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1、会计学1幂级数解方程偏微分方程幂级数解方程偏微分方程第一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。11.111.1二阶常微分方程的幂级数解法二阶常微分方程的幂级数解法11.1.1幂级数解法理论概述 1.球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量一、分离变量法求解偏微分方程：第1页/共92页第二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。可直接求解可直接求解对第3个方程作变量替换为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解第2页/共92页第三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0为 l 阶勒让德方程，不可直接求解2.柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量第3页/共92页第四页，编辑于星期一
2、：二十一点 十五分。可直接求解可直接求解对第3个方程：(1)若 0，作变换为 m 贝塞尔方程，不可直接求解=0可直接求解第4页/共92页第五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。(2)若 0，作变换为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解.第5页/共92页第六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程。用其他坐标系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出现各种各样的特殊函数方程，它们大多是二阶线性常微分方程。这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。不失
3、一般性，我们讨论复变函数(z)的线性二阶常微分方程：(11.1.1)第6页/共92页第七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。这里 z 是复变量，p(z)和 q(z)是已知的复变函数，称为方程的系数，(z)是待求的未知函数，z0为选定的点，C0和C1为复常数。这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法求解二阶常微分方程的具体过程为：（1）任选某个点z0，在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数；第7页/共92页第八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（2）将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件，求出所有待定幂级数系数。(2)既然是级数，就存在是否收敛和收敛
4、范围的问 题；说明：级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无 特殊的要求；(3)级数解法的计算较为繁琐，要求耐心和细心。第8页/共92页第九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。二、方程的常点和奇点概念 定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的常点。定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解析，则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称为方程的非正则奇点。第9页/共
5、92页第十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为点z0的邻域|z-z0|R 中的解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解(z)满足初始条件(z0)=C0和(z0)=C1。定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为其中a0和a1为任意常数，0(z)和1(z)为在点z0解析的两个线性独立的函数。(11.1.2)第10页/共92页第十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：方程的系数：
6、第11页/共92页第十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。在x0=0，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有泰勒级数形式：根据此解的形式，于是有：第12页/共92页第十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。代入勒让德方程，可得：合并整理后可得：第13页/共92页第十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。将各求和号内k的起点统一化：第14页/共92页第十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因此合并x的同幂次项后有：第15页/共92页第十六页，编辑于星期一：二十一点 十五
7、分。要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂次前的系数必须为0，即：解得系数间的递推关系：第16页/共92页第十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因此，若知道级数系数a0、a1，则可由上述递推公式计算出任一系数ak(k=2,3,)。系数递推：.第17页/共92页第十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。.第18页/共92页第十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。勒让德方程的解为：第19页/共92页第二十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法)为：因此，级数解 pl(x)和 ql(
8、x)收敛于|x|1；但勒让德方程中的x=cos定义于-1,1上，因此还要考虑级数解在x=1处的收敛性。第20页/共92页第二十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。高斯判别法：对于正项级数 ，当时，若前后邻项之比可表示为：其中B(k)是当k时为k的有界函数，则当1时级数收敛，当 1时级数发散。第21页/共92页第二十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。对于足够大的k，pl(x)和ql(x)均为正项级数。对于pl(x)：根据高斯判别法，=1，级数pl(x)发散。有界第22页/共92页第二十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。对于ql(x)：根据高斯判别法，=1，级数ql(x)发散。有界第23
