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1、平稳平稳(pngwn)时间序列模型的基本概念时间序列模型的基本概念解析解析第一页，共61页。一、随机(su j)过程 （一）随机过程的定义（一）随机过程的定义（二）随机过程与随机变量（二）随机过程与随机变量(su j bin lin)之间的关系之间的关系返回(fnhu)本节首页下一页上一页返回本节首页上一页第1页/共61页第二页，共61页。1.引言：事物的变化过程可分为两类：对于每一个固定的时刻t，变化的结果，一类是确定的，这个结果可用t的某个确定性函数来描述(mio sh)；另一类结果是随机的，即以某种可能性出现多个（有限多个或无限多个）结果之一。（一）随机过程(guchng)的定义下一页返
2、回(fnhu)本节首页上一页第2页/共61页第三页，共61页。2.定义(dngy)：设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每一个e ，我们总可以(ky)依某种规则确定一时间t的函数与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于所有的的e 来说，就得到这族时间t的函数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数（或一次实现）。第3页/共61页第四页，共61页。该定义蕴涵该定义蕴涵(ynhn)的四种情况：的四种情况：1、当、当e和和t都是变量时，都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过是一族时间的函数，它表示一个随机过程；程；2、当、当e给定，给定，t为变量时，为变量时，x
3、(t)是一个时间是一个时间t的函数，称它为样本函的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。数，有时也称为一次实现。3、当、当t给定，给定，e为变量时，为变量时，x(t)是一个随机变量。是一个随机变量。4、当、当e、t均给定时，均给定时，x(t)是一个标量或者矢量。是一个标量或者矢量。第4页/共61页第五页，共61页。第5页/共61页第六页，共61页。我们所要讨论的时间序列(xli)分析，只是对平稳序列(xli)及其有关的随机序列(xli)进行统计分析，而不是对所有的随机序列(xli)进行统计分析。此类随机过程(guchng)又称随机序列（random sequence)或时间序列（time
4、series)。对于一个连续时间的随机过程(guchng)，通过等间隔采样，也是一个随机序列。第6页/共61页第七页，共61页。区别：区别：1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随机过程、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随机过程是一族是一族(y z)时间时间t的函数。的函数。2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无关，而无关，而随机过程与时间密切相关。随机过程与时间密切相关。3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过程描述、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过程描述事物发展变化的动态。事物发展变化
5、的动态。（二）随机过程（二）随机过程(guchng)与随机变量之间的关系与随机变量之间的关系下一页返回(fnhu)本节首页上一页第7页/共61页第八页，共61页。联系：联系：1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的特性。、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的特性。2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数集为单、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数集为单元素集的随机过程。元素集的随机过程。3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到、当随机过程固定某一个时刻时，就得到(d do)一个随机变一个随机变量。量。4、随机过程是、随机过程是N维随机向量、随机变量
