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1、会计学1无穷小量与无穷大量极限运算法则无穷小量与无穷大量极限运算法则2定理：定理：2.2.时时，的极限的极限.包含了包含了和和两个极限过程两个极限过程.注：(1)(1)该定理常用于求该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题分段函数在分界点的极限问题(2)(2)实际上是实际上是 x x 在在x x0 0 的某邻域的某邻域内变化，内变化，f f(x x)的的极限极限是否存在是否存在与函数在与函数在 x x=x x0 0是否是否有定义有定义“无无”关关.(即考察即考察左右极限是否存在且相等左右极限是否存在且相等).).第1页/共33页3一、无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量极限为零的变量称为极
2、限为零的变量称为无穷小无穷小1.1.无穷小量定义：无穷小量定义：记作记作 例如：例如：是当是当时的时的无穷小无穷小.(或或所以函数所以函数x x是当是当时的时的无穷小无穷小.时的时的无穷小无穷小.是当是当所以函数所以函数所以所以第三节 无穷小量与无穷大量第2页/共33页4注意注意(1)(1)无穷小是函数无穷小是函数(变量变量),),不是一个很小的常数不是一个很小的常数;(2)(2)零零是可以作为无穷小的唯一的常数是可以作为无穷小的唯一的常数.(3)(3)说一个函数是无穷小，必须指明说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势自变量的变化趋势.如：如：是当是当时的时的时呢？时呢？就就不是无穷小不
3、是无穷小.无穷小无穷小.时，时，即即第3页/共33页5二、无穷小与函数极限的关系二、无穷小与函数极限的关系1 1、定理、定理1 1：其中：其中：是当是当时的无穷小时的无穷小.证 必要性充分性第4页/共33页62 2、作用、作用把求把求一般的极限问题一般的极限问题转化为转化为求特殊极限求特殊极限(无穷小无穷小)的问题的问题;3 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意：注意：无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小不一定是无穷小.性质性质1 1：如：如：定理定理1 1：例如：例如：n n
4、个个第5页/共33页7有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 2：例解思考：思考：0,0,0 0第6页/共33页8有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小.性质性质2 2：推论推论1 1：常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.例如：例如：=0.=0.推论推论2 2：在同一极限过程中在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小.例如：例如：0 0，0.0.第7页/共33页9性质性质3 3：有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.例如：例如：0.0.三、无穷大量三、无穷
5、大量三、无穷大量三、无穷大量 1.1.1.1.定义定义定义定义:如果在自变量的同一变化过程中如果在自变量的同一变化过程中如果在自变量的同一变化过程中如果在自变量的同一变化过程中,变量变量变量变量(函数函数函数函数)f(x)f(x)的绝对值无限增大的绝对值无限增大的绝对值无限增大的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过则称该变量是这个变化过则称该变量是这个变化过则称该变量是这个变化过程中的无穷大量。记作程中的无穷大量。记作程中的无穷大量。记作程中的无穷大量。记作limlimf f(x x)=)=。是时的无穷大.是时的正无穷大量.例如：例如：第8页/共33页10注意注意:(1)(1)记号limf(
6、x)没有指明自变量的变化过程，指的是任意一种变化过程。(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆;(3)切勿将认为极限存在.(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此谈及无穷大,一定指明自变量的变化趋势.而而呢？呢？不是无穷大不是无穷大.例 第9页/共33页11(5)无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大.如2.无穷大量的性质性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量.性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量.注意:两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.第10页/共33页123.铅直渐近线如果那么就是的垂直渐近线.为常数),(垂直于 轴的渐近线)例如有铅
7、直渐近线:2xyo第11页/共33页13四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系定理定理2:2:意义：意义：无穷小的无穷小的倒数倒数为无穷大为无穷大.（证明略）（证明略）设想：设想：无穷大的积是无穷大，和、差、商不一定是无穷大无穷大的积是无穷大，和、差、商不一定是无穷大如：x是无穷大，则是无穷小.恒不为零的恒不为零的在同一过程中在同一过程中,无穷大的无穷大的倒数倒数为无穷小为无穷小;关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可都可归结为归结为关于关于无穷小无穷小的讨论的讨论.答：无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？第12页/共33页14第四节 极限的运
8、算法则 一、极限的运算法则定理1 若limf(x)=A,limg(x)=B均存在,则(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(3)若B0,则 lim =第13页/共33页15证 仅证明(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB 因 limf(x)=A,limg(x)=B均存在,由极限与无穷小量的关系定理,有f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中 lim(x)=0,lim(x)=0第14页/共33页16推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2注意注意：四则运算法则：四则运算法
9、则1 1、2 2可以推广到有限多可以推广到有限多个函数的情形。个函数的情形。(n n可推广至实数可推广至实数)第15页/共33页17数列也有类似的四则法则.即 定理4 那么定理5 那么证：则由第16页/共33页18解？解即（代入法）第17页/共33页19例2解（代入法）第18页/共33页20则:第19页/共33页21解说明:无穷小与无穷小的商不一定是无穷小.约零因式法方法是:先约去不为零的无穷小因子(x-3)后再求极限.第20页/共33页22例4解第21页/共33页23由无穷小与无穷大的关系,得（无穷小与无穷大的关系法）解商的法则不能用例5又第22页/共33页24例5解先用x3去除分子及分母，
10、然后取极限：解先用x3去除分子及分母，然后取极限：(无穷小因子分出法)例6第23页/共33页25解先用x3去除分子及分母，然后取极限：解(无穷小因子分出法)例7(无穷小与无穷大关系法)例6第24页/共33页26注意：以分母中自变量的最高次幂项中的xn分别除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法.无穷小因子分出法:第25页/共33页27解先变形再求极限.例8(化无限为有限)第26页/共33页28例9解第27页/共33页29意义：定理：四.复合函数的极限运算法则第28页/共33页30例10解分析：复合而成，则有第29页/共33页31例例例例11 11 求求求求解：令解：令u u=arctan
11、=arctanx x,则则第30页/共33页32小结小结1 1、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大:无穷小与无穷大是相对于极限过程无穷小与无穷大是相对于极限过程(x x的变化趋势的变化趋势)而言的而言的.一种极限是零，另一种极限是无穷大一种极限是零，另一种极限是无穷大.(1)(1)有界有界函数函数与无穷小的乘积与无穷小的乘积是无穷小是无穷小.重要性质重要性质(2)(2)在同一过程中在同一过程中,无穷大的无穷大的倒数倒数为无穷小为无穷小;恒不为零的恒不为零的无穷小无穷小的的倒数倒数为为无穷大无穷大.第31页/共33页332.极限的求法：1、代入法；2、约零因式法；3、无穷小的运算性质法5、无穷小因子分出法6、化无限为有限法7、换元法4、无穷小与无穷大的关系法作业p49 1.(3),(4),4.P54 1(6),(9),(10),(13)预习p55-p62第32页/共33页