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1、第1节 不等式的性质及比较法证明不等式第第6章章 不等式不等式要点要点疑点疑点考点考点1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假题的充分性和必要性，正确判断命题的真假.不等式有如下不等式有如下8条性质：条性质：1.ab ba.(反身性反身性)2.ab，bc=ac.(传递性传递性)3.ab a+cb+c.(平移性平移性)4.ab，c0=acbc；ab，c0=acbc.(伸缩性伸缩性)5.ab0=，n
2、N，且，且n2.(乘方性乘方性)6.ab0=anb，nN，且，且n2.(开方性开方性)7.ab，cd=a+cb+d.(叠加性叠加性)8.ab0，cd0=acbd.(叠乘性叠乘性)2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用用比较法证明不等式的步骤是：作差比较法证明不等式的步骤是：作差变形变形定号定号.其中其中的的“变形变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商变形变形与与1比较大小比较大小.1.设设a0，-1
3、b0，则则a，ab，ab2三者的大小关系为三者的大小关系为_.2.设设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR且且x1，则，则A，B的大小关系的大小关系为为A_B.3.若若n0，用不等号连接式子，用不等号连接式子 _ 3-n课课 前前 热热 身身aab2ab4.若若0a1，则下列不等式中正确的是，则下列不等式中正确的是()(A)(1-a)(1/3)(1-a)(1/2)(B)log(1-a)(1+a)0(C)(1-a)3(1+a)2 (D)(1-a)1+a1 5.已已知知三三个个不不等等式式：ab0，-ca-db，bcad.以以其其中中两两个个作作条条件件，余余下下一一个个作作结结论论，则则可可组
4、组成成_个个正正确确的的命命题题.A3能力思维方法1.比较比较xn+1+yn+1和和xny+xyn(nN，x，yR+)的大小的大小.【解解题题回回顾顾】作作差差法法的的关关键键步步骤骤是是差差式式的的变变形形，常常利利用用因因式式分分解解、配配方方等等方方法法，目目的的是是使使差差式式易易于于定定号号，一一般般四四项项式的分解常用分组分解法式的分解常用分组分解法.2.设设a0，b0，求证：，求证：【解题回顾】【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差用比较法证明不等式，步骤是：作差(商商)变形变形判断符号判断符号(与与“1”比较比较)；常见的变形手段是通分、；常见的变形手段是通分、因式
5、分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小较大小.(2)证法证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：的最后一步中，也可用基本不等式来完成：【解解题题回回顾顾】在在使使用用放放缩缩技技巧巧时时，一一定定要要注注意意方方向向，保保持持一致一致.3.已知已知x0，y0，求证：，求证：延伸拓展【解解题题回回顾顾】用用定定义义法法证证明明函函数数的的单单调调性性，多多用用到到比比较较法法，特特别别是是作作差差比比较较，要要切切实实掌
6、掌握握比比较较法法的的推推理理过过程程，注注意意推推理理的严密性的严密性.4.设设0a1，根据函数的单调性定义，证明函数，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+logxa在在 上是增函数上是增函数.误解分析(1)(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.(2)(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键质的应用是解决本题的关键.第2节 用综合法、分析法证明不等式要点要点疑点疑点考点考点2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，综合法的难
7、点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述表述.分析法是分析法是“执果索因执果索因”，综合法是，综合法是“由因导果由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.1.不不等等式式证证明明的的分分析析法法和和综综合合法法是是从从整整体体上上处处理理不不等等式式的的不不同同形形式式.分分析析法法的的实实质质是是从从欲欲证证的的不不等等式式出出发发寻寻找找使使之之成成立立的的充充
8、分分条条件件.综综合合法法是是把把整整个个不不等等式式看看成成一一个个整整体体，根根据据不不等等式式的的性性质质、基基本本不不等等式式，经经过过变变形形、运算，导出欲证的不等式运算，导出欲证的不等式.3.若若 恒恒成成立立.则则常常数数a的的取取值值范范围围是是_.1.当当a1，0b1时时，logab+logba的的取取值值范范围围是是_.课课 前前 热热 身身(-，-22.设设 ，则则函函数数 的的最最小小值值是是_，此此时时x=_.4.设设a、b、cR+，则三个数，则三个数的值的值()(A)都大于都大于2 (B)至少有一个不大于至少有一个不大于2 (C)都小于都小于2 (D)至少有一个不小