9、页/共92页第二十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。如果级数解 pl(x)和 ql(x)退化为有限项，即多项式，则它们在x=1处取有限数值，那么发散问题就根本不存在了。考察 pl(x)：第24页/共92页第二十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则 pl(x)只到x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数，而是2n次多项式，并且只含偶次幂。至于pl(x)因其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发散。考察ql(x)，如果l是某个奇数，l=2n+1(n是非负整数)，则
10、ql(x)只到x2n+1项为止，从x2n+3项起，系数都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x)是2n+1次多项式，并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含(2n+1-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发散。第25页/共92页第二十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。其实，考察级数解的系数递推公式便知，只要l是整数，如l=n(正负均可)，k从某个数k=n(n为正)或k=-n-1(n为负)起，级数解的偶数或奇数系数全为0：ak+2=0、ak+4=0，级数的偶数或奇数部分变成多项式。一般情况下，我们均取l是非负整数，且在一般解y(x)中取常数a0=0(a10)或a1=0(a00)，使y
11、(x)成为一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式，作为特解，称作l阶勒让德多项式，记Pl(x)。第26页/共92页第二十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。可以看出 l 次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐，为了使其有比较简单的形式，且使它在x=1处的值恒为1(归一化)，选最高次幂的系数为：勒让德多项式Pl(x)的系数递推关系改写为：第27页/共92页第二十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。这样我们可从最高次幂系数al依次获得其它低次幂系数：第28页/共92页第二十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。第29页/共92页第三十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。.第30页/共92页第三十一页，
12、编辑于星期一：二十一点 十五分。依次做下去，利用数学归纳法，可得：其中：第31页/共92页第三十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因此所求得的勒让德方程的多项式解为：该 l 阶勒让德多项式Pl(x)也称为第一类勒让德函数。前几个勒让德多项式：第32页/共92页第三十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。第33页/共92页第三十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。当l是非负整数时，勒让德方程的一般解中的一个解为勒让德函数，而另外一个线性独立的解则为无穷级数，称为第二类勒让德函数，记为Ql(x)，其表达式为（朗斯基行列式导出，不作要求）：第34页/共92页第三十五页，编辑于星期一：二十一点
13、十五分。Ql(x)和Pl(x)的递推公式具有相同的形式，所以勒让德方程的通解为第35页/共92页第三十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。总结：（1）当l不是整数时，勒让德方程在区间-1,1上 有无解解；（2）当l是整数时，勒让德方程的通解为Pl(x)称为第一类勒让德函数，Ql(x)称为第二类勒让德函数；（3）当l是整数时，在自然边界条件下(|cos|1)，要求解有界，因此必须取C2=0。第36页/共92页第三十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的 求解）对于复变函数(z)的线性二阶常微分方程：如果选定的z0是该方程的奇点，则一般来说，解也以z0
14、为奇点，在z0邻域上的展开式不是泰勒级数而含有负幂项，即展开式是罗朗级数，且有如下定理：第37页/共92页第三十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。定理 11.1.3 若z0为方程(11.1.1)的正则奇点，则存在两个线性无关(独立)的解，它们在这奇点的去心邻域上可表示成下列形式：和或：常系数s1、s2、ak、bk和A通过将解代入方程合并(z-z0)的同幂项使其系数为0得出，这里不作展开。第38页/共92页第三十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（1）贝塞尔方程的求解对于上述阶贝塞尔方程所以x=0为方程的正则奇点，根据上述定理，方程的一个特解可展开为如下形式的级数：第39页/共92页第四
15、十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。此时将此3式代入阶贝塞尔方程，可得：第40页/共92页第四十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。合并x的同幂次：要使此方程对任意的x都成立，则必须使x的各幂次前的系数为0，即：第41页/共92页第四十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。取a00，由第1式可解得：代入第2式，可解得：因为由3式，可解得级数解的系数递推公式：第42页/共92页第四十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因为a1=0，从该递推公式可知：取c=(0)，可得偶数幂次系数：第43页/共92页第四十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因此我们得到贝塞尔方程的一个特解：第44页/共9
