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1、传感与转换技术的传感与转换技术的理论基础理论基础2测量、误差测量、误差的基本概念的基本概念 误差的判定准则误差的判定准则及其处理方法及其处理方法 测量概论测量概论测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理误误 差差绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差、相对误差、引用误差 基本误差、附加误差、残余误差基本误差、附加误差、残余误差 随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差 计算方法计算方法残余误差残余误差均方根偏差均方根偏差(估计估计)算术平均值的均方根偏差算术平均值的均方根偏差知识要点知识要点3带着思考来学习带着思考来学习 怎样用数学表达式描述误差？测量值的表达式如何书写？如何判断
2、粗大误差？测量误差41.1 测量概论测量概论测测 量量 measure n测量是以确定测量是以确定量值量值为目的的一系列操作。所为目的的一系列操作。所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较，确定被测量对标准量的倍数。它进行比较，确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示可由下式表示:式中式中 ：x x 被测量值被测量值;u u 标准量标准量,即测量单位即测量单位;n n 比值（纯数）比值（纯数）,含有测量误差。含有测量误差。5仪表指针仪表指针 测测量量方方法法 measuring method 实现被测量与标准量比较得出比值的方实现被测量与标准量比较
3、得出比值的方法，称为测量方法。通过测量方法、测量条法，称为测量方法。通过测量方法、测量条件、测量仪表、被测量的变化进行分类。件、测量仪表、被测量的变化进行分类。n直接测量、直接测量、间接测量与组合测量间接测量与组合测量n等精度测量与不等精度测量等精度测量与不等精度测量n偏差式测量、零位式测量与微差式测量偏差式测量、零位式测量与微差式测量n静态测量与动态测量静态测量与动态测量直接测量直接测量的结果的结果测量条件测量条件被测量与时被测量与时间的关系间的关系6测测量量误误差差 measuring error n测量的目的是希望通过测量获取测量的目的是希望通过测量获取被测量被测量的的真实真实值值。但由
4、于种种原因，。但由于种种原因，例如，传感器本身性例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等干扰的影响等，都会造成被测参数的测量值，都会造成被测参数的测量值与真实值不一致，两者与真实值不一致，两者不一致程度不一致程度用测量误用测量误差表示。差表示。n测量误差就是测量值与真实值之间的差值。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。7 测量误差的表示方法测量误差的表示方法 绝对误差：绝对误差可用下式定义绝对误差：绝对误差可用下式定义:=x-L 式中：式中：绝对误差绝对误差;x 测量值测量值;L 真实值。真实值。相对误差：相对误差的定义相对误
5、差：相对误差的定义:=100%式中式中:相对误差，一般用百分数给出相对误差，一般用百分数给出 8 引用误差：相对仪表满量程的一种误差引用误差：相对仪表满量程的一种误差 基基本本误误差差：指指仪仪表表在在规规定定的的标标准准条条件件下下所所具具有有的的误误差差。如如传传感感器器在在(2205)v,(502)Hz,(252)条件下所具有的误差。条件下所具有的误差。附附加加误误差差：指指传传感感器器或或仪仪表表的的使使用用条条件件偏偏离离额额定定条条件件下下出出现现的的误误差差。引用误差引用误差=100%测量范围上限测量范围上限-测量范围下限测量范围下限绝对误差绝对误差92.测量误差出现的规律测量误
6、差出现的规律误差分为三种误差分为三种:随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差 随机误差：随机误差：对同一被测量进行多次重复测对同一被测量进行多次重复测量时，量时，绝对值和符号绝对值和符号不可预知地随机不可预知地随机变化变化，但就误差的总体而言，具有一定的，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。统计规律性的误差称为随机误差。随机误差随机误差10 系统误差：系统误差：对同一被测量进行多次重复测对同一被测量进行多次重复测量时，如果误差按照量时，如果误差按照一定的规律出现一定的规律出现，则把这种误差称为系统误差。则把这种误差称为系统误差。例如：标准量值的不准确及