9、于至少有一个不小于2 D5.设设abc且且a+b+c=0，求证：，求证：(1)b2-ac0；(2)b2-ac3a.能力思维方法1.已知已知a，b，c都是正数，且都是正数，且ab，a3-b3=a2-b2，求，求证：证：1a+b【解题回顾】本题证明【解题回顾】本题证明【解题回顾】本题证明【解题回顾】本题证明a+ba+b1 1采用了综合法，而证采用了综合法，而证采用了综合法，而证采用了综合法，而证明明明明a+ba+b 是采用了分析法是采用了分析法是采用了分析法是采用了分析法.在证题时，从已知条件在证题时，从已知条件在证题时，从已知条件在证题时，从已知条件出发，实行降幂变换，证出了出发，实行降幂变换，
10、证出了出发，实行降幂变换，证出了出发，实行降幂变换，证出了a+ba+b1 1；而从结论出；而从结论出；而从结论出；而从结论出发，实行升幂变换，导出发，实行升幂变换，导出发，实行升幂变换，导出发，实行升幂变换，导出a+ba+b 这是两种不同的这是两种不同的这是两种不同的这是两种不同的思维程序思维程序思维程序思维程序.【解解题题回回顾顾】(1)先先局局部部运运用用基基本本不不等等式式，再再利利用用不不等等式式的的性性质质(注注意意限限制制条条件件)，通通过过相相加加(乘乘)合合成成为为待待证证的的不不等等式式，既既是是运运用用基基本本不不等等式式时时的的一一种种重重要要技技能能，也是证明不等式时的
11、一种常用方法也是证明不等式时的一种常用方法.(2)注意条件中注意条件中1的代换与使用的代换与使用.2.(1)设设a，b，c都是正数，求证：都是正数，求证：(2)已知已知a、b、cR+，且，且a+b+c=1.求证：求证：【解解题题回回顾顾】利利用用|a|2a2(aR)是是证证有有关关绝绝对对值值问问题题的的好好方方法法，证证一一就就是是利利用用这这一一方方法法，证证二二采采用用的的是是有有理理化化分分子子，证证三三、证证四四是是将将数数量量关关系系的的问问题题转转化化为为图图形形的的性性质质问问题题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化
12、.3.证明：若证明：若f(x)1+x2，ab，则，则|f(a)-f(b)|a-b|.4.已知已知ab0，求证：，求证：【解解题题回回顾顾】有有趣趣的的是是，这这个个双双边边不不等等式式，我我们们能能够够同时进行证明同时进行证明.延伸拓展【解解题题回回顾顾】原原不不等等式式从从左左边边到到右右边边的的变变化化是是消消去去a1、a2，因此设法产生，因此设法产生a1+a2是变形的目标是变形的目标.5.设设a1，a2R+，a1+a21，1，2R+，求证：，求证：误解分析误解分析1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因的主要原因.2.把握不住
13、证题方向，会导致证题出现混乱把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.第3节 算术平均数与几何平均数要点要点疑点疑点考点考点1.复复习习并并掌掌握握“两两个个正正数数的的算算术术平平均均数数不不小小于于它它们们的的几几何何平平均数均数”的定理的定理.了解它的变式：了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)；(2)(a，bR+)；(3)(ab0)；(4)(a，bR).以以上上各各式式当当且且仅仅当当ab时时取取等等号号，并并注注意意各各式式中中字字母母的的取取值要求值要求.2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则，则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等
14、号.3.在在使使用用“和和为为常常数数，积积有有最最大大值值”和和“积积为为常常数数，和和有有最最小小值值”这这两两个个结结论论时时，应应把把握握三三点点：“一一正正、二二定定、三三相相等、四最值等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件.4.已知两个正数已知两个正数x，y，求，求x+y与积与积xy的最值的最值.(1)xy为定值为定值p，那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 ；(2)x+y为为定定值值s，那么当，那么当xy时时，积积xy有最大有最大值值 .1.“a0且且b0”是是“”成立的成立的()(A)充分而非必要条件充分而非必要条件 (B)必要而
15、非充分条件必要而非充分条件 (C)充要条件充要条件 (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 2.甲甲、乙乙两两车车从从A地地沿沿同同一一路路线线到到达达B地地，甲甲车车一一半半时时间间的的速速度度为为a，另另一一半半时时间间的的速速度度为为b；乙乙车车用用速速度度a行行走走了了一一半半路路程程，用用速速度度b行行走走了了另另一一半半路路程程，若若ab，则则两两车车到到达达B地地的的情况是情况是()(A)甲车先到达甲车先到达B地地 (B)乙车先到达乙车先到达B地地 (C)同时到达同时到达 (D)不能判定不能判定 课课 前前 热热 身身AA4.已知已知lgx+lgy1，的最小值是的最小值是
16、_.3下列函数中，最小值为下列函数中，最小值为4的是的是()(A)(B)(C)(D)C25.某某公公司司租租地地建建仓仓库库，每每月月土土地地占占用用费费y1与与仓仓库库到到车车站站的的距距离离成成反反比比，而而每每月月库库存存货货物物的的运运费费y2与与到到车车站站的的距距离离成成正正比比，如如果果在在距距离离车车站站10公公里里处处建建仓仓库库，这这两两项项费费用用y1和和y2分分别别为为2万万元元和和8万万元元，那那么么要要使使这这两两项项费费用用之之和和最最小小，仓仓库应建在离车站库应建在离车站()(A)5公公里里 (B)4公公里里 (C)3公公里里 (D)2公公里里 C能力思维方法【