16、2页第四十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。通常我们取并记y1(x)为J(x)，称之为阶贝塞尔函数，即若取c=-，及可得方程的另一个特解，并记为J-(x)，称之为-阶贝塞尔函数，即第45页/共92页第四十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。若n(整数)，当x0时J(x)和J-(x)统称为阶第一类贝塞尔函数。常数J(x)和J-(x)线性无关，因此贝塞尔方程的通解为：第46页/共92页第四十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。若=n(整数)(-n+m+1)函数的定义要求(-n+m+1)0，即m n-1，令k=m-n，可得第47页/共92页第四十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。即正、负
17、n阶的贝塞尔函数线性相关，因此它们的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需要根据Jn(x)求出另一个与它线性无关的特解：通常这一特解定义为称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。第48页/共92页第四十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（2）贝塞尔方程解的敛散性对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为：即级数解J(x)的收敛范围为0|x|。对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为：但此级数解J(x)存在负幂项，所以其收敛范围为0|x|。第49页/共92页第五十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（3）贝塞尔函数举例最低阶的二个第一类贝塞尔函数J0(x)和J1(x)在实际应用中经常遇到，如平行光通过凸
18、透镜在交点处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到第50页/共92页第五十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。第51页/共92页第五十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。第52页/共92页第五十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。11.1.2 施图姆刘维尔本征值 在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才有非零解，这些未知参数所取的特定值称为本征值，相应的非零解则称为本征函数。求本征值和本征函数的问题称为本征值问题。一些偏微分方程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的解决。因此
19、从数学理论上讨论本征值问题具有重要的意义。第53页/共92页第五十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。前面对数理方程分离变量后所得到的一些带有参量的常微分方程的一般形式为：一、施图姆刘维尔本征值问题做变换第54页/共92页第五十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。则原方程变为因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称为施图姆刘维尔型方程，简称为S-L方程。施图姆刘维尔型方程附以奇次的第一类、第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆刘维尔本征值问题。第55页/共92页第五十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例1：或自然边界条件：有界代入S-L方
20、程可得：有界有界此两方程为勒让德方程本征值问题。第56页/共92页第五十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例2：或自然边界条件：有界代入S-L方程可得：第57页/共92页第五十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。有界有界此两方程为连带勒让德方程本征值问题。第58页/共92页第五十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例3：自然边界条件：有界代入S-L方程可得：有界此方程为贝塞尔方程本征值问题。注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标第59页/共92页第六十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例4：C1、C2为常数代入S-L方程可得：一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程，其本征值和本征
21、函数分别为：第60页/共92页第六十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例5：代入S-L方程可得：这是埃尔米特方程的增长不快于的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振子问题）第61页/共92页第六十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例6：代入S-L方程可得：这是拉盖尔方程的本征值问题。（此问题来自量子力学中的氢原子问题）的增长不快于，y(0)有限第62页/共92页第六十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。注：在以上各例中，k(x)、q(x)和(x)在开区间(a,b)上都取正直。（2）贝塞尔方程的k(x)=x，k(0)=0，在端点x=0确实存在着自然边界条件；从以上各例还可看出，如端点
22、a和b是k(x)的一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件，例如：（1）勒让德方程的k(x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0，在端点x=1确实存在自然边界条件；（3）再如拉盖尔方程的k(x)=xe-x，k(0)在端点x=0确实有自然边界条件。第63页/共92页第六十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质（1）如果k(x)、k(x)、q(x)连续或者最多以x=a 和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值条件：S-L本征值问题中的k(x)、q(x)和(x)在 开区间(a,b)上非负（0）。相应的有无限多个本征函数第64页/共92页第六十五页，编辑于星期一
