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1、会计学1授课授课(shuk)提纲运动学提纲运动学第一页,共36页。刚体:可看作刚体:可看作(kn zu)(kn zu)由无穷多个点的组成的不变形由无穷多个点的组成的不变形的几何体。的几何体。点:就是指不计其形状、大小、只在空间占有确点:就是指不计其形状、大小、只在空间占有确定定(qudng)(qudng)位置的几何点位置的几何点直线运动直线运动直线运动直线运动曲线运动曲线运动曲线运动曲线运动(q xin yn dn)(q xin yn dn)第1页/共36页第二页,共36页。5-2 5-2 点的运动点的运动(yndng)(yndng)方程及方程及 动点的速度和加速度动点的速度和加速度 一一 矢
2、径法矢径法1.点的矢径运动方程点的矢径运动方程设动点设动点M 沿任一空间曲沿任一空间曲线运动,选空间某确定线运动,选空间某确定点点O作为原点,则动点的作为原点,则动点的位置可由如下位置可由如下(rxi)的矢径的矢径来表示:来表示:第2页/共36页第三页,共36页。rrrr=r(t)PPPxzyO运动运动(yndng)方程方程位矢端图位矢端图 研研 究飞机的究飞机的运动运动(yndng)轨迹时,飞轨迹时,飞机可视为质点。机可视为质点。第3页/共36页第四页,共36页。2.点的速度点的速度(sd)(定义):定义):3.点的加速度(定义点的加速度(定义(dngy)):):速度速度(sd)(veloc
3、ity)(sd)(velocity)速度大小等于矢量的模。速度大小等于矢量的模。指向与点的运动方向一致;指向与点的运动方向一致;速度的方向沿着运动轨迹的切线;速度的方向沿着运动轨迹的切线;点在点在t t瞬时瞬时运动快慢和运动方向的力学量。运动快慢和运动方向的力学量。加速度加速度(acceleration)(acceleration)加速度大小等于矢量加速度大小等于矢量a a的模。的模。加速度的方向为加速度的方向为v v的极限方向的极限方向(指向与轨迹曲线的凹向一致指向与轨迹曲线的凹向一致)描述点在描述点在t瞬时瞬时速度大小和方向速度大小和方向变化率的力学量。变化率的力学量。第4页/共36页第五
4、页,共36页。小结小结(xioji)第5页/共36页第六页,共36页。二二 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)法法设动点设动点M 在空间运动,它在空间任一瞬时的位置也可用在空间运动,它在空间任一瞬时的位置也可用一个一个(y)固体的直角坐标系的三个坐标固体的直角坐标系的三个坐标x,y,z来确定:来确定:1.点的运动点的运动(yndng)方程方程OMz(t)y(t)x(t)z yx第6页/共36页第七页,共36页。2.点的速度点的速度(sd):OMz yxz(t)y(t)x(t)(O Oxyzxyz)为定参考系为定参考系为定参考系为定参考系第7页/共36页第八页,共36页。3.点的加速
5、度:点的加速度:OMz yxz(t)y(t)x(t)第8页/共36页第九页,共36页。例例 椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动,其端点转动,其端点C 与与规尺规尺AB 的中点以铰链相连接,而规尺的中点以铰链相连接,而规尺A,B 两端两端(lin dun)分别分别在相互垂直的滑槽中运动。在相互垂直的滑槽中运动。求:求:1.M 1.M 点点的运动方程;的运动方程;2.2.轨迹轨迹(guj)(guj);3.3.速度;速度;4.4.加速度。加速度。第9页/共36页第十页,共36页。解:点解:点M(x,y)作曲线运动作曲线运动(q xin yn dn),取坐标系,取坐标系xoy运动运
6、动(yndng(yndng)方程方程消去消去(xio q)t,(xio q)t,得轨迹得轨迹第10页/共36页第十一页,共36页。速度速度(sd)第11页/共36页第十二页,共36页。加速度加速度第12页/共36页第十三页,共36页。建立运动方程建立运动方程建立运动方程建立运动方程(fngchng)(fngchng)(fngchng)(fngchng)时,一定要将所考察的点置于坐时,一定要将所考察的点置于坐时,一定要将所考察的点置于坐时,一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置:标系中的一般位置:标系中的一般位置:标系中的一般位置:对于直线坐标,位于坐标轴的正向;对于直线坐标,位于坐标轴的正向
