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1、主讲教师主讲教师:冉扬强冉扬强工程数学工程数学复变函数复变函数辅导课程十二辅导课程十二第三章第三章 复变函数复变函数的积分的积分5 柯西柯西积分公式积分公式第二篇第二篇 复变函数复变函数5 柯西柯西积分公式积分公式定理定理(柯西柯西积分公式积分公式)：设：设 c 为区域为区域D 的边界，的边界，在在 上解析，则对于区域上解析，则对于区域D内任一点内任一点 ，有，有讨论：讨论：1)柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来表示出来.或者说解析函数在边界上的值完全或者说解析函数
2、在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值决定了它在区域内部各点的值.2)对于复连通区域内的解析函数对于复连通区域内的解析函数 ，只要，只要将积分路径将积分路径c 理解为该区域的全部边界理解为该区域的全部边界(都取正都取正方向方向)，则，则柯西积分公式仍然成立，例如：由积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域组成的复连通区域D，(的正方的正方向如图向如图3.9所示所示)，则：则：有有 3)利用利用柯西积分公式可以计算某些复积分公式可以计算某些复 变函数沿闭曲线的积分变函数沿闭曲线的积分.例例7：设：设c 为圆周为圆周 ，求，求 解：由于函数解：由于函数 在在 内只有一个奇点内只有一个奇点
3、在在 内解析，由内解析，由柯西公式可西公式可 得得6 6 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数定定理理：设设区区域域D的的边边界界为为围围线线 c，在在 上上解解析析，则函数则函数 的的 n 阶导数存在，且阶导数存在，且 讨讨论论：1)该该定定理理说说明明，解解析析函函数数的的任任意意阶阶导导数数都都存存在在，换换句句话话说说，在在某某个个区区域域上上，复复变变函函数数只只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.2)可可以以将将n 阶阶导导数数公公式式与与柯西西积积分分公公式式通通称称为为柯西公式，其主要应用是通过求导来求积分西公式，其主要应用是通过求导来
4、求积分.例例8计算计算 ，其中，其中c是由是由 确定的区域确定的区域.解：解：所以所以 在在 内有两个奇点内有两个奇点 ，分别以分别以i,-i 为心作两个互为心作两个互 不相交的圆不相交的圆 ，使它们含，使它们含 于于c 内，则由内，则由柯西定理得西定理得 对对于于第第一一个个积积分分，由由于于 在在 内内解解析析，由由柯西公式得西公式得 同理同理 7 7 解析函数与调和解析函数与调和函数的关系函数的关系 1 1、调和函数的定义、调和函数的定义 定义：如果实变函数定义：如果实变函数 在某区域在某区域D上有二阶连续偏导数，并且满足方程上有二阶连续偏导数，并且满足方程 则称则称 为区域为区域D上的
5、调和函数，方上的调和函数，方程称为拉普拉斯方程程称为拉普拉斯方程.2 2、解析函数的实部和虚部是调和函数、解析函数的实部和虚部是调和函数 设设 在区域在区域D上解析，则上解析，则C-R条条件成立件成立 ，.我们知道，某个区域上的解析函数在该区域我们知道，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 ,两式相加可得两式相加可得 同理可得同理可得 即即 ,都满足拉普拉斯方程，都满足拉普拉斯方程，是调和函数。是调和函数。注意：反过来定理不一定成立，如果注意：反过来定理不一定成立，如果 是调和函数，是调和函数，不一定解析，因为解析不一定解
6、析，因为解析函数必须满足函数必须满足C-R条件条件.由由C-R条件联系着的调和函数条件联系着的调和函数 u 与与 v 称为称为 共轭调和函数，这样上述定理可表述为：共轭调和函数，这样上述定理可表述为：定理：任何一个在区域定理：任何一个在区域D上的解析函数，其实上的解析函数，其实部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。由上面的讨论可得，解析函数的实部与由上面的讨论可得，解析函数的实部与虚部互为共轭调和函数。如果已知一个调和虚部互为共轭调和函数。如果已知一个调和函数，可以把它作为某解析函数的实部（或函数，可以把它作为某解析函数的实部（或虚部），然后利用虚部），然后利
7、用柯西黎曼条件求出它的黎曼条件求出它的共轭调和函数，该调和函数为解析函数的虚共轭调和函数，该调和函数为解析函数的虚部部(或实部或实部)，由此得到一个解析函数。，由此得到一个解析函数。第四章第四章 级级 数数 主要内容主要内容(1)1)、复数项级数的基本概念和性质、复数项级数的基本概念和性质(2)(2)、幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆、幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质内的性质(3)(3)、解析函数的泰勒展式、解析函数的泰勒展式(4)(4)、双边幂级数，解析函数的罗朗展式、双边幂级数，解析函数的罗朗展式重点和难点重点和难点重点重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析幂级数的收敛性，收敛半径；解析
