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1、会计学1线性代数线性代数n阶行列式的定义阶行列式的定义第一节 二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：由消元法，得得同理，得于是，当时，方程组有唯一解第1页/共27页为便于记忆，采用记号称为二阶行列式其中，数称为二阶行列式元素 为行标，表明元素位于第 行 为列标，表明元素位于第 列第2页/共27页注：(1)二阶行列式 算出来是一个数。(2)运算方法：对角线法则主对角线上元素之积 副对角线上元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为第3页/共27页综上，令则，称 D 为方程组的系数行列式。第4页/共27页例1：解方程组解：因为所以第5页/共27页2.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组
2、记称为三阶行列式其中，数称为元素 为行标，为列标。第6页/共27页注：(1)三阶行列式 算出来也是一个数。(2)运算方法：对角线法则例：第7页/共27页对于三元线性方程组，若其系数行列式可以验证，方程组有唯一解:其中:第8页/共27页第二节 n阶行列式的的定义定义1：由自然数1，2，n 组成的一个有序数组 称为一个 n 级排列。例如：12345 5432151234 4213553214 53124都是数1，2，3，4，5的排列。回忆：n个数的不同排列共有 个。n!自然排列：按数的大小次序，由小到大排列：思考：n级排列中，自然排列只有一种除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前
3、的情况。12345.n一、排列第9页/共27页定义21）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的 数前面，就称这两个数构成一个逆序。2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。逆序数，定义3第10页/共27页计算排列的逆序数的方法：法 1：n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为再看有多少个比2大的数排在2前面，记为继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，则此排列的逆序数为例1是偶排列。是奇排列。第11页/共27页法 2：n 级排列的逆序数法3：第12页/共27页例2：求排列 3，2，5，1，4 的逆序
4、数。解：（法1）（法2）（法3）例3：求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。第13页/共27页考虑，在 1，2，3 的全排列中有 个偶排列：有 个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义4：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。第14页/共27页定理1：对换改变排列的奇偶性。证明思路：先证相邻两数的对换，再证一般对换。定理2：时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个。证明：设n个数的排列中，奇排列有 p 个，偶排列有 q 个，则 pqn！
5、对 p 个奇排列，施行同一对换，则由定理1得到 p 个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）因为总共有 q 个偶排列，所以同理所以第15页/共27页二.3阶行列式的规律观察三阶行列式寻找规律：1.三阶行列式是 3！项的代数和。2.每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。3.（每项的符号规律）其任一项可写成：其中是123的一个排列当是偶排列时，项取正号当是奇排列时，项取负号第16页/共27页根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义 n 阶行列式定义5：n 阶行列式指的是n！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积，其一般项为这里是12n的一个排列当是偶排列时，项前面
6、带正号当是奇排列时，项前面带负号三.n 阶行列式的定义 第17页/共27页即其中表示对所有n元排列取和注：(1)当n=1时，一阶行列式此处不是a的绝对值，例如行列式(2)定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号。第18页/共27页例4写出四阶行列式中含有因子的项。例5若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。例7计算四阶行列式例6计算行列式第19页/共27页四个特殊行列式(1)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(2)
7、下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）第20页/共27页(3)（显然）(4)第21页/共27页定理3在行列式中的符号等于证明：由行列式定义可知，确定项的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。第22页/共27页设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。设经过一次对换后行标排列的逆序数为列标排列的逆序数为由定理，对换改变排列的奇偶性所以，是奇数也是奇数所以是偶数，即是偶数，所以与同时为奇数或同时为偶数。即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。第23页/共27页另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以 把项（1）变为所以得证。第24页/共27页由此，得行列式的等价定义第25页/共27页作 业习题一：习题一：1 1；4 4（1 1）（）（2 2）（）（4 4）；）；7 7（1 1）第26页/共27页