种可能结果发生的概率分别为2，12，21。现做-3-了n次试验，观察到三种结果发生的次数分别为1n，2n，3n（321nnnn），求参数的矩估计和极大似然估计。7设总体X的概率密度函数为 ,0,0,1其 它xexpx 其中，为未知参数，1X，2X，nX是来自X的样本，求，的矩估计。8设总体21,UX，1X，2X，nX为X的样本，求参数1和2的极大似然估计。9设总体X服从两点分布pXP1，pXP10，10 p，p未知，1X，2X，nX为X的样本，
5、证明niiXn111是p1的无偏估计。10 设总体X的均数和方差2均未知，1X，2X为X的样本，证明22121XX 为2的无偏估计。11设是的无偏估计，且有0)(D，证明2不是2的无偏估计。12设总体X的均数和方差均分别为和2，1X和2X分别为从总体X中抽取的样本容量分别为1n和2n的两个相互独立的样本的样本均数，试证：对任意的常数a，1bab，21XbXaY 都是的无偏估计，并确定常数a，b取什么数值时，YD最有效？13某医院用一种中药治疗高血压，记录了 70 列高血压患者治疗前后的舒张压的差数，算的样本均数为-16.28，样本标准差为 10.58.假设舒张压差数服从正态分布，试求舒张压差数
6、的总体均数的 99%置信区间。14用某种方法重复测定某水样中的3CaCO含量（单位：mg/L）11 次，测得结果如下：20.99，20.41，20.10，20.00，20.91，22.60，20.99，20.41，20.00，23.00，22.00。设3CaCO含量服从正态分布，试求水样中3CaCO含量的总体均数的 95%置信区间和总体方差的 90%置信区间。15已知反应时间服从正态分布。在测定反应时间中，一心理学家估计的标准差-4-是s05.0，为了以 95%的的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过s01.0，应取多大容量的样本？16从某批药品中随机抽取 10 个样品进行储存试验，测得有
7、效期（单位：天）分别为 1450，1480，1640，1610，1500，1600，1420，1530，1700，1500 设该药品有效期服从正态分布，试求总体有效期的 95%置信下限。17设两个独立总体211,NX，222,NY的参数均未知。依次抽取样本容量分别为 13 和 10 的两个样本，测得校正的样本方差分别为41.821S，29.522S，试求两个总体的总体方差之比的 90%置信区间。18某实验小组研究采用两种方法研究冰的溶解热，假定采用这两种方法的冰的溶解热都服从正态分布，两个总体的方差虽然未知，但却相等。采用两种方法实验获得从C072.0的冰变成C00的水所需热量（卡/克）的观察
8、值。第一种方法做了 13 次，算得样本均数为 80.02，校正的样本标准差为 0.023，第二种方法做了 8 次，算得样本均数为 79.98，校正的样本标准差为 0.029，试求两个总体均数差值的 95%置信区间。19 对某事件A作了 120 次观察，A共发生了 36 次，试给出事件A发生的概率P的 95%置信区间。3 3 假设检验假设检验 1车辆厂生产的螺杆直径服从正态分布2,N，现从中抽取 5 根，测得其直径（单位：毫米）为：22.3，21.5，22.0，21.8，21.4。由此是否可以得到螺杆的直径平均值为 21 的结论？)05.0(2已知某药厂生产的一种药品的维生素含量在正常情况下服从
9、正态分布21.0,55.4N。每天为了控制质量，都要对所生产的产品进行抽样检查。现对所生产的 5 盒药品进行检测，维生素含量分别为：2.48，4.40，4.42，4.35，4.37。问当前生产是否正常？)05.0(3 设某种弦线的抗拉强度服从均数为 1056（单位：千克/平方厘米）的正态分布，近选用新的材料生产该种弦。从新生产的一批弦中随机抽取 10 根，测得抗拉强度为：10512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10666，10581，10670。问这批弦的抗拉强度是否较以往的弦的强度要高？)05.0(4已知某厂生产的铜丝折断力服从正态分布，总体方差为