23、：二十一点 十五分。（2）所有本征值为实数且非负，即证明：本征值n和本征函数yn(x)满足用yn(x)遍乘各项，并逐项从a到b积分可得第65页/共92页第六十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。如果在端点x=a是第一类奇次条件yn(a)=0、第二类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件k(a)=0，则第66页/共92页第六十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。如果在端点x=a是第三类奇次条件(yn-hyn)x=a=0，则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有因此，有即大家自己证明n=*n第67页/共92页第六十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（3）相应于不同本征值m和n的本征函数ym和y
24、n 在区间a,b上带权重(x)正交，即证明：本征函数ym和yn(x)满足yn(x)第一式 ym(x)第二式，可得 第68页/共92页第六十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。逐项在区间a,b积分，可得第69页/共92页第七十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。如果在端点x=b是第一类奇次条件y(b)=0、第二类奇次条件y(b)=0或自然边界条件k(b)=0，则如果在端点x=b是第三类奇次条件(y+hy)x=b=0，则同理，可得无论在哪种边界条件下，都有第70页/共92页第七十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。因此，有又mn，所以得证。如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系第71页
25、/共92页第七十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。（4）本征函数族y1(x),y2(x),y3(x),是完备的。这是说，如果函数f(x)具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数：证明超出我们的范围，略。第72页/共92页第七十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。三、广义傅里叶级数绝对一致收敛的级数称为广义傅里叶级数，系数fn(n=1,2,)叫作f(x)的广义傅里叶系数，函数族yn(x)叫作这个级数展开的基。用ym(x)(x)乘上述级数展开式并逐项积分，可得：第73页/共92页第七十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。记：由
26、于本征函数带权重的正交性质，上式右端除了n=m项之外全为0，因此有：上式积分的平方根Nm项叫作本征函数ym(x)的模。第74页/共92页第七十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。从而f(x)的广义傅里叶系数 fm为:如果本征函数的模Nm=1(m=1,2,)，就称为归一化的本征函数。对于正交归一化的本征函数族，上述广义傅里叶系数计算公式变为：对于非归一化的本征函数yn(x)，只要改用yn(x)/Nn，就实现了本征函数的归一化。第75页/共92页第七十六页，编辑于星期一：二十一点 十五分。为了方便，我们常将本征函数的正交关系写为:其中：称为克罗内克函数，对于正交归一化的本征函数族，上式简化为第7
27、6页/共92页第七十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。注：为了应用广义傅里叶系数计算公式，必须先判 定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能 计算本征函数族的模。第77页/共92页第七十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。四、复数的本征函数族 以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函数。但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如本征值方程自然周期条件的本征函数族通常是实函数族：第78页/共92页第七十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。这些实函数族也完全可以由如下复函数族代替对于复数本征函数族，为了保证模是实数，通常将模定义修改为其中ym(x)*为ym(x)的复数共轭，正交关系也相应地变
28、为第79页/共92页第八十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。两式统一起来，即而广义傅里叶系数的计算公式为注：实际应用中，除非特殊情况，我们一般不知道 本征函数族是复数还是实数，因此处理时常都 按它们是复数处理，如果它们的虚部为0，则它 们就是实的。第80页/共92页第八十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。五、希尔伯特空间 为了帮助理解，我们以无限维的希尔伯特空间中的矢量做类比。广义傅里叶级数希尔伯特空间函数 f(x)本征函数 yn(x)坐标轴矢量i1,i2,i3,“矢量”第81页/共92页第八十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。“基底矢量”即in并不一定是“单位矢量”(它们的“长度”
29、即模不一定为1)，因而矢量 f 的“分量”计算公式中出现inin。第82页/共92页第八十三页，编辑于星期一：二十一点 十五分。11.1.4 例题例13.3.1 将勒让德方程化成施刘型方程解：由施刘型方程的标准形式令即可将勒让德方程转化为施刘型方程第83页/共92页第八十四页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例13.3.2 将连带勒让德方程化成施刘型方程解：令即可将连带勒让德方程转化为施刘型方程式中m为常数。第84页/共92页第八十五页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例13.3.3 将贝塞尔方程化成施刘型方程解：令即可将贝塞尔方程转化为施刘型方程第85页/共92页第八十六页，编辑于星期一：二
30、十一点 十五分。例13.3.4 将球贝塞尔方程化成施刘型方程解：令即可将球贝塞尔方程转化为施刘型方程第86页/共92页第八十七页，编辑于星期一：二十一点 十五分。例13.3.5 求下列边值问题的本征值和本征函数解：原方程为欧拉型方程，其通解形式为利用恒等式第87页/共92页第八十八页，编辑于星期一：二十一点 十五分。边界条件方程的通解也可写为A、B为任意常数第88页/共92页第八十九页，编辑于星期一：二十一点 十五分。常数B不能为0，否则方程的解为零，因此所以所求问题的本征值为：对应的本征函数为：第89页/共92页第九十页，编辑于星期一：二十一点 十五分。本征函数族的正交性和模：第90页/共92页第九十一页，编辑于星期一：二十一点 十五分。11.1.4 作业P245:11.1 (1)、11.2(2)第91页/共92页第九十二页，编辑于星期一：二十一点 十五分。