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1、物理竞赛辅导测试卷力学综合 1 一、10 分如图所时，A、B 两小球用轻杆连接，A 球只能沿竖直固定杆运动，开场时，A、B 均静止，B 球在水平面上靠着固定杆，由于微小扰动，B 开场沿水平面向右运动，不计一切摩擦，设 A 在下滑过程中机械能最小时的加速度为 a，那么 a=。二、(10 分)如下图，杆 OA 长为 R，可绕过 O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点 A 系着一跨过定滑轮 B、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块 M，滑轮的半径可忽略，B 在 O 的正上方，OB 之间的距离为 H，某一时刻，当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 时，杆的角速度为，求此时物块 M 的速度vM 三
2、、10 分在密度为 0的无限大的液体中，有两个半径为 R、密度为 的球，相距为 d，且 0，求两球受到的万有引力。四、15 分长度为l的不可伸长的轻线两端各系一个小物体，它们沿光滑水平面运动。在某一时刻质量为m1的物体停下来，而质量为m2的物体具有垂直连线方向的速度v，求此时线的张力。五、(15 分)二波源 B、C 具有一样的振动方向和振幅，振幅为，初位相相差，相向发出两线性简谐波，二波频率均为 100Hz，波速为 430m/s，B 为坐标原点，C 点坐标为xC=30m，求：二波源的振动表达式；二波的表达式；在 B、C 直线上，因二波叠加而静止的各点位置。六、(15 分)图是放置在水平面上的两
3、根完全一样的轻质弹簧和质量为 m 的物体组成的振子，没跟弹簧的劲度系数均为 k，弹簧的一端固定在墙上，另一端与物体相连，物体与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为。当弹簧恰为原长时，物体位于 O 点，现将物体向右拉离 O 点至x0处(不超过弹性限度)，然后将物体由静止释放，设弹簧被压缩及拉长时其整体不弯曲，一直保持在一条直线上，现规定物体从最右端运动至最左端或从最左端运动至最右端为一个振动过程。求：1 从释放到物体停顿运动，物体共进展了多少个振动过程；2从释放到物体停顿运动，物体共用了多少时间？3物体最后停在什么位置？4整个过程中物体克制摩擦力做了多少功？七、15 分一只狼沿半径为 R 圆形到
4、边缘按逆时针方向匀速跑动，如下图，当狼经过 A 点时，一只猎犬以一样的速度从圆心出发追击狼，设追击过程中，狼、犬和 O 点在任一时刻均在同一直线上，问猎犬沿什么轨迹运动？在何处追击上？A B O R A B C M O C y x v v B O x0 A O R v0 八、15 分经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中两个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的
5、质量都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。1试计算该双星体统的运动周期 T计算，2假设实验上观测到的运动周期为 T观测，且）（：计算观测11NNTT。为了解释 T观测与 T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。九、20 分一半径为 R=10-2kg 的小物体，将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直，大小为100.4smv得初速度。物块在桌面上运动时，绳将
6、缠绕在立柱上，当绳的张力为NT0.2时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动。1问绳刚要断开时，绳的伸直局部的长度为多少？2假设绳刚要断开时，桌面圆心 O 到绳的伸直局部与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直局部垂直，问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少？桌面高度mH80.0。物块在桌面上运动时未与立柱相碰，取重力加速度大小为110sm 十、25 分如下图为一半径为 R 的实心均质球，在朝地板下落之前球的质心静止，但球绕着过质心的一条水平轴自转，角速度为0，球上的最低点距地板的高度为 h，将球释放后，它因受重力而下落且被弹回到最高点高度等于h处。球与地板相碰时的形变可以忽略，设球
7、与地板之间的滑动摩擦系数为量，假定球在真空下落，且碰撞时间为有限小量。球的质量与重力加速度分别记为 m 和 g，球绕过质心的轴的转动惯量为252mRI。求：1反弹偏向角 的正切值；2球在第一次与地板碰撞后到第二次碰撞前，它的质心通过的水平距离。物理竞赛辅导测试卷参考答案力学综合 一、解：A、B 组成的系统机械能守恒，0 h h R o c 最初 EB=0，最后 EB=0，对 B 物体，某一位置总有杆对它作用力为零 那么该处 EB最大，此时 EA最小 故gaA 二、解：速度分解如下图 设 M 物体的运动速度为vM 有 coscosRvvM 由几何关系有 sincosRH 得 RHsincos 所
8、以 M 物体的速度为 sinHvM 三、解：将两球心分别记为 O、O/，假设只有球 O 单独处于无限大液体中，其受的合引力为 0 如果将球 O/放回原处，相当于用密度为 的球代替 0的同体积液体 因为0，代替的结果使 O/处的质量增加)(3403Rm 因球 O 的质量为334Rm 那么球 O 将受到来自球 O/的引力 故两球的相互引力为 2062209)(16dGRdmGmF 四、解：该系统的质心位于连线上，与第一个物体距离 2111mmlmR，并以速度2120mmvmv相对于平面运动 选择与质心相连的坐标系 对第一个物体 1201RvmF O R A B C M v=R vM 将R1、v0代
