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1、1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -1-1997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一、填空题一、填空题（1）设()()lnf xyfx e=其中f可微，则dy=_.【答答】()()()()1lnlnf xefxfx fxdxx+【详解详解】()()()()()()lnlnlnf xf xf xdydfx edfxefx de=+()()()()()1 lnlnf xf x
2、fx dxefx efx dxx=+()()()()()1 lnlnf xf xfx dxefx efx dxx=+（2）若()()122011,1f xxf x dxx=+则()10f x dx=_.【答答】4【详解详解】设()10,f x dxA=则()1112200011dxAf x dxAx dxx=+()211arctanarcsin100244AxxxxA=+=+故.4A=（3）差分方程12tttyyt+=的通解为ty=_.【答答】()2 2tCt+【详解详解】齐次差分方程10ttyy+=的通解为.C C为任意常数 设()2tatb+是差分方程12tttyyt+=的一个特解，则1,
3、2.ab=因此 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -2-()2 2ttyCt=+为所求通解.（4）若二次型()2221231231223,22f x x xxxxx xtx x=+是正定的，则t的取值范围 是_.【答答】22t 解得22t （5）设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布()20,3N，而19,XXL和19,YYL分别式来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量192219XXUYY+=+LL服从_分布，参数为_.【答答】,9t【详解详
4、解】令,1,2,933iiiiXYXYi=L 则()()0,1,0,1,1,2,9iiXNYNi=L()2190,3,XXXN=+L()2199YYY=+L 因此 19192222191939XXXXXXUYYYYYY+=+LLLL 由于 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -3-()()20,1,93XNY 故()9Ut.二、选择题二、选择题（1）设()()561 cos20sin,56xxxf xt dt g x=+则当0 x时，()f x是(
5、)g x的()A低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等阶无穷小 ()D同阶但不等价的无穷小【】【答答】应选()B【详解详解】利用洛必达法则，有()()()()224534000sinsin 1 cossin 1 coslimlimlimxxxf xxg xxxxx=+()423434001 cos4limlim0.xxxxxxx=+（2）若()()()fxf xx=且()0,fx()()()()()()0,0 0,0C fxfxD fxfx【】【答答】应选()C【详解详解】由()(),fxf x=得()()()(),fxfxfxfx=可见当()0,x+时，(),0 x ，且()()()()0,0
6、fxfxfxfx=1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -4-所以应选()C.（2）设向量123,线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()122331,A+()1223123,2B+()1223312,23,3C+()123123123,2322,355D+【】【答答】应选()C【详解详解】()()()()()()()()1223311223123:0:20AB+=+=可见()()AB、中向量组线性相关，()()CD、不能直接观察出，对于()C，令
7、()()()11222333122330kkk+=即()()()13112223322330kkkkkk+=由于123,线性无关，故 1312230220330kkkkkk+=+=+=因上述齐次线性方程组的系数行列式101220120,033=，故方程组由惟一零解，即1230kkk=，故()C中向量组线性无关，应选()C.（4）设,A B为同阶可逆矩阵，则()AAB=BA 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -5-()B存在可逆矩阵P，使1P AP
8、=B()C存在可逆矩阵C，使TC AC=B()D存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B【】【答答】应选().D【详解详解】由题设,A B可逆，若取1,P=B Q=A则1,=PAQ=BAAB即A与B等价，可见().D成立 矩阵乘法不满足交换律，故()A不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此()()BC、均不成立.（5）设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：111,2P XP Y=111,2P XP Y=则下列各式中成立的是()()1 12A P XYB P XY=()()110 144C P XYD P XY+=【】【答答】应选().A【详解详解】1,11,1P XYP XYP X
9、Y=+=11111,22222=+=而 110,1.24P XYP XY+=三三、在经济学中，称函数()()11xxxQ xAKL=+为固定替代弹性生产函数，而称函数1 xQAK L=为 CobbDouglas 生产函数（简称 C-D 生产函数）1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -6-试证明：当0 x 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 同阶生产函数，即有()0limxQ xQ=【详解详解】()()1lnlnln1xxQ xAKLx=+而且()
10、()()00ln1ln1ln limlnlim1xxxxxxxxKLKKLLxKL+=+()()1ln1lnlnKLAK L=所以()()()110limlnlnlnlnxQ xAK LAK L=+=于是()10lim.xQ xAK LQ=四四、设(),uf x y z=有连续偏导数，()yy x=和()zz x=分别是由方程0 xyey=和0 xexz=所确定，求.dudx【详解详解】(),duffdyfdzdxxy dxz dx=+由0 xyey=得0 xydydyeyxdxdx+=211xyxydyyeydxxexy=由0 xexz=，得0zdzdzezxdxdx=zdzzzdxexxz
11、z=代入()式得 2.1dufyfzfdxxxyyxzxz=+1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -7-五五、一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px=（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是31Cx=+（万元）（1）若每销售一吨商品，政府要征税 t（万元），求该商家获最大利润时的销售量;（2）t 为何值时，政府税收总额最大.【详解详解】（1）设T为总税额，则Ttx=；商品销售总收入为()270.270.2,Rpxx xxx=利润