7、仪表刻度的例如：标准量值的不准确及仪表刻度的 不准确而引起的误差。不准确而引起的误差。系统误差系统误差 粗大误差：粗大误差：超出在规定条件下预期的误差超出在规定条件下预期的误差为粗大误差（疏忽误差）。为粗大误差（疏忽误差）。测量者测量者疏忽大意疏忽大意或环境条件的或环境条件的突然突然变化变化会引起这类误差。对于粗大误差，应会引起这类误差。对于粗大误差，应设法判断是否存在，然后将其剔除。设法判断是否存在，然后将其剔除。111.2 测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理 estimation n测量数据中含有系统误差和随机误差，有测量数据中含有系统误差和随机误差，有时还会含有粗大误差。它们的性质
8、不同，时还会含有粗大误差。它们的性质不同，对测量结果的影响及处理方法也不同。对测量结果的影响及处理方法也不同。n对于不同情况的测量数据，首先要加以分对于不同情况的测量数据，首先要加以分析研究、判断情况、分别处理，再经综合析研究、判断情况、分别处理，再经综合整理以得出合乎科学性的结果。整理以得出合乎科学性的结果。12随随机机误误差差的的统统计计和和处处理理 statisticsn判断：判断：测量中，当系统误差已设法消除测量中，当系统误差已设法消除或减小到或减小到可以忽略可以忽略的程度时，如的程度时，如果测量数据果测量数据仍有不稳定仍有不稳定的现象，的现象，说明存在随机误差。说明存在随机误差。n方
9、法：方法：用概率数理统计的方法来研究。用概率数理统计的方法来研究。n任务：任务：从随机数据中求出最接近真值的从随机数据中求出最接近真值的值，对数据精密度（可信赖的程值，对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。度）进行评定。13 实践表明，随机误差具有特征：实践表明，随机误差具有特征：单单峰峰性性：绝绝对对值值小小的的随随机机误误差差出出现现的的概概率率大大于绝对值大的随机误差出现的概率于绝对值大的随机误差出现的概率有有界界性性：随随机机误误差差的的绝绝对对值值不不会会超超出出一一定定界界限限对对称称性性：测测量量次次数数n很很大大时时，绝绝对对值值相相等等、符符号相反的随机误差出现的概率相等。号
10、相反的随机误差出现的概率相等。1.随随机机误误差差的的正正态态分分布布曲曲线线 random error 当测量次数足够多时当测量次数足够多时,测量过程中产生的误差测量过程中产生的误差服从服从正态分布规律。正态分布规律。正态分布规律。正态分布规律。14 y y 概率密度概率密度;随机误差（随机变量）随机误差（随机变量）被测量的算术平均值被测量的算术平均值 均方根偏差（标准偏差）均方根偏差（标准偏差）正态正态总体总体总体总体的平均值的平均值随机误差随机误差算术平均值算术平均值其中：其中：正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线正态分布曲线 分布密度函数分布密度函数15均方根偏差均方根偏差 标准差标准
11、差2正态分布的随机误差的数学特征正态分布的随机误差的数学特征 算术平均值算术平均值算术平均值算术平均值是测量值中最可信赖的，可以是测量值中最可信赖的，可以作为等精度多次测量的结果，反映随机误差的作为等精度多次测量的结果，反映随机误差的分布中心分布中心分布中心分布中心。均方根偏差均方根偏差均方根偏差均方根偏差则反映随机误差的则反映随机误差的分散程度分散程度分散程度分散程度16 实实际际测测量量时时，由由于于真真值值L是是无无法法确确切切知知道道的的，用用测测量量值值的的算算术术平平均均值值代代替替，各各测测量量值值与与算算术术平平均值差值称为残余误差，即均值差值称为残余误差，即 用用残残余余误误
12、差差计计算算的的均均方方根根偏偏差差称称为为均均方方根根偏偏差估计值。差估计值。残余误差残余误差均方根偏差估计值均方根偏差估计值评定评定单次单次单次单次测量值所出现误差的指标，测量值所出现误差的指标，即样本标准差即样本标准差即样本标准差即样本标准差无偏估计无偏估计n参数的参数的样样本估本估计值计值的期望的期望值值=参数的真参数的真实值实值 n无偏估无偏估计计：设设A=g(x1,x2,.,xn)是未知参数是未知参数A的一的一个点估个点估计计量，若量，若A满满足足E(A）=A，则则称称A为为A的的无偏估无偏估计计量，否量，否则为则为有偏估有偏估计计量。量。n无偏估无偏估计计就是就是系统误差为零系统
13、误差为零系统误差为零系统误差为零的估的估计计n均方根偏差估均方根偏差估计值计值s作作为总为总体体标标准差准差的估的估计值计值,但不是但不是的无偏估的无偏估计计,而而样样本本方差方差s2才是才是总总体方差体方差2的无偏估的无偏估计计。18算术平均值算术平均值算术平均值是反映随机误差的分布中心算术平均值是反映随机误差的分布中心算术平均值是反映随机误差的分布中心算术平均值是反映随机误差的分布中心均方根偏差则反映随机误差的分散程度均方根偏差则反映随机误差的分散程度均方根偏差则反映随机误差的分散程度均方根偏差则反映随机误差的分散程度均方根偏差均方根偏差 标准偏差标准偏差19算术平均值的均方根偏差算术平均
