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1、会计学1线性代数线性代数11n阶行列式的定义阶行列式的定义绪论绪论一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定线性代数的中心内容：线性代数的中心内容：线性方程组求解线性方程组求解解的存在性解的存在性解的结构解的结构由高斯消元法引入两个求解工具由高斯消元法引入两个求解工具行列式行列式矩阵矩阵一个中心方法：一个中心方法：矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换一次方程一次方程第1页/共49页第一章第一章 1 行列式的定义行列式的定义本节我们将讨论：本节我们将讨论：方程个数和未知数个数相同方程个数和未知数个数相同，且，且系数满足特定条件系数满足特定条件的线性方程组的求的线性方
2、程组的求解，从而得到行列式这个工具解，从而得到行列式这个工具.第2页/共49页本节结构本节结构 二阶行列式的引出 三阶行列式的引出 n阶行列式的引出 四类特殊行列式计算 克拉默（Cramer）法则第3页/共49页我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律 一、一、一、一、二阶行列式的引出二阶行列式的引出二阶行列式的引出二阶行列式的引出用高斯消元法求其解：第4页/共49页第5页/共49页方程组有唯一解第6页/共49页 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？1、分母相同，由方程组的四个系数确定.2、分子分母都是两数乘积之差.第7页/共49页 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的
3、数表数称为数表（4）所确定的二阶行列式,记为用二阶行列式表示两数乘积之差用二阶行列式表示两数乘积之差二阶行列式定义二阶行列式定义第8页/共49页主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算第9页/共49页系数行列式第10页/共49页于是于是方程组有唯一解第11页/共49页例1解解第12页/共49页二、三阶行列式的引出二、三阶行列式的引出二、三阶行列式的引出二、三阶行列式的引出进行高斯消元可以得到：其中其中第13页/共49页第14页/共49页第15页/共49页三阶行列式定义三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式三阶行列式.第16页/共49页三阶行列式的计算第17页/共49页第18
4、页/共49页例2 解线性方程组解解由于方程组的系数行列式第19页/共49页故方程组的解为:第20页/共49页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算第21页/共49页例例3 3解解设所求的二次多项式为由题意得第22页/共49页又得故所求多项式为第23页/共49页三、三、三、三、n n 阶行列式的引出阶行列式的引出阶行列式的引出阶行列式的引出由二元方程组（两个变量、两个方程）求解得二阶行列式由三元方程组（三个变量、三个方程）求解得三阶行列式由n 元方程组（n 个变量、n 个方程）求解得n 阶行列式第24页/共49页大胆猜测大胆猜测当时,第25页/共49
5、页是用替换 而得.中的第i列第26页/共49页但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则四阶及以上阶行列式没有对角线法则-正确求解线性方程组的解正确求解线性方程组的解正确求解线性方程组的解正确求解线性方程组的解说明说明:观察二阶与三阶行列式的计算n阶行列式的计算原则共同特性之一是对角线法则；并试图推广到n阶行列式，且能正确求解方程组.于是寻找二阶和三阶行列式计算的其它共性,第27页/共49页预备知识预备知识预备知识预备知识-全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数元素的元素的全排列全排列把n个不同的元素排成一列，叫做这n个标准次序：由小到大的次序时，就说有一个逆序逆序。当某两
6、个元素的先后次序与标准次序不同一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.第28页/共49页 例如排列 54231 t=95前面比5大的数有0个；4前面比4大的数有1个；2前面比2大的数有2个；3前面比3大的数有2个；1前面比1大的数有4个.t=0+1+2+2+4=95 4 2 3 1第29页/共49页自然排列自然排列若一个排列中的所有元素按标准次序排列，则称之为标准排列或自然排列.逆序数为奇数的排列叫做奇排列；逆序数为偶数的排列叫做偶排列.第30页/共49页观察二阶行列式观察二阶行列式 不同行不同列2个元素的乘积；1项为正,1项为负；2！项的代数和；第31页/共49页观察二阶行列式观察二
7、阶行列式当行标调成标准排列时列标排列逆序数t1 22 10+-1第32页/共49页观察三阶行列式3!项代数和不同行不同列三个元素的乘积三项为正,三项为负.第33页/共49页观察三阶行列式当行标调成标准排列时列标排列逆序数t1230+2312+3122+3213-2131-1321-第34页/共49页n n 阶行列式定义阶行列式定义阶行列式定义阶行列式定义将n2个数排成n行n列的数表，按下列规称为n阶行列式,其中t为列标排列的逆序数。则计算出的数，即第35页/共49页n n 阶行列式定义的三个要点阶行列式定义的三个要点阶行列式定义的三个要点阶行列式定义的三个要点（1）是n!项的代数和；如果一个行
8、列式有一行（或一列）的元素全为零，则此行列式的值必为零。（2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定；（3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）.由行列式的定义不难看出：第36页/共49页四、思考与讨论四、思考与讨论四、思考与讨论四、思考与讨论=-24or 24?第37页/共49页五、四类特殊行列式计算五、四类特殊行列式计算五、四类特殊行列式计算五、四类特殊行列式计算1）主对角行列式第38页/共49页2）副对角行列式的逆序数为第39页/共49页3）下三角行列式第40页/共49页4）上三角行列式第41页/共49页n n 阶行列式也可以定义为：阶行列式也可以定义为：行行标标逆逆
9、序序第42页/共49页六、关于克拉默（六、关于克拉默（六、关于克拉默（六、关于克拉默（CramerCramer）法则）法则）法则）法则非齐次线性方程组非齐次线性方程组（），定理定理 非齐次线性方程组（），当,有唯一解 第43页/共49页 非齐次线性方程组非齐次线性方程组定理定理 非齐次线性方程组（）,（），可能无解，可能有无穷多解时有无穷多解无解第44页/共49页齐次线性方程组（）定理定理 齐次线性方程组（），定理定理 齐次线性方程组（），时有非零解时只有零解第45页/共49页思考题：思考题：思考题：思考题：当当取何值时取何值时有唯一解？有唯一解？有唯一解有唯一解解解第46页/共49页练习：判断下面各方程组解的存在情况练习：判断下面各方程组解的存在情况练习：判断下面各方程组解的存在情况练习：判断下面各方程组解的存在情况第47页/共49页小结小结 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式 四类特殊行列式计算 克拉默（Cramer）法则第48页/共49页