9、入得 lmmvmmF)(21221 五、解：设 B 点初位相0，由题意知 C 点初位相 而2002 rad/s B 点的振动方程为tyB200cos01.0 C 点的振动方程为)200cos(01.0tyC 取 B 点为坐标原点，BC 为 x 轴正向，那么波的表达式为：)430(200cos01.0 xtyB)43030(200cos01.0 xtyC 在 BC 线上两波叠加为：)48.6430200cos()48.6200cos(01.0 xtyyyCB 在 x 轴上合振动的位移为零，满足 0)48.6430200cos(x 即 2/)12(48.6465.0kx 得 )19,8,7,6()
10、(86.1215.2kmkx 因为只有300 x才是二波叠加区 x30 无 C 波 六、解：1振子每次全振动的平衡位置与 O 的距离为 mgkl02 那么kmgl20 当00lx 时，振子不振动 当00lx 时，振子振动规律如下：振子的振动相对平衡位置是简谐振动，故关于平衡位置对称 每振动一次与原点距离减小02l 故 n 次振动后距离为 002nlxLn 当0lLn时，振子将停顿 即：0002lnlx 0002llxn 所以振动次数为：0000002)12(llxIntllxIntN Intf为f的整数局部 2振子振动周期 kmT2 所以振动时间为 kmNt2 3以 O 点为原点建立坐标系，取
11、向右为正方向 振子停顿的位置在)2()1(00NlxxN 4振子每次振动过程经过的路程为)2(2000nllxsn 所以 N 次振动过程的总路程)(200NlxNSN 克制摩擦力做功为 )(420000NlxkNlSklWN 七、解：有题设条件狼、犬速度相等可知，0vv，并且在追击中任意瞬间，狼、犬在如下图的 B、C 点在一直线上，即0vv，且始终有CDvr，其中Rvrv0 即v与0v的“速端在一条直线上 2200,vvvRrvvr v0 A O R B D v0 vr v C RrRvvr22 所以OCDvCvr0，即t 设犬运动的距离为rOC，而tROCsin，所以tRrsin。故犬沿半径
12、为2R的圆弧，在02vRt时刻位于Rr 处，即在2的 b 点追上狼。犬的运动亦可分解为两个分运动来求解。八、解：1双星均绕它们的连线中点做圆周运动，设运动速率为v，向心加速度满足下面的方程：2222LGMLvM LGMv2 周期：GMLLvLT2)2/(2计算 2根据观测结果，星体的运动周期 计算计算观测TTNT1 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M/位于中心处的质点一样。考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v观，那么有：2/222
13、)2/(2L/LMMGLGMvM观 LMMGv2)4(/观 因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由式得 vNv111观 把、式代入式得 MNM41/设所求暗物质的密度为，那么有 MNL41)2(343 故 32)1(3LMN 九、解：1.因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变，设在绳刚要断开绳的局部的长度为x，假设此时物快速度的大小为vx，那么有 0vvx 1 绳对物块的拉力仅改变物快速度的方向，是作用于物块的向心力，故有 xmvxmvTx2020 2 由此得 0
14、20Tmvx 3 带入数据得 mx60.0 4 2.设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的 P 点，BP 是绳的伸直局部，物块速度v0的方向如图解所示，由题意可知，OBBP，因物快离开桌面时的速度仍为vo，物块离开桌面后便做初速度为vo的平抛运动。设平抛运动经历的时间为t 那么有 221gtH 5 物块做平抛运动的水平射程为 tvs01 6 由几何关系，物体落地地点与桌面圆心 O 的水平距离 s 为 22221xxRss 7 解5、6、7式，得222202xxRgHvs 带入数据得 ms5.2 十、解：1碰撞前平动动能应等于球的重力势能的减少量，因此碰撞前球心下落速度v0满足：2021mvmgh
15、(1)R o c s B P x S1 22xR 解得 ghv20 (2)令xv2和yv2分别为碰撞后瞬间球心速度的水平和垂直分量，竖直方向可达高度为h，于是 hgvy222 (3)由此，用或用恢复系数c表述为：hgvy22 (4)考虑到力的冲量等于动量的改变量，和力的冲量矩等于角动量的改变量，碰撞开场时，球必因具有初始角速度0而发生相对滑动，因此存在两种可能性：整个碰撞过程中，摩擦力缺乏以使球的旋转减速到它与地板接触点停顿相对滑动从而进入纯滚动状态 在某一时刻)(21tttt，球与地板接触点的速度到达零值，从这时起摩擦力为零。下面分别讨论两种情况：情况：此时，整个碰撞期间球均作相对滑动，摩擦
16、力与法向力的关系为)(tNfkr (5)摩擦力的冲量为：xkykttkxmvghcmKdttNK22)1()(21 (6)摩擦力的冲量矩为：)(2)1()(2021IghcmRdttNRLkttk (7)由此可解得碰后速度水平分量v2x和角速度0表述如下：ghcvkx2)1(2 (8)ghIcmRk2)1(02 (9)由8和4式可得：ccghcghcvvkkyx122)1(tan22 10 可见角与0无关 至此，所有碰撞后的根本物理量都已经用题文所给量表述出来。根本情况解的成立范围可以从8和9式获得。此解答成立的条件是碰撞完毕时，球与地板接触点有一沿 x 负方向的速度。因此 N mg fr O
17、 x y xvR22 ghRcghIcmRkk2)1(2)1(0 即 )1()1(220ImRRcghk 11 凡初始角速度低于此值者，均不属本情况解 情况：这种情况中，球进入纯滚动的时刻 t 必介于碰撞的初始时刻 t1和终止时刻 t2之间，而后，速度水平分量v2x与最终角速度2之间将一直保持下述关系：xvR22 12 有 )(202RvImRvxx 13 由可解得 RImRRIRImRIvx0200272/14 0202272ImRIRvx 15 反弹偏向角 的正切值为：ghcRghcmRIRIvvyx27221tan02022 16 2情况：球的上跳和再下落的总时间为 ghcgghcgvtyy222222 17 因此所要求的距离为：ghcghctvdkyxx222)1(2 chcdkx)1(4 18 此距离与0无关 情况：这种情况下，球的上跳和再下落的总时间仍为17式所述 因此所要求的距离为：ghcRghRcghcImRRItvdyxx274225122200202 (19)此时，球在第 1、2 碰撞之间通过的水平距离随0线性增加