14、值的均方根偏差n通常在有限次测量时，算术平均值不可能等于被通常在有限次测量时，算术平均值不可能等于被测量的真值测量的真值L，它也是随机变动的。，它也是随机变动的。n设对被测量进行设对被测量进行m组的组的“多次测量多次测量”，各组所得，各组所得的算术平均值也有一定的分散性，也是随机变量。的算术平均值也有一定的分散性，也是随机变量。n算术平均值的精度可由算术平均值的精度可由 算术平均值的均方根偏算术平均值的均方根偏 差来评定。差来评定。n234567820 1.25 1.13 1.09 1.061.05 1.04 1.03 1.01 1.00 在有限次测量时在有限次测量时,的关系的关系 随机误差在
15、随机误差在(-,+)出现的概率出现的概率误差区间通常表示成误差区间通常表示成的倍数的倍数,如如tttt置信概率置信概率t置信系数；置信系数；t误差范围误差范围随机误差在任意区间随机误差在任意区间出现的概率出现的概率残余误差残余误差v的概率密度的概率密度21几个典型的几个典型的 t 值及其相应的概率值及其相应的概率t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994当当 t=1t=1时时,Pa=0.6827,即测量结果中随机误差出现即测量结果中随机误差出现在在-+范围内的概率为范围内的概率为68.27%68.27%。而出现在而出现在-
16、3-3+3+3范围内的概率是范围内的概率是99.73%99.73%,因此可以因此可以认为绝对值大于认为绝对值大于33的误差是小概率事件。的误差是小概率事件。测量结果可表示为测量结果可表示为22Pa与与关系关系 随随 机机 误误 差差在在 tt范范围围内内出出现现的的概概率率为为P Pa a，超超出出的的概概率率称称为为显显著著度度。用用表示。表示。-t 0 +t=1-Pa显著度显著度23 基本概念、误差基本概念、误差随机误差随机误差系统误差系统误差粗大误差粗大误差 测量概论测量概论测量数据的估计和处理测量数据的估计和处理计算方法计算方法算术平均值的均方根偏差算术平均值的均方根偏差测量结果的表示
17、方法测量结果的表示方法今日要点今日要点误差的计算方法误差的计算方法24例例 有有一一组组测测量量值值237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求求：测量结果：测量结果。解：解：序号序号测量值测量值xi1237.42237.23237.94237.15237.16237.57237.48237.69237.610237.4 标差估计值标差估计值残余误差残余误差vi，25序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vi1237.4-0.12 2237.2-0.32 3237.90.38 4237.1-0.425237.10.
18、586237.5-0.027237.4-0.128237.60.089237.60.0810237.4-0.12例例 有有一一组组测测量量值值237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求求：测量结果：测量结果。解：解：标差估计值标差估计值残余误差残余误差vi，26序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vi1237.4-0.12 0.0142237.2-0.32 0.103237.90.38 0.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.01
19、48237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014例例 有有一一组组测测量量值值237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，求求：测量结果：测量结果。解：解：标差估计值标差估计值残余误差残余误差vi，标准差估计值标准差估计值算术平均值标准差算术平均值标准差27测量结果为：测量结果为：标准差估计值标准差估计值算术平均值标准差算术平均值标准差比较：比较：x=237.520.09 x (Pa=0.6827)x=237.520.27 3x (Pa=0.9973)28系系统统误误
20、差差的的处处理理 systematic error1.从误差根源上消除系统误差从误差根源上消除系统误差 所所用用传传感感器器、测测量量仪仪表表或或组组成成元元件件是是否准确可靠；否准确可靠；测量方法测量方法是否完善。是否完善。传传感感器器或或仪仪表表安安装装、调调整整或或放放置置是是否否正确合理。正确合理。传传感感器器或或仪仪表表工工作作场场所所的的环环境境条条件件是是否符合规定条件。否符合规定条件。测量者的测量者的操作操作是否正确。是否正确。系统误差是在一定的测量条件下，测量值中系统误差是在一定的测量条件下，测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。含有固定不变或按一定规律变化的误差。注注
