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1、3.1 时间序列的基本概念一、随机过程二、平稳时间序列三、随机过程的特征描述四、线性差分方程一、随机过程 （一）随机过程的定义一）随机过程的定义（二）随机过程与随机变量之间的关二）随机过程与随机变量之间的关系系返回本节首页下一页上一页返回本节首页上一页1.引言：事物的变化过程可分为两类：对于每一个固定的时刻t，变化的结果，一类是确定的，这个结果可用t的某个确定性函数来描述；另一类结果是随机的，即以某种可能性出现多个（有限多个或无限多个）结果之一。（一）随机过程的定义下一页返回本节首页上一页2.定义：设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每一个e ，我们总可以依某种规则确定一时间t的函数与之
2、对应（T是时间t的变化范围），于是，对于所有的的e 来说，就得到这族时间t的函数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过程的样本函数（或一次实现）。该该定义蕴涵的四种情况：定义蕴涵的四种情况：1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表示一个随机过程；2、当e给定，t为变量时，x(t)是一个时间t的函数，称它为样本函数，有时也称为一次实现。3、当t给定，e为变量时，x(t)是一个随机变量。4、当e、t均给定时，x(t)是一个标量或者矢量。我们所要讨论的时间序列分析，只是对平稳序列及其有关的随机序列进行统计分析，而不是对所有的随机序列进行统计分析。此类随机过程又称随机序列（random
3、 sequence)或时间序列（time series)。对于一个连续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个随机序列。区别区别：1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随机过程是一族时间机过程是一族时间t的函数。的函数。2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无无关，而随机过程与时间密切相关。关，而随机过程与时间密切相关。3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过程描述事物发展变化的动态。程描述事物发展变化的动态。（二）随机过
4、程与随机变量之间的关系（二）随机过程与随机变量之间的关系下一页返回本节首页上一页联系：联系：1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的特性。2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数集为单元素集的随机过程。3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机变量。4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，它是随机变量X(t)的集合。二、平稳时间序列（一）两种不同的平稳性定义（二）时间序列的分布、均值和协方差函数（三）平稳序列的自协方差和自相关函数（四）白噪声序列和独立同分布序列（五）独立增量随机过程、二阶矩过程（六）线性平稳序列（七）偏自相关函数下一页返回本节首页上一页（一
5、）两种不同的平稳性定义1.严平稳过程严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值t1t2=0，用X(t1,t2)表示随机变量X(t2)-X(t1),并称为X(t)在(t1,t2)上的增量，如果对一切t1t2=0是一个独立增量过程。马氏过程：从对过去记忆性角度来考虑的，简单的说，一阶马氏过程表示：将来时刻tn的状态xn的统计特性仅取决于现在时刻tn-1时刻的值xn-1。下一页返回本节首页上一页二阶矩二阶矩过程过程定义：若一个随机过程X(t)，如果对于一切 ,总有则称此过程为二阶矩过程。宽平稳过程是二阶矩过程中的一类。高斯过程也是二阶矩过程。高斯分布是指随机过程的各有限维分布都是高斯分布，高斯分布的各阶
6、矩都存在，故也属于二阶矩过程。（六）线性平稳序列1.时间序列的线性 运算设Xt与Yt为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=aXt+bYt t=0,1,2 为序列Xt与Yt的一种线性运算。2.时间序列的延迟运算设Xt为一时间序列，d为一正整数，那么，Yt=Xt-d t=0,1,2 为Xt的d步延迟运算。下一页返回本节首页上一页3.时间序列的线性与延迟联合运算yt=a0 xt+a1xt-1+apXt-p t=0,1,2为时间序列线性与延迟联合运算。当ai=1/p，i=0,1,2,时，Yt即为对序列Xt的移动平均序列。4.时间序列的非线性运算非线性运算的形式是多种多样的：如yt=xt2+ax
7、t，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。5.平稳线性序列设at为正态白 噪声序列，则称序列：注：可以证明，为一宽平稳序列。为线性平稳序列。（七）偏自相关函数偏自相关函数：指扣除Xt和Xt+k之间的随机变量Xt+1,Xt+2,Xt+k-1等影响之后的Xt和Xt+k之间的相关性。偏自相关函数一般用 表示。偏自相关其实就是如下的条件相关：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 Xt+k-1)下一页返回本节首页上一页三、随机过程的特征描述（一）样本均值（二）样本自协方差函数（三）样本自相关函数（SACF）（四）样本偏自相关函数下一页返回本节首页上一页（一）样本均值 对时间序列的一次样本实现，需要
8、用样本均值代替总体均值 可以证明，是 的无偏、一致估计。下一页返回本节首页上一页 对于时间序列的一次样本现，我们也需要通过样本自协方差函数估计总体自协方差函数。这里有两种形式：（二）样本自协方差函数下一页返回本节首页上一页通过证明有如下结论：上述样本自协方差函数 都是总体自协方差函数 的渐近无偏估计，且 比 的偏差要大。但是，比 的方差小，且在大样本情况下（n很大），二者差别不大，因此我们通常用 作为样本自协方差函数。由于当k相对于n而言较大时，的偏比 更大，因此，在时间序列分析时，一般滞后期k最多取至n/4（三）样本自相关函数（SACF）1.对给定的序列x1,x2,xn，样本自相关函数定义为
9、：下一页返回本节首页上一页（四）样本偏自相关函数（SPACF）1.样本偏自相关函数有如下递推公式(Durbin1960)：下一页返回本节首页上一页例如，根据上述递推公式，我们有：在过程是一个白噪声序列的假设下，所以，能作为检验白噪声过程假设的准则区限。四、线性差分方程（一）线性差分方程（二）关于线性差分方程基本定理（三）n阶常系数线性差分方程的解下一页返回本节首页上一页（一）线性差分方程1.n阶非齐次线性差分方程2.n阶齐次线性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)为t的已知函数，且an(t)、f(t)不同时为零，若 ai(t)为常数，则上述两式即为常系数差分方程。下一页返回本节首页
10、上一页（二）关于线性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，ym(t)是n阶齐次线性差分方程（2）的m个特解，则如下的线性组合也是该差分方程的的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cmym(t)式中c1、c2cm为任意常数。下一页返回本节首页上一页定理2.n阶齐线性齐次差分方程一定存在n个线性无关的特解，若y1(t)，y2(t)，yn(t)为式（2）的n个线性无关的特解，则（2）式的通解为：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+cnyn(t)式中c1、c2cn为n个任意常数。定理3.N阶非齐次线性差分方程（1）的通解等于它的一个特解与它对应的齐次方程（2）的通解之和
11、。（三）n阶常系数线性差分方程的解1.n 阶常系数线性差分方程的一般形式其中：a1,a2,an为常数，且an不为零，f(t)为t的已知函数。下一页返回本节首页上一页（4）式为（3）式所对应的齐次方程。2.齐次线性差分方程的通解设齐次方程（4）有特解：则：称为方程（4）的特征方程，此特征方程的解称为特征根。（1）若特征方程有一实特征根 ，其重数为m（m=n）则：为齐次方程的m个线性无关解。（2）若特征方程有一对共轭复根（3）将所得的n个线性无关特解组合，即得齐次方程的通解：其中：c1,c2,cn为n个任意常数。3.非齐次方程的特解和通解 非齐次方程的特解可以通过待定系数法求出。非齐次方程的通解等于它的一个特解加上它对应的齐次方程的通解。