6、列的一般化，它是随机变维随机向量、随机变量列的一般化，它是随机变量量X(t)的集合。的集合。第8页/共61页第九页，共61页。二、平稳(pngwn)时间序列（一）两种不同（一）两种不同(b tn)(b tn)的平稳性定义的平稳性定义（二）时间序列的分布、均值和协方差函数（二）时间序列的分布、均值和协方差函数（三）平稳序列的自协方差和自相关函数（三）平稳序列的自协方差和自相关函数（四）白噪声序列和独立同分布序列（四）白噪声序列和独立同分布序列（五）独立增量随机过程、二阶矩过程（五）独立增量随机过程、二阶矩过程（六）线性平稳序列（六）线性平稳序列（七）偏自相关函数（七）偏自相关函数下一页返回(fn
7、hu)本节首页上一页第9页/共61页第十页，共61页。（一）两种不同(b tn)的平稳性定义1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值t1t2=0，用，用X(t1,t2)表示随机变量表示随机变量(su j bin lin)X(t2)-X(t1),并称为并称为X(t)在在(t1,t2)上的增量，如果对一切上的增量，如果对一切t1t2=0是一个独立增量过程。是一个独立增量过程。马氏过程：从对过去记忆性角度来考虑的，简单的说，一阶马氏过程表马氏过程：从对过去记忆性角度来考虑的，简单的说，一阶马氏过程表示：将来时刻示：将来时刻tn的状态的状态xn的统计特性仅取决于现在时刻的统计特性仅取决于现在时刻tn
8、-1时刻的值时刻的值xn-1。下一页返回(fnhu)本节首页上一页第29页/共61页第三十页，共61页。二阶矩过程二阶矩过程定义：若一个随机过程定义：若一个随机过程X(t)，如果，如果对于一切对于一切 ,总有总有则称此过程为二阶矩过程。宽平稳则称此过程为二阶矩过程。宽平稳(pngwn)过程是二阶矩过程中的一类。高斯过程也是二过程是二阶矩过程中的一类。高斯过程也是二阶矩过程。高斯分布是指随机过程的各有限维阶矩过程。高斯分布是指随机过程的各有限维分布都是高斯分布，高斯分布的各阶矩都存在，分布都是高斯分布，高斯分布的各阶矩都存在，故也属于二阶矩过程。故也属于二阶矩过程。第30页/共61页第三十一页，
9、共61页。（六）线性平稳(pngwn)序列1.1.时间时间(shjin)(shjin)序列的线性序列的线性 运算运算设设XtXt与与YtYt为两个时间为两个时间(shjin)(shjin)序列，序列，a a，b b为两个实数，为两个实数，那么，那么，zt=aXt+bYt t=0,1,2 zt=aXt+bYt t=0,1,2 为序列为序列XtXt与与YtYt的一种线性运算。的一种线性运算。2.2.时间时间(shjin)(shjin)序列的延迟运算序列的延迟运算设设XtXt为一时间为一时间(shjin)(shjin)序列，序列，d d为一正整数，那么，为一正整数，那么，Yt=Xt-d t=0,1,
10、2 Yt=Xt-d t=0,1,2 为为XtXt的的d d步延迟运算。步延迟运算。下一页返回(fnhu)本节首页上一页第31页/共61页第三十二页，共61页。3.时间序列(xli)的线性与延迟联合运算yt=a0 xt+a1xt-1+apXt-p t=0,1,2为时间序列(xli)线性与延迟联合运算。当ai=1/p，i=0,1,2,时，Yt即为对序列(xli)Xt的移动平均序列(xli)。4.时间序列(xli)的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。第32页/共61页第三十三页，共61页。5.5.平稳平稳(pngwn)(pngwn)
11、线性序列线性序列设设atat为正态白为正态白 噪声序列，则称序列：噪声序列，则称序列：注：可以证明(zhngmng)，为一宽平稳序列。为线性平稳(pngwn)序列。第33页/共61页第三十四页，共61页。（七）偏自相关(xinggun)函数偏自相关函数：指扣除(kuch)Xt和Xt+k之间的随机变量Xt+1,Xt+2,Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。偏自相关函数一般用 表示。偏自相关(xinggun)其实就是如下的条件相关(xinggun)：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 Xt+k-1)下一页返回本节首页上一页第34页/共61页第三十五页，共61页。三、随机(s
12、u j)过程的特征描述（一）样本均值（二）样本自协方差函数(hnsh)（三）样本自相关函数(hnsh)（SACF）（四）样本偏自相关函数(hnsh)下一页返回(fnhu)本节首页上一页第35页/共61页第三十六页，共61页。（一）样本均值 对时间序列的一次样本实现，需要用样本均值代替总体(zngt)均值 可以证明，是 的无偏(w pin)、一致估计。下一页 返回(fnhu)本节首页上一页第36页/共61页第三十七页，共61页。对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样本自协方差函数估计(gj)总体自协方差函数。这里有两种形式：（二）样本(yngbn)自协方差函数下一页返回(fnhu)本节首页上