21、意意29发现系统误差一般比较困难，下面介绍几种发现系统误差一般比较困难，下面介绍几种发现系统误差的一般方法。发现系统误差的一般方法。2.系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别（1）实验对比法：这种方法是通过改变产生系）实验对比法：这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，统误差的条件从而进行不同条件的测量，以发现系统误差。以发现系统误差。（2）残余误差观察法：这种方法是根据测量值）残余误差观察法：这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。化
22、的系统误差。30图中把残余误差按测量值先后顺序排列图中把残余误差按测量值先后顺序排列图（图（b b）可能有可能有周期性周期性系统误差系统误差图（图（a a）残余误差排列后有残余误差排列后有递减的变值递减的变值系统误差系统误差 31马马利利科科夫夫判判据据:将将残残余余误误差差前前后后各各半半分分两两组组，若若“vvi i前前”与与“vvi i后后”之之差差明明显显不不为为零，则可能含有线性系统误差。零，则可能含有线性系统误差。阿阿贝贝检检验验法法则则:检检查查残残余余误误差差是是否否偏偏离离正正态态分分布布，若若偏偏离离，则则可可能能存存在在变变化化的的系系统统误误差差。（3）准则检查法：已有
23、多种准则供人们检验测）准则检查法：已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定的适用范围。则都有一定的适用范围。32（1）在在测测量量结结果果中中进进行行修修正正：对对于于已已知知的的系系统统误误差差，可可以以用用修修正正值值对对测测量量结结果果进进行行修修正正；对对于于变变值值系系统统误误差差，设设法法找找出出误误差差的的变变化化规规律律，用用修修正正公公式式或或修修正正曲曲线线对对测测量量结结果果进进行行修修正正；对对未未知知系系统统误差误差,则按随机误差进行处理。则按随机误差进行处理。（2）仔细检查仪表，正确调整和安装；）仔细
24、检查仪表，正确调整和安装；（3）防止）防止外界干扰外界干扰影响。影响。3.系统误差的消除系统误差的消除33（4）在在测测量量系系统统中中采采用用补补偿偿措措施施找找出出系系统统误误差差的的规规律律，在在测测量量过过程程中中自自动动消除系统误差。消除系统误差。（5）实实时时反反馈馈修修正正：应应用用自自动动化化测测量量技技术术实实时时反反馈馈修修正正的的办办法法来来消消除除复复杂杂的变化系统误差。的变化系统误差。3.系统误差的消除系统误差的消除34粗大误差的存在及判定准则粗大误差的存在及判定准则 parasitic error 对对重重复复测测得得的的一一组组测测量量值值进进行行数数据据处处理理
25、之之前前，首首先应将具有粗大误差的先应将具有粗大误差的可疑数据可疑数据找出来找出来加以剔除加以剔除。1.3准则准则通常把等于通常把等于33的误差称为极限误差的误差称为极限误差3准准则则：如如果果一一组组测测量量数数据据中中某某个个测测量量值值的的残残余余误误差差的的绝绝对对值值|vi|3时时，则则该该测测量值为可疑值（坏值），应剔除。量值为可疑值（坏值），应剔除。拉依达准则拉依达准则35粗大误差的存在判定准则粗大误差的存在判定准则|vi|Zc时时该该测测量量值值为为可可疑疑值值,Zc与与测测量量次次数数n有关。有关。n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92
26、1.96 2.03 2.102.肖维勒准则肖维勒准则实际应用中实际应用中ZcG时时该该测测量量值值为为可可疑疑值值。G值值与与测测量量次数次数n、置信概率、置信概率Pa有关。有关。n68101214161820Z0.991.942.22 2.41 2.55 2.66 2.74 2.82 2.88Z0.951.822.03 2.18 2.28 2.37 2.44 2.50 2.563.格莱布斯准则格莱布斯准则理论上更加严格理论上更加严格37例：例：根据肖维勒准则根据肖维勒准则判断测量中判断测量中是否存在是否存在粗大误差粗大误差序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285
27、.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2138例：例：根据肖维勒准则根据肖维勒准则判断测量中判断测量中是否存在是否存在粗大误差粗大误差序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.24139例：例：根据肖维勒准则根据肖维勒准则判断测量中判断测量中是否存在是否存在粗大误差粗大误差序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 285.24-0.001 385.360.119