10、 70。今从生产的产品中随机抽取 10 根，检其折断力，得数据为（单位：千克）：578，572，570，568，572，570，570，572，596，584。-5-可否认为该厂生产的铜丝的折断力的方差大于 70？)05.0(5为比较两种安眠药的疗效，将 20 名年龄、病情等大体相同的同性别的失眠患者随机平均分成两组，分别用新旧两种安眠药，测得延长的睡眠时间，经计算得到(单位：小时)：新药组的样本标准差为 2.0022，旧药组的样本标准差为 1.6467。假定两组的睡眠时间都服从正态分布，问两组的总体方差是否齐性？)10.0(6某卷烟厂向化验室送去甲、乙两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同。从两
11、种烟草中随机抽取重量相同的 5 例进行化验，测得尼古丁含量为（单位：毫克）：甲：24，27，26，21，24；乙：27，28，23，31，26。根据经验，尼古丁含量服从正态分布，且甲的方差为 5，乙的方差为 8，判断这两种烟草的尼古丁含量是否相同？)05.0(7研究正常成年男女血液的红细胞的平均数（单位：万/立方毫米）差别。已知正常成年男女血液的红细胞数服从正态分布，并且他们的总体方差齐性。现检验某地正常男子 156 名，正常女子 74 名，计算后得到：男性红细胞的平均数为465.13，样本标准差 54.80；女性红细胞的平均数为 422.16，样本标准差 49.20。问正常男女的红细胞的平均
12、数是否有差异？8在 10 块相同的地上种植甲、乙两种不同品种的玉米，得数据（单位：千克）：甲：951，966，1008，1082，983；乙：730，864，742，774，990。已知玉米产量服从正态分布，试问这两种玉米的亩产量有无差异？)05.0(910 对孪生小白鼠，每对以随机方法指定其中一只饲以生花生，另一只饲以炒花生，最后分别测定其生理价值，数据如下：小白鼠对子号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 生花生 61 60 56 63 56 59 59 56 60 61 炒花生 55 54 47 59 51 61 57 54 63 58 试比较生花生和炒花生的生理价值有无差异？)0
13、5.0(10用煎熬和粗提两种剂型的泡桐果制剂治疗老年慢性气管炎共 415 例，其中煎熬治疗 211 例，有效率为 77.3%；用粗提治疗 204 例，有效率为 95.1%。试问两种剂型的疗效是否有差异？)01.0(11用两种流速生产无水醇，欲比较其含醇率，做配对比较。方法是取一定量的石灰混合均匀后分成两份，分别做两种流速试验，结果如下：-6-对子号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲种流速含醇率（%）95 97 94 96 92 92 95 92 86 92 乙种流速含醇率（%）98 95 98 99 96 96 94 90 89 96 试比较两种流速下的含醇率是否一致？)05.0(
14、12检验 50 批产品，每批 13 件，计算每批中瑕疵数X，得数据如下：瑕疵数X 0 1 2 3 4 5 样本频数 10 24 10 4 1 1 试判断瑕疵数X是否服从泊松分布？)05.0(13生物学家孟德尔用黄色圆形豌豆与绿色皱皮豌豆做杂交实验，得四种豌豆，结果如下：豆子分类 圆形黄色豆 圆形绿色豆 皱皮黄色豆 皱皮绿色豆 频数 315 108 101 32 按古典遗传学理论，这四种豌豆的比例应为 9:3:3:1，试判断实验结果是否符合古典遗传学理论？)05.0(14一项行为学调查记录了 420 人的用手习惯，得到：196 名男性中 29 人爱用左手；224 名女性中 31 人爱用左手。问男女中的“左撇子”现象是否一样？)05.0(15有三台同样规格的机器，用来生产厚度为 0.25 厘米的铝板。今从各台机器生产的产品中各取 5 件，测其厚度精确至千分之一厘米，结果如下：A B C 0.236 0.257 0.258 0.238 0.253 0.264 0.248 0.255 0.259 0.245 0.254 0.267 0.243 0.261 0.262 试问这三台机器所生产的铝板厚度有无差异？)05.0(