7、;对于直线坐标,位于坐标轴的正向;对于直线坐标,位于坐标轴的正向;对于直角坐标系,位于坐标系的第一象限。对于直角坐标系,位于坐标系的第一象限。对于直角坐标系,位于坐标系的第一象限。对于直角坐标系,位于坐标系的第一象限。第13页/共36页第十四页,共36页。例:半径为例:半径为r的圆轮放在粗糙的水平面上的圆轮放在粗糙的水平面上(min shn),轮心,轮心A以匀速以匀速v0前进,求轮缘上任一点的运动规律。前进,求轮缘上任一点的运动规律。v0 AOMxyDBC第14页/共36页第十五页,共36页。v0 AOM解:在轮缘上任(shng rn)取一点M (不能是特殊点);xy 找一固定点O建立直角坐
8、标,标出M点的位置(wi zhi)坐标;DBC 纯粹用几何方法找出该坐标的长度(chngd),最终表为时间t的函数-即为运动方程。x=OC=OB-CBy=MC=AB-AD=vot-rsin=r-rcos速度、加速度请同学们做。第15页/共36页第十六页,共36页。例例 已知点的运动已知点的运动(yndng)方程为方程为x=2sin 4t m,y=2cos 4t m,z=4t m。求:点的速度和加速度及运动轨迹求:点的速度和加速度及运动轨迹(guj)的曲率半径的曲率半径。解:由点解:由点M的运动的运动(yndng)方程,得方程,得第16页/共36页第十七页,共36页。三三 自然法自然法设动点设动
9、点M 沿已知的轨迹曲线运动时,在轨迹上任选一点沿已知的轨迹曲线运动时,在轨迹上任选一点O作为参考点,并设点作为参考点,并设点O的某一侧为正向,则动点的某一侧为正向,则动点M 的位的位置标量置标量-弧坐标弧坐标(zubio)s来表示,来表示,s将随时间而变,并可以将随时间而变,并可以表示为时间表示为时间t 的单值连续函数:的单值连续函数:1、点的运动方程、点的运动方程Ms(+)(-)O第17页/共36页第十八页,共36页。弧坐标要素弧坐标要素弧坐标要素弧坐标要素(yo s)(yo s)(yo s)(yo s)与运动方程与运动方程与运动方程与运动方程弧坐标具有以下弧坐标具有以下弧坐标具有以下弧坐标
10、具有以下(yxi)(yxi)(yxi)(yxi)要素:要素:要素:要素:1 1 1 1、有坐标原点、有坐标原点、有坐标原点、有坐标原点(一般在轨迹一般在轨迹一般在轨迹一般在轨迹(guj)(guj)(guj)(guj)上上上上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点);2 2 2 2、有正、负方向、有正、负方向、有正、负方向、有正、负方向(一般以点的一般以点的一般以点的一般以点的运动方向作为正向运动方向作为正向运动方向作为正向运动方向作为正向);3 3 3 3、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系、有相应的坐标系(自然轴系自然轴系
11、自然轴系自然轴系)。第18页/共36页第十九页,共36页。自然坐标轴自然坐标轴的几何的几何(j h)性质性质副法线单位矢量副法线单位矢量2.自然自然(zrn)轴系轴系第19页/共36页第二十页,共36页。s s-s s+P PT T(切线切线切线切线)N N(主法线主法线主法线主法线)自然自然自然自然(zrn)(zrn)轴系轴系轴系轴系B B(副法线副法线副法线副法线)自然自然自然自然(zrn)(zrn)轴系轴系轴系轴系P PTNBTNBP P空间空间(kngjin)(kngjin)曲线上的动点;曲线上的动点;T T 过动点过动点过动点过动点P P的密切面内的密切面内的密切面内的密切面内 的切
12、线,其正向指向的切线,其正向指向的切线,其正向指向的切线,其正向指向 弧坐标正向;弧坐标正向;弧坐标正向;弧坐标正向;N N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 的直线,其正向指向的直线,其正向指向的直线,其正向指向的直线,其正向指向 曲率中心;曲率中心;曲率中心;曲率中心;B B 过动点过动点过动点过动点P P垂直于切线垂直于切线垂直于切线垂直于切线 和主法线的直线,其和主法线的直线,其和主法线的直线,其和主法线的直线,其 正向由正向由正向由正向由B BT T N N确定确定确定确定。跟随动点在轨跟随动点在轨跟随动点在轨跟随动点在轨迹上作空间曲线迹上作空
13、间曲线迹上作空间曲线迹上作空间曲线运动。运动。运动。运动。密切面密切面密切面密切面法平面法平面法平面法平面右手定则右手定则右手定则右手定则第20页/共36页第二十一页,共36页。(t+D Dt)(t)M轨迹轨迹曲率圆曲率圆DfDf()nbCDfDfD D s 曲率和曲率半径曲率和曲率半径(bnjng)(定义定义)第21页/共36页第二十二页,共36页。单位单位(dnwi)切向切向量量第22页/共36页第二十三页,共36页。3.速度速度(sd)4.加速度加速度 点的速度在切线点的速度在切线(qixin)(qixin)轴上的投影等于轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。弧坐标对时间的一阶导数。?第