28、485.580.339 585.310.069 685.590.349 784.28-0.961 884.94-0.301 985.350.109 1085.21-0.031 85.2410.000 40例：例：根据肖维勒准则根据肖维勒准则判断测量中判断测量中是否存在是否存在粗大误差粗大误差序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.310.069 0.005 685.590.349 0.122 784.28-0.961 0.924
29、884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 85.2410.000 1.378 n56789101214Zc1.65 1.73 1.80 1.86 1.92 1.96 2.03 2.10 根据肖维勒准则根据肖维勒准则|vi|Zc41例：例：根据肖维勒准则根据肖维勒准则判断测量中判断测量中是否存在是否存在粗大误差粗大误差序号序号测量值测量值xi残余误差残余误差vivi2 185.550.309 0.095 285.24-0.001 0.000 385.360.119 0.014 485.580.339 0.115 585.31
30、0.069 0.005 685.590.349 0.122 784.28-0.961 0.924 884.94-0.301 0.091 985.350.109 0.012 1085.21-0.031 0.001 85.2410.000 1.378 根据肖维勒准则根据肖维勒准则|vi|Zc粗大误差粗大误差sss结束了？结束了？42粗大误差判定总结粗大误差判定总结|vi|k拉依达准则拉依达准则：k为常数为常数3肖维勒准则肖维勒准则：k与测量次数与测量次数n有关有关格莱布斯准则格莱布斯准则：k与测量次数与测量次数n、置信概率置信概率Pa有关有关残余残余误差误差超超出出预预期期s是标准差是标准差的估计
31、的估计x是测量结果是测量结果xi的误差估计的误差估计注注意意43总结总结随机误差随机误差系统误差系统误差粗大误差粗大误差特点特点产生原因产生原因消除方法消除方法44误误差差的的其其他他分分类类法法 classification n按误差表示方法分类按误差表示方法分类n按误差出现的规律分类按误差出现的规律分类n按使用条件分类按使用条件分类n按被测量随时间变化的速度分类按被测量随时间变化的速度分类n按误差与被测量的关系分类按误差与被测量的关系分类+累计累计误差误差45最佳测量方案的选择最佳测量方案的选择 对于确定的测量任务，为使其测量误差最对于确定的测量任务，为使其测量误差最小，要从多方采取措施，
32、以提高测量精度。小，要从多方采取措施，以提高测量精度。选择合理的测量方法。选择合理的测量方法。选择合适的测量仪表。选择合适的测量仪表。选择合适的测量点。选择合适的测量点。对于间接测量，被测量与直接测量值之对于间接测量，被测量与直接测量值之间有一定的函数关系。间有一定的函数关系。选择合适的函数关系和测量点选择合适的函数关系和测量点使各直接测量点的误差合成后为最小。使各直接测量点的误差合成后为最小。+461.3 测量系统误差计算方法测量系统误差计算方法 前面讲述的内容是等精度测量的问题，即多次前面讲述的内容是等精度测量的问题，即多次重复测量的测量值具有相同的精度重复测量的测量值具有相同的精度,可用
33、同一个均可用同一个均方根偏差方根偏差值表示值表示,具有相同的可信赖程度。具有相同的可信赖程度。在在科科学学实实验验或或高高精精度度测测量量中中,为为了了提提高高测测量量的的可可靠靠性性和和精精度度,往往往往在在不不同同的的测测量量条条件件下下,用用不不同同的的测测量量仪仪表表、不不同同的的测测量量方方法法、不不同同的的测测量量次次数数以以及及不不同同的的测测量量者者进进行行测测量量与对比与对比,则认为它们是不等精度的测量。则认为它们是不等精度的测量。1、不等精度测量的权与误差不等精度测量的权与误差computing method47“权权”的概的概念念在不等精度测量时在不等精度测量时,对同一被
34、测量进行对同一被测量进行m 组测量组测量,得到得到m 组测量列组测量列(进行多次测量的一组数据称为一进行多次测量的一组数据称为一测量列测量列)的测量结果及其误差的测量结果及其误差,它们不能同等看待。它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性将这种可靠性的大小称为的大小称为“权权”。权用符号权用符号 p 表示表示,有两种计算方法有两种计算方法:用用各各组组测测量量列列的的测测量量次次数数n的的比比值值表表示示,并并取取测测量量次数较小的测量列的权为次数较小的测量列的权为1,则有则有48 用用各各组组测测量量列列的的标标准准差差平平方方的的倒倒数数
