概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)chapter02.pdf

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1、第二章第二章 离散型随机变量离散型随机变量2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)(2)2.03.05.05311.01.07.0321(3)(4)nn3121312131212121022221212121n解（1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。11.01.07.0+（3）,所以它不是随机变量的分布列。43312131213121212=+n（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。,021nn1211=nn2.2设 随 机 变 量的 分 布 列 为：，求5,4,3,2,1,15)(=kkkP(1);)21(=或P(2)；(3)。)2521(P)21(P解(1);51

2、152151)21(=+=或P(2);51)2()1()2521(=+=PPP(3).)21(P51)2()1(=+=PP2.3 解 设随机变量的分布列为。求的值。3,2,1,32)(=iCiPiC解，所以。132323232=+C3827=C2.4 随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。N)(NP=2N解 根据题意知，其中常数待定。由于，所2)(NCNP=C16212=CNCN以，即的分布列为，取正整数。26=C226)(NNP=N2.5 一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，课后答案网直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解 设“”表示前次取出白球，第次

3、取出黑球，则的分布列为：k=k1+k.,1,0,)()1()(1()1()(mkknnnmnkmmmkP=+=2.6 设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进4341行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解.,2,1,4341)(1=kkPk2.7 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1、2、3、4、5，从中同时取出 3只球，以表示取出球的取大号码，求的分布列。解.5,4,3,3521)(=kkkP2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为，设为一直p)10(=kekkPk,22=ee（不合要求）。所以。,21=02=22432!42)4(=eeP 2.11

4、设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为 7 的普哇松分布，问课后答案网在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.999。解设为该种 商品 当月 销售数，为该种商品每月 进货数，则x。查普哇松分布的数值表，得。999.0)(xP 16x2.12 如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与tt成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为 0.2，求在 2 分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解 设为时间 内通过交叉路口的汽车数，则t,2,1,0),0(!)()(=kektkPtk时，所以；时，因而1=t2.0)0(=eP5ln=2=t5ln2=t。=)

5、1(P=)0(1P=)1(P83.025/)25ln24(2.13 一本 500 页的书共有 500 个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过 500 个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解 在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个5001=p错误的概率为kkkk=50050035004995001500kkkk=5002050049950015001利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于15001500=np080301.0251!11120=eekk214某厂产品的不合格品率为 0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9 的概率保证每箱中

6、至少有 100 个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解 设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使x+100kx，kxkxkkx+=+100097.003.01009.0利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于303.0)100(+=x，查普哇松分布数值表，得。30!39.0=ekxkk5=x2.15 设二维随机变量的联合分布列为：),(课后答案网)10,0()!(!)1(),(=pemnmppmnPmnmn,2,1,0,1,0=nnm求边际分布列。解=nmmnPnP0),()(mnmnmnppmnmnne=)1()!(!0,2,1,0!=nnen=0),()(nmnPmPmnmmn

7、mppmnmnmep=)1()!(!。,2,1,0!)(=mmeppm2.17 在一批产品中一等品占 50%，二等品占 30%，三等品占 20%。从中任取4 件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各),(自的边际分布列。解，knmknmknmP2.03.05.0!4),(=.44,3,2,1,0,=+=knmknm，；mmmmP=45.05.04)(4,3,2,1,0=m，；nnnnP=47.03.04)(4,3,2,1,0=n，。kkkkP=48.02.04)(4,3,2,1,0=k2.18 抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值

8、，求的联合分布列及边际分布列。),(2.21 设随机变量与独立，且，)1(=P0)1(=pP 又，定义，问取什么值)0(=P01)0(=pP+=为奇数若为偶数若01p时与独立？解=)1()1()0()0()1(=+=PPPPP22)1(pp+)1()0()1()0()0(=+=PPPPP)1(2pp=而，由得)1,1(=P2)1,1(pP=)1,1(=P)1()1(=PP21=课后答案网2.22 设随机变量与独立，且，定义，)1(=P21)1(=P=证明两两独立，但不相互独立。,证明21)1()1()1()1()1(=+=PPPPP21)1()1()1()1()1(=+=PPPPP因为41)1

9、,1()1,1(=PP)1)1(=PP41)1,1()1,1(=PP)1)1(=PP41)1,1()1,1(=PP)1()1(=PP41)1,1()1,1(=PP)1()1(=PP所以相互独立。同理与相互独立。,但是，因而不相互独立。)1()1()1()1,1,1(=PPPP,2.23 设随机变量与独立，且只取值 1、2、3、4、5、6，证明不服+从均匀分（即不可能有。）12,3,2,111)(=+kkP证明 设。,)(kpkP=6,2,1,)(=kqkPk若，则12,3,2,111)(=+kkP111)2(11=+qpP)1(111)7(165261=+=+qpqpqpP)2(111)12(

10、66=+qpP)3(将（2）式减去（1）式，得：，于是。同理。0)(116qpp16pp16qq因此，与（3）式矛盾。1111166=qpqp2.24 已知随机变量的分布列为，求与的分41214120232+=cos=布列。课后答案网解分布列为，；41)2(=P21)32(=+=P41)322(=+=P的分布列为，。41)1(=P21)0(=P41)1(=P2.25 已知离散型随机变量的分布列为，求的分3011151516151310122=布列。解,51)0(=P307)1(=P51)4(=P3011)9(=P2.26 设离散型随机变量的分布列为：，：，与818321310323110且相互