8、函数的泰勒展式和罗朗展式函数的泰勒展式和罗朗展式难点：难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开解析函数的泰勒展开和罗朗展开第四章第四章 级数级数1 1 复数项级数复数项级数 一、数项级数一、数项级数 1、定义：考虑各项均为复数的级数、定义：考虑各项均为复数的级数 它的每一项都可分为实部和虚部，设为它的每一项都可分为实部和虚部，设为 ，则级数的部分和为：，则级数的部分和为：2、级数的收敛性、级数的收敛性 如果如果 为有限数为有限数 s，则称级数收敛，并称，则称级数收敛，并称s为它的和，记为为它的和，记为 不收敛的级数称为发散级数，显然不收敛的级数称为发散级数，显然 这样复数项级数的收敛问题就归结于两个
9、实数这样复数项级数的收敛问题就归结于两个实数 项级数的收敛问题，即级数项级数的收敛问题，即级数 收敛于收敛于 的充要条件是两个实级数的充要条件是两个实级数 及及 分别收敛于分别收敛于 及及 。3、绝对收敛和条件收敛、绝对收敛和条件收敛 如果由级数各项的模所构成的级数如果由级数各项的模所构成的级数 收敛，则称收敛，则称 绝对收敛。绝对收敛。收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛，显收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛，显然，绝对收敛必收敛。然，绝对收敛必收敛。二、一致收敛的函数项级数二、一致收敛的函数项级数 讨论各项均在区域讨论各项均在区域D有定义的函数项级数有定义的函数项级数 1、定义：如果对于
10、、定义：如果对于D上每一点上每一点Z，上述级数均，上述级数均收敛，就称级数在收敛，就称级数在D上收敛，其和在上收敛，其和在D上构成一上构成一函数函数 ，称为级数的和函数，记为，称为级数的和函数，记为 2、性质：如果级数、性质：如果级数 在在D上一致上一致收敛于收敛于 (1)若若 在在D上连续，则上连续，则 也在也在D上连续，即由连续上连续，即由连续 函数组成的一致收敛的函数项级数的和也连续。函数组成的一致收敛的函数项级数的和也连续。(2)如果如果 在在C上连续，则上连续，则沿沿C可逐项积分，且可逐项积分，且 (3)如果如果 在在D上解上解析，析，则则 在在D上解析，并且上解析，并且 即即 一致
11、收敛于一致收敛于 3、一致且绝对收敛判别法、一致且绝对收敛判别法 如果对于某区域如果对于某区域D上所有各点上所有各点z，复数项级数，复数项级数各项的模各项的模 ，而正的常数项级数，而正的常数项级数 收敛，则复变函数项级数在收敛，则复变函数项级数在D上绝对上绝对 且一致收敛。级数且一致收敛。级数 称为称为 的的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛。致且绝对收敛。2 2 幂幂 级级 数数 一、幂级数的收敛性一、幂级数的收敛性 1、幂级数、幂级数各项均为幂函数的复变项级数各项均为幂函数的复变项级数 其中其中 ，都是复常数，这样的，都是复常数，这
12、样的级数叫做以级数叫做以 z0 为中心的幂级数。为中心的幂级数。2、幂级数的收敛性，收敛半径、幂级数的收敛性，收敛半径先看由上级数各项的模所组成的正项级数先看由上级数各项的模所组成的正项级数 应用正项级数的比值判别法可知，如果应用正项级数的比值判别法可知，如果 则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号 即，如果即，如果 则原级数绝对收敛则原级数绝对收敛，如果如果 ，则，则 即级数后面的项的模越来越大，不满足级数即级数后面的项的模越来越大，不满足级数 收敛的心要条件收敛的心要条件 ，因而级数，因而级数 发散，即当发散，即当 时，级数时，级数(1)发散。以发
13、散。以 为圆心作一半径为为圆心作一半径为R的圆周的圆周 ，原幂级数，原幂级数在圆的内部（即在圆的内部（即 ）绝对收敛，在）绝对收敛，在圆外发散，这个圆叫幂级数的收敛圆，它的半圆外发散，这个圆叫幂级数的收敛圆，它的半径径R叫做收敛半径，在收敛圆周上各点，幂级叫做收敛半径，在收敛圆周上各点，幂级数可能收敛，也可能发散，应具体分析。数可能收敛，也可能发散，应具体分析。用根值判别法可得到收敛半径的另一公式用根值判别法可得到收敛半径的另一公式例例1.求级数求级数 的收敛半径。的收敛半径。解：解：故级数在任何故级数在任何z点收敛。点收敛。例例2.求级数求级数 的收敛半径。的收敛半径。解：解：故它们的收敛半径都为故它们的收敛半径都为1。在收敛圆周上，即。在收敛圆周上，即 ，由于通项不趋于零，故由于通项不趋于零，故 处处发散。处处发散。当当 时，时，收敛，收敛，当当 时，时，发散，其余的具体而定。发散，其余的具体而定。由于由于 收敛，所以在收敛，所以在 上收敛。上收敛。3、幂级数在收敛圆内的性质、幂级数在收敛圆内的性质 (1)幂级数在收敛圆的内部绝对且一致收敛。幂级数在收敛圆的内部绝对且一致收敛。(2).幂级数的和函数在收敛圆内解析。幂级数的和函数在收敛圆内解析。4.几何级数几何级数