35、的的比比值值表表示示，并取误差较大的测量列的权为并取误差较大的测量列的权为1。加加 权权算术平均值算术平均值加权算术平均值标加权算术平均值标 准准 误误 差差考虑各测量列考虑各测量列 的权的情况的权的情况492、测量误差的合成、测量误差的合成 一一个个测测量量系系统统(或或传传感感器器)都都是是由由若若干干部部分分组组成成。设设各各环环节节为为x x1 1,x,x2 2,x,xn n，系系统统总总的的输输入入输输出出关关系系为为 y=fy=f(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),而各部分又都存在测量误差。而各部分又都存在测量误差。各局部误差各局部误差对对整个测量系统或传感器测量误差
36、整个测量系统或传感器测量误差的的影响影响，就是，就是误差的合成问题误差的合成问题误差的合成问题误差的合成问题。误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。总的误差值不超过规定值。50（1）系统误差的合成：由前面可知）系统误差的合成：由前面可知,系统总输出与系统总输出与 各环节之间的函数关系为：各环节之间的函数关系为：y=f(x1,x2,xn)误差可用微分来表示误差可用微分来表示,故其合成表达式为故其合成表达式为（2）标标准准差差的的合合成成：设设测
37、测量量系系统统或或传传感感器器有有n个个环环节节组成，各部分的均方根偏差为组成，各部分的均方根偏差为:x1,x2，,xn,则随机误差的合成表达式为则随机误差的合成表达式为51若若 y=f(x1,x2,xn)为线性函数为线性函数,即即 y=a1x1+a2x2+anxn(3)总总合合成成误误差差：设设测测量量系系统统和和传传感感器器的的系系统统误误差差和和随随机机误误差差均均为为相相互互独独立立的的，则则总总的的合合成成误误差差表示为表示为 =y y52n在组合测量的数据处理、实验曲线拟合在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的重要工具。方面的重要工具。n要获得最可信赖的测量结果，应使各测要获得最
38、可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和最小。量值的残余误差平方和最小。3.最小二乘法的应用最小二乘法的应用设设 检测检测系系统为统为：其中：其中：Y为为直接测量值直接测量值为被测量为被测量53对对系系统进统进行行n次次测测量量线线性方程性方程组组(nm)其中其中:是被是被测测量量 的最可的最可信信赖赖的的值值，为为各次各次测测量量结结果。果。设设：为带误为带误差的差的实际实际直接直接测测量量值值，残余残余误误差差54 按最小二乘原理，残按最小二乘原理，残余余误误差平方和差平方和为为最小，即最小，即根据求极根据求极值值条件使：条件使：整理后可得整理后可得最小二乘估计的正规方程：55n正规
39、方程是一个正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量的估计值：的估计值：欲得真值的最佳估计值，应使得各欲得真值的最佳估计值，应使得各测量值测量值x xi i的残差的残差v vi i的平方之和为最小的平方之和为最小564.用经验公式拟合实验数据用经验公式拟合实验数据 回归分析回归分析n在工程实践和科学实验中，经常遇到对在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。理成曲线图或经验公式。n用经验公式拟合实验数据，
40、工程上把这用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。种方法称为回归分析。当经验公式为线型函数时称为线性回归分析当经验公式为线型函数时称为线性回归分析 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn 当独立变量只有一个时，称为一元线性回归当独立变量只有一个时，称为一元线性回归 y=b0+bx57设有设有n对测量值对测量值(xi,yi)，用直线，用直线y=b0+bx拟合拟合最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程中方程中 b0，b 的最佳估计值，使各测量数据点与的最佳估计值，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。回归直线的偏差平方和为最小。用用最小
41、二乘法最小二乘法求出系数求出系数 b0，b58重点掌握重点掌握n各类误差的概念各类误差的概念n误差的计算方法误差的计算方法绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差、相对误差、引用误差基本误差、附加误差、残余误差基本误差、附加误差、残余误差 随机误差、系统误差、粗大误差随机误差、系统误差、粗大误差极限误差、标准差极限误差、标准差判断判断判断判断粗大误差粗大误差粗大误差粗大误差测量值的表达式测量值的表达式均方根偏差均方根偏差(估计估计)算术平均值的均方根偏差算术平均值的均方根偏差59 怎样用数学表达式描述误差？测量值的表达式如何书写？如何判断粗大误差？测量误差60作业P26 1-10,11P27 1-13