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1、主讲教师主讲教师:冉扬强冉扬强工程数学工程数学复变函数复变函数辅导课程十四辅导课程十四第五章第五章 留留 数数第二篇第二篇 复变函数复变函数第五章第五章 留留 数数2 2 留留 数数 一、留数的定义及留数定理一、留数的定义及留数定理 1、定义、定义 柯西定理告诉我们，如被积函数柯西定理告诉我们，如被积函数 在围线在围线 c所围闭区域上解析，则积分所围闭区域上解析，则积分 ，但如，但如果果 在该区域上有奇点在该区域上有奇点 a(孤立奇点孤立奇点)，则积，则积 分分 一般说来不再为一般说来不再为0.如：如：这里这里 为函数为函数 的一阶极点的一阶极点.设设 a 为为 的孤立奇点，在以的孤立奇点，在
2、以 a 为心，半径为为心，半径为R 的无心邻的无心邻 域，即在域，即在 内把内把 展成洛朗级数：展成洛朗级数：洛朗级数的洛朗级数的 项的系数项的系数 就这样具有就这样具有特别重要的地位，称它为特别重要的地位，称它为 在在 a 的留数的留数(或或余数或残数余数或残数)，记着，记着 或或 或或 ，这样：，这样：2、留数定理、留数定理 设设 在围线在围线 c 所包围的区域所包围的区域 D 上除点上除点 外解析，并且在外解析，并且在c上每点也解析，上每点也解析，则则 二、留数的求法二、留数的求法 1、设设 a 为为 的的 n 阶极点，则阶极点，则 2、当、当a为为 的一阶极点，则的一阶极点，则 3、设
3、、设 ,在点在点a 解析解析,且且 ，而，而a为为 的一阶的一阶0点点(即即 )，则，则 例例1.求求 在在 的留数的留数 解：解：例例2.计算计算解解:，是是 的的 三阶极点三阶极点,故故例例3.计算计算解解:在单位圆周内在单位圆周内,以以z=0为为孤立奇点孤立奇点.则则:三、无穷远点的留数三、无穷远点的留数 定义：设函数定义：设函数 在在 点的某无心邻域点的某无心邻域 内解析，则称内解析，则称 点为点为 的的 孤立奇点孤立奇点.定义：设定义：设 为为 的一个孤立奇点，则称：的一个孤立奇点，则称：为为 在在 点的留数，记为点的留数，记为 是指沿是指沿c 的反方向（顺时针方向），这正的反方向（
4、顺时针方向），这正 是是 点的正方向点的正方向.无穷远点的留数无穷远点的留数 等于等于 在在 的洛朗展式中的的洛朗展式中的 系数的反号。系数的反号。定理：定理：如果如果 在闭平面上只有有限个孤立奇在闭平面上只有有限个孤立奇点点(包括无穷远点在内包括无穷远点在内)则在各则在各点的留数的总和为点的留数的总和为0.例例.计算积分：计算积分：解：求被积函数的奇点，令解：求被积函数的奇点，令 或或 得得 当当 时，时，解析，故无穷远处解析，故无穷远处 也是其奇点，所以也是其奇点，所以 3 3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用 把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：把实变积分联系于复变回
5、路积分的要点如下：定积分定积分 的积分区间的积分区间 可以看作可以看作是复数平面上的实轴上的一段是复数平面上的实轴上的一段 ，于是，或，于是，或者利用自变数的变换把者利用自变数的变换把 变成某个新的复数变成某个新的复数平面上的回路，这样就可平面上的回路，这样就可 以应用留数定理了；或者以应用留数定理了；或者 另外补上一段曲线另外补上一段曲线 ，使和合成回路使和合成回路 l,l 包围着包围着 区域区域B，这样，这样 一、计算一、计算 (类型类型)被积函数是三角函数有理式被积函数是三角函数有理式.作变量代换：作变量代换：例例1、计算积分、计算积分解：解：的模为：的模为：在单位圆内，而单极点在单位圆
6、内，而单极点 的模为的模为:在单位圆外。在单位圆外。二、计算二、计算 1、引理：设、引理：设 沿圆弧沿圆弧 (R充分充分 大，大，)上连续，且上连续，且 在在 上一致成立，则上一致成立，则 特别地，当特别地，当 则：则：2、(类型类型2)若若(1)在实轴上没奇点在实轴上没奇点;(2)在在上半平面除有限个奇点外是解析的上半平面除有限个奇点外是解析的;(3)当当 在在实实 轴上或上半平面轴上或上半平面 时时 一致地一致地 ，则：则：例例11设设 ，计算，计算解：解：在上半平面的奇点为：在上半平面的奇点为：3、(类型类型)计算计算 条件：条件：(i).为偶函数，为偶函数，为奇函数为奇函数(ii).,在实轴上没有奇点，在上在实轴上没有奇点，在上 半平面除有限个奇点外是解析的。半平面除有限个奇点外是解析的。(iii).当当 在上半平面或实轴上在上半平面或实轴上 时，时，和和 一致地一致地 ，则，则 例例13计算积分计算积分解：解：