12、函数为()2270.2310.241.RCTxxxtxxt x=+令0,ddx=即0.440,xt+=由于220.40,dxdx=因此()542xt=即为最大利润时的销售量.（3）将()542xt=代入Ttx=，得 ()25 451022tTttt=由1050dTtdt=得惟一驻点2t=由于2250,d Tdt=在)0,+上连续且单调不减（其中0n）【详解详解 1】显然当0 x 时()F x连续，又()()()()0000limlimlim00 xnnxxxt f t dtF xx f xFx+=1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网：
13、 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -8-故()F x在)0,+上连续 对于()0,x+有()()()()()11022xnnnnxf xt f t dtxf xfxFxxx+=()()()()()()1 ,nnnnnxf xffxxf xfxx+=其中0 x，于是()0Fx故()F x在)0,+上连续且单调不减.【详解详解 2】连续性的证明同上，由于()()()()()100022xxxnnnnxf xt f t dtx f x dxt f t dtFxxx+=()()02 0.xnnx f xt f tdtx=可见()F x在)0,+上连续
14、且单调不减.七七、从点()11,0P做x轴垂线，交抛物线2yx=于点()11,1Q；再从1Q做抛物线的切线与x轴交于2P，然后又从2P做x的垂线，交抛物线于点2Q,依次重复上述过程得到一系列的点1122,.nnP Q P QP QLL （1）求;nOP （2）求级数1 122nnQ PQ PQ P+LL的和。其中()1n n为自然数，而12M M表示点1M与2M之间的距离.【详解详解】（1）由2yx=，得2yx=对于任意()01,aa抛物线2yx=在点()2,a a处的切线方程为()22yaa xa=1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训
15、网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -9-且该切线与x轴的交点为,0,2a故由11,OP=可见 2111,22OPOP=32211 1122 22OPOP=LL 11.2nnOP=（2）由于()2221,2nnnnQ POP=可见 22211114.23112nnnnnQ P=八八、设函数()f t在)0,+上连续，且满足方程()222242241,2txytf tefxydxdy+=+求()f t.【详解详解】显然()01,f=由于 2222222200041112222ttxytfxydxdydfr rdrrfr dr+=可见 1997
16、 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -10-()2240122ttf terfr dr=+两边求导得()()2488tfttetf t=+解上述关于()f t的一阶线性非齐次微分方程，得()()()222884424884,tdttdttttf tteedtC etdtC etC e=+=+=+代入()01,f=得1.C=因此()()22441.tf tte=+九九、设A为n阶非奇异矩阵，为n维列向量，b 为常数，记分块矩阵,TTbEOAP=Q=AA 其中
17、A是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位阵 a)计算并化简PQ;b)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是1.TTbA 【详解详解】（1）因为,=A A=AAA E故 TTTTTbb=EOAAPQ=AAA A+AA A+A()1 .0Tb=AAA（2）由（1）可得()1,Tb=2PQAA 而,=PQPQ且0,=PA 故()1Tb=QAA 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -11-由此可知0Q的充分必要条件为1,TbA即矩阵Q可逆的充分必要条件是1.TTbA
18、十十、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是()()121,1,1,1,2,1.TT=（1）求A的属于特征值 3 的特征向量；（2）求矩阵A.【详解详解】（1）设A的属于特征值 3 的特征向量为()3123,.Tx x x=因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 130T=和230,T=即()123,x xx是齐次线性方程组 123123020 xxxxxx+=+=的非零解，解上面方程组，得其基础解系为()1,0,1.T 因此A的属于特征值 3 的特征向量为()31,0,1Tk=（k 为任意非零常数）.c)令矩阵 111121,11
19、 1=P 则有 1100020003=P AP 即 1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -12-1100020.003=APP 由于 1111333111,63611022=P 可见 1100132510202102.60035213=APP 十一十一、假设随机变量X的绝对值不大于 1；111,1;84P XP X=在事件11X 出现的条件下，X在()1,1内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求X的分布函数().F xP Xx=【
20、详解详解】由条件可知，当1x 时，()()10;1,8F xF=115111,848PX=易见，在X的值属于()1,1的条件，事件()111Xxx 的条件概率为 11|11,2xPXxX+=于是对于11,x 有 11,11PXxPXxX=111|11PXPXxX=5155 ,8216xx+=对于1,x 有()1.F x=1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心 培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 电话：62701055 -13-从而()0,1,57,11,161,1.xxF xxx+=十二十二、游客乘电梯从底层到
21、电视塔层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行，假设一游客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0,60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.【详解详解】已知 X 在0,60上服从均匀分布，其密度为()1,060,600,.xXf x=其他 设 Y 是游客等候电梯的时间（单位：分），则()5,05,25,525,55,2555,65,5560.XXXXYg xXXXX=两台仪器无故障工作时间1X和2X显然相互独立.利用二独立随机变量和密度公式求T的概率密度,对于0,t 有()()()()55551200252525.ttx t xxttf tpx ptx dxeedxedxte+=当0t 时，显然()0f t=于是，得()525,0,0,0.ttetf tt=由于iX服从参数为5=的指数分布，知()()()11;1,2,525iiE XD Xi=因此，有()()()()12122.5E TE XXE XE X=+=+=由于1X和2X相互独立，可见()()()()12122.25D TD XXD XD X=+=+=