11、独立，求的分布列。与+=解12124141241161432102.27 设独立随机变量分别服从二项分布：与，求与),;(1pnkb),;(2pnkb的分布列。+解 设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），1nApAP=)(为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），而2nApAP=)(与相互独立，所以为重贝努里试验中事件发生的次数，因而+21nn+A。,1,0,)(2121=+=+kqpknnkPknnk21nn+2.28 设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为与,2,1,21)()(=nnPnPn求的分布列。+解nknnkknknknPkPnP212121)()()(11

12、11=+=2.29 设随机变量具有分布：，求、及5,4,3,2,1,51)(=kkP E2E。2)2(+E课后答案网解，3)54321(51=+=E11)54321(51222222=+=E+4+4=27=+2)2(E2EE2.30 设随机变量具有分布：，求及。,2,1,21)(=kkPkED解，221212111=kkkkkkE621212112122=kkkkkkE2)(22=EED2.31 设离散型随机变量的分布列为：，问,2,1,212)1(=kkPkkk是否有数学期望？解，因为级数发散，所以没有数学期望。=11121|2)1(|kkkkkkk=11kk2.32 用天平秤某种物品的重量

13、（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为 1 克、2 克、10 克，现有三组砝码：（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？解 设、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，123则有物品重量度12345678910112212233111111222331211231223413于是8.1)1332212211(1011=+=E7.1)1332221111(1012=+=E2)1432213211(1013=+=E所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。2.33 某个

14、边长为 500 米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是 0.49,米的概率各是 0.16，米的概率各是 0.08，课后答案网米的概率各是 0.05，求场地面积的数学期望。解设 场 地 面 积 为，边 长 的 误 差 为米，则且2米S2)500(+=S0=E186)05.03008.02016.010(22222=+=E所以)(2501862500001000)500(222米=+=+=EEEES2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、1p、。试证发生故障的仪器数的数学+。2p3p1p2p3p证 令3,2,101=iiii架仪器未发生故障第架仪器

15、发生故障第为发生故障的仪器数，则，3,2,1,)1(=ipPEiii所以+。=+=321EEEE1p2p3p2.37 如果在 15000 件产品中有 1000 件不合格品，从中任意抽取 150 件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，i151415101151=iE则，所以。=1501ii101501=iiEE2.38 从数字 0，1，n 中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解 设为所选两个数字之差的绝对值，则，nknknkP,2,1,211)(=+=于是。32)1()1(2211121+=+=+=nkknnnnknkEn

16、knk2.39 把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，n,2,1kk则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。解 设则的分布列为：=个位置上不在第数字个位置上出现在第数字课后答案网于是，设匹配数为，则，因而。nPEkk1)1(=nkk111=nkkEE2.40 设为取非负整数值的随机变量，证明：(1);=1)(nnPE(2).1()(21+=EEnnPDn证明(1)由于存在，所以该级数绝对收敛。从而=0)(nnnPE。=1)(nnnPE=111)()(iinnninPnP=1)(iiP(2)存在，所以级数也绝对收敛，从而D=022)(nnPnE)1(2+=EEEED=+=+=1)1()

17、()1(nEEnPnn)1()(2)1()(2111+=+=EEniPEEnPiiinnni).1()(21+=EEnnPn2.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败p均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为，则，1)1(=P)1(,3,2,)(11pqnqpnPnn=+=利用上题的结论，+=1+=E)1(P=2)(nnP)(112=+nnnqp)1(11112ppppqqpp+=+=2.42 从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。mn如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取课后答案网出黑

18、球数的数学期望。解 略。2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这0n批产品合格，如在尚未抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认0n为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件？p解 略。2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个pk不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，1iii又在两次检修之间产品总数为，则.,2,1ki=.1=kii因独立同分布，由此得：i)1(,2,1,)(1pqjpqjPji=，p

19、pjqEjji111=211222pppqjEjji=。2221)(ppEEDiii=，。pkEEkii=121)1(ppkDDkii=2.46 设随机变量与独立，且方差存在，则有（由此并可得）22)()()(EDDEDDD+=DDD)(证明222)()(EED=2222)()(EEEE=22222222)()()()(EEEEEEEE+=DEDE22)(=22)()(EDDEDD+=2.47 在整数 0 到 9 中先后按下列两种情况任取两个数，记为和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。)90(=课后答案网解(1).9,1,010

20、1)|(=ikiP(2),),9,1,0(91)|(kiikiP=0)|(=kkP2.49 在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令nApniAiAii,2,101=不出现次试验中在第出现次试验中在第求在的条件下，的分布列。)0(21nrrn=+)0(nii解)(),0()|0(2111121nniiiniPrPrP+=+=+=+nrnqprnqpqnqrnrrnr=11。)|1(21rPni=+=nrnrn=12.50 设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，1212试证：knkknnkP+=+=211211211)|(1证明)(),()|(21211211nPnkPnkP=+=+

21、=+=)()()(2121nPknPkP=+=由普哇松分布的可加性知+服从参数为+的普哇松分布，所以1212)(21212121211!)()!(!)|(+=+=enekneknkPnknkknkkn+=21121112.51 设，为 个相互独立随机变量，且服从同一12rr)1(rii几何分布，即有。试证明在pqrikqpkPki=1),1(,2,1,)(1其中的条件下，的分布是均匀分布，即nr=+21),(课后答案网，其中.=+=111|,(2111rnnnnPrrrnnnnr=+21证明=+=rrrnnP2111|,()(),(1111nPnnnPrrrr=+=+=)(),(111nPnnPrrr=+=由于，相互独立且服从同一几何分布，所以12r。rnrriknkkrikrpqrnpqnPiri=+=+11)()(,1,2,111211从而。)|,(2111nnnPrrr=+=rnrrnrpqrnpq=11=课后答案网