13、一页第37页/共61页第三十八页，共61页。通过证明有如下结论：上述样本自协方差函数 都是总体自协方差函数 的渐近无偏估计，且 比 的偏差要大。但是，比 的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此(ync)我们通常用 作为样本自协方差函数。第38页/共61页第三十九页，共61页。由于当k相对于n而言较大时，的偏比 更大，因此，在时间(shjin)序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4第39页/共61页第四十页，共61页。（三）样本自相关函数（SACF）1.对给定的序列(xli)x1,x2,xn，样本自相关函数定义为：下一页返回(fnhu)本节首页上一页第40页/共61页第四十一页
14、，共61页。（四）样本(yngbn)偏自相关函数（SPACF）1.样本(yngbn)偏自相关函数有如下递推公式(Durbin1960)：下一页返回(fnhu)本节首页上一页第41页/共61页第四十二页，共61页。例如，根据上述递推公式(gngsh)，我们有：第42页/共61页第四十三页，共61页。在过程是一个白噪声序列(xli)的假设下，所以，能作为检验白噪声过程假设(jish)的准则区限。第43页/共61页第四十四页，共61页。四、线性差分(ch fn)方程（一）线性差分方程（二）关于线性差分方程基本定理(dngl)（三）n阶常系数线性差分方程的解下一页返回(fnhu)本节首页上一页第44页
15、/共61页第四十五页，共61页。（一）线性差分（一）线性差分(ch fn)(ch fn)方程方程1.n阶非齐次线性差分(ch fn)方程2.n阶齐次线性差分(ch fn)方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若 ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。下一页返回本节首页上一页第45页/共61页第四十六页，共61页。（二）关于（二）关于(guny)(guny)线性差分方程基本线性差分方程基本定理定理定理1.若y1(t)，y2(t)，ym(t)是n阶齐次线性差分(ch fn)方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分(ch fn
16、)方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cmym(t)式中c1、c2cm为任意常数。下一页返回(fnhu)本节首页上一页第46页/共61页第四十七页，共61页。定理2.n阶齐线性齐次差分(ch fn)方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cnyn(t)式中c1、c2cn为n个任意常数。第47页/共61页第四十八页，共61页。定理3.N阶非齐次线性差分方程（1）的通解等于(dngy)它的一个特解与它对应的齐次方程（2）的通解之和。第48页/共61页第四十
17、九页，共61页。（三）（三）n n阶常系数阶常系数(xsh)(xsh)线性差分方程的解线性差分方程的解1.n 阶常系数线性差分方程(fngchng)的一般形式其中：a1,a2,an为常数，且an不为(b wi)零，f(t)为t的已知函数。下一页返回本节首页上一页第49页/共61页第五十页，共61页。（4）式为（3）式所对应(duyng)的齐次方程。第50页/共61页第五十一页，共61页。2.齐次线性差分(ch fn)方程的通解设齐次方程(fngchng)（4）有特解：则：称为方程(fngchng)（4）的特征方程(fngchng)，此特征方程(fngchng)的解称为特征根。第51页/共61页
18、第五十二页，共61页。（1）若特征(tzhng)方程有一实特征(tzhng)根 ，其重数为m（m=n）则：为齐次方程(fngchng)的m个线性无关解。第52页/共61页第五十三页，共61页。（2）若特征方程有一对(y du)共轭复根第53页/共61页第五十四页，共61页。（3）将所得的n个线性无关特解组合(zh)，即得齐次方程的通解：其中(qzhng)：c1,c2,cn为n个任意常数。第54页/共61页第五十五页，共61页。第55页/共61页第五十六页，共61页。第56页/共61页第五十七页，共61页。第57页/共61页第五十八页，共61页。3.非齐次方程的特解和通解 非齐次方程的特解可以通过待定系数(xsh)法求出。非齐次方程的通解等于它的一个特解加上它对应的齐次方程的通解。第58页/共61页第五十九页，共61页。第59页/共61页第六十页，共61页。第60页/共61页第六十一页，共61页。