14、23页/共36页第二十四页,共36页。n n P P 当当当当0 0时,时,时,时,和和和和 以及以及以及以及 同处同处同处同处于于于于P P点的密切点的密切点的密切点的密切(mqi)(mqi)面内,这时,面内,这时,面内,这时,面内,这时,的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于的极限方向垂直于 ,亦即,亦即,亦即,亦即n n方方方方向。向。向。向。单位单位(dnwi)法向法向量量第24页/共36页第二十五页,共36页。第25页/共36页第二十六页,共36页。第26页/共36页第二十七页,共36页。几点讨论几点讨论几点讨论几点讨论(toln)(toln)切向加速度切向加速度表示速度矢
15、量大小的变化率;表示速度矢量大小的变化率;法向加速度法向加速度表示速度矢量方向的变化率;表示速度矢量方向的变化率;即即 a ab bb=0,b=0,表明加速度表明加速度 a a在副法线在副法线方向没有分量;方向没有分量;还表明速度矢量还表明速度矢量v v和加速度矢量和加速度矢量a a都位于密切面内。都位于密切面内。第27页/共36页第二十八页,共36页。1.矢径法矢径法2.直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)法法3.自然法自然法第28页/共36页第二十九页,共36页。描述点运动的三种方法描述点运动的三种方法(fngf)(fngf)比较比较 矢量法结果简明,具有概括性,且与坐标选择矢量
16、法结果简明,具有概括性,且与坐标选择 无关。对于实际问题无关。对于实际问题(wnt)(wnt)需将矢量及其导需将矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。数表示成标量及其导数的形式。直角坐标法实际问题中,一种直角坐标法实际问题中,一种(y zhn)(y zhn)广泛应用的方法。广泛应用的方法。弧坐标法弧坐标法应用于运动轨迹已知的情形,其最大特应用于运动轨迹已知的情形,其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来,使得数学表达式的含义化率区分开来,使得数学表达式的含义 更加清晰。更加清晰。第29页/共36页第三十页,共36页。例:曲柄(qbng)连杆
17、机构如图,求滑块B的运动规律、速度及加速度。oBArlt 解:分析要求点的轨迹若为直线(zhxin)运动,则建立直线(zhxin)轴x,取一固定点作为原点,将要求点置于坐标轴上任意位置(不要放在特殊位置),标出动点在坐标轴上的位置坐标x,纯粹用几何方法找出x的长度,并表成时间t 的函数,即为运动方程。xx动画动画第30页/共36页第三十一页,共36页。x=rcost+lcos而 第31页/共36页第三十二页,共36页。例:杆例:杆ABAB绕绕A A点转动时,拨动套在固定圆环上的小环点转动时,拨动套在固定圆环上的小环M M,已知:已知:R R,=t t(为常数为常数 )分别用直角坐标法和)分别用
18、直角坐标法和自然轴法求:自然轴法求:M M点的运动点的运动(yndng)(yndng)方程、速度、加速度。方程、速度、加速度。R RM MA AO O B B2 2 解:建立解:建立(jinl)(jinl)坐标系如图坐标系如图x xy y则则v vx x=2=2 Rcos2 Rcos2 t tv vy y=-2=-2 Rsin2 Rsin2 t t =2 =2 R Rx=Rsin2x=Rsin2 =Rsin2=Rsin2 t t y=Rcos2 y=Rcos2 =Rcos2=Rcos2 t t第32页/共36页第三十三页,共36页。ax=-4 2Rsin2 tay=-4 2Rcos2 tvx=
19、2 Rcos2 tvy=-2 Rsin2 tx=Rsin2 t y=Rcos2 t=4 2R=-4 2x=-4 2ya=ax i+ay j=-4 2(xi+yj)=-4 2 r由此可见,由此可见,a 的方向与矢量的方向与矢量(shling)相反,由相反,由M指向指向O点。点。RMAO B2 xy第33页/共36页第三十四页,共36页。自然自然(zrn)轴法轴法RMAO B2 xyO1第34页/共36页第三十五页,共36页。已知已知:x=a cos t y=a sin t z=bt这是一个圆柱面上的螺旋曲线,这是一个圆柱面上的螺旋曲线,求:求:v、a、an、。解:解:vx=-a sin tvy=a cos tvz=b=a 2ax=-a 2 cos tay=-a 2 sin taz=0作业作业(zuy)5-1,9第35页/共36页第三十六页,共36页。