17、解解题题回回顾顾】三三项项重重新新组组合合成成三三组组后后利利用用基基本本不不等等式式，是是利利用用基基本本不不等等式式证证明明不不等等式式的的一一种种常常用用技技巧巧.若若另另加加条条件件a，b，c不全相等，则等号不成立不全相等，则等号不成立.1.设设a，b，c都是正数，求证：都是正数，求证：2.(1)若正数若正数x、y满足满足x+2y1.求求 的最小值；的最小值；(2)若若x、yR+，且，且2x+8y-xy0.求求x+y的最小值的最小值.【解题回顾】第【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用错误的原因在两次运用平平均均不不等等式式的的时时候候取取等等
18、号号的的条条件件矛矛盾盾.(第第一一次次须须x2y，第第二二次须次须xy).求求条条件件极极值值的的问问题题，基基本本思思想想是是借借助助条条件件化化二二元元函函数数为为一一元元函函数数，代代入入法法是是最最基基本本的的方方法法，代代换换过过程程中中应应密密切切关关注注字字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.3.已知正数已知正数a、b满足满足a+b1.(1)求求ab的取值范围；的取值范围；(2)求求 的最小值的最小值.【解解题题回回顾顾】函函数数f(x)x+a/x(a0)是是一一个个重重要要的的函函数数，应应了了解解它它的的变变化化.f(x)x+a/x
19、(a0)在在(0，a上上是是减减函函数数，在在a，+)上上是是增增函函数数.在在研研究究此此函函数数的的过过程程中中，应应先先确确定定它它的的定定义义域域，若若xa/x成成立立，则则可可由由极极值值定定理理求求极极值值；若若xa/x不成立，则应在定义域内研究不成立，则应在定义域内研究f(x)的单调性的单调性.【解题回顾】用不等式解决有关实际【解题回顾】用不等式解决有关实际应用问题，一般先要将实际问题数学应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再化，建立所求问题的代数式，然后再据据此此确确定定是是解解不不等等式式，还还是是用用不不等等式式知知识识求求目目标标函函数数式式的的
20、最最值值.4.如如图图，为为处处理理含含有有某某种种杂杂质质的的矿矿水水，要要制制造造一一底底宽宽为为2米米的的无无盖盖长长方方形形沉沉淀淀箱箱，污污水水从从A孔孔流流入入，经经沉沉淀淀后后从从B孔孔流流出出，设设箱箱体体的的长长度度为为a米米，高高度度为为b米米，已已知知流流出出的的水水中中该该杂杂质质的的质质量量分分数数与与a，b的的乘乘积积ab成成反反比比.现现有有制制箱箱材材料料60平平方方米米，问问当当a，b各各为为多多少少米米时时，经经沉沉淀淀后后流流出出的的水水中中该该杂杂质的质量分数最小质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计孔的面积忽略不计).【解解题题回回顾顾】本本题题应应
21、用用了了命命题题的的等等价价转转化化思思想想，即即“如如果果A是是B成立的充要条件，那么成立的充要条件，那么B也是也是A成立的充要条件成立的充要条件”.延伸拓展5.设设a、b为为正正数数，求求证证：不不等等式式a+1b 成成立立的的充充要要条条件是：对于任意实数件是：对于任意实数x1，有，有ax+x/(x-1)b.误解分析(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.(1)不不能能灵灵活活使使用用充充要要条条件件的的概概念念进进行行转转化化，造造成成证证题题混混乱乱、易错易错.第第4 4节节 不等式的解法不等式的解法要点要点疑点疑点考点
22、考点1.1.解解一一元元二二次次不不等等式式是是解解整整式式、分分式式不不等等式式的的基基础础.求求解解时时应应首首先先调调整整不不等等式式中中二二次次项项系系数数a a，使使a a0.0.在在熟熟练练掌掌握握一一元元一一次次不不等等式式(组组)和和一一元元二二次次不不等等式式解解法法的的基基础础上上，掌握分式不等掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法式、简单的高次不等式的解法.2.2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法.3.3.讨讨论论一一元元二二次次不不等等式式系系数数中中的的字字母母取取值值问问题题，常常用用到到分分解解因因式式、判判别别式
23、式、求求根根公公式式、韦韦达达 定定理理，还还应应充充分分考考虑虑运用函数思想运用函数思想.课课 前前 热热 身身 1.1.不等式不等式(2/x)(2/x)x+1x+1的解集为的解集为_._.x xx x1 1或或-2-2x x0 02.2.已已知知函函数数f(x)=xf(x)=x2 2+ax+3+ax+3，当当xx-2-2，2 2时时，不不等等式式f(x)f(x)a a恒成立，求恒成立，求a a的取值范围是的取值范围是_-7-7 a a2 2 3.3.不等式不等式(x-2)(x-2)2 2(x-3)/(x+1)(x-3)/(x+1)0 0的解集为的解集为_._.x x-1-1x x2 2或或
24、2 2x x3 34.4.不等式不等式ax/(x-1)ax/(x-1)1 1的解集为的解集为x xx x1 1或或x x2 2，则，则a=()a=()(A)2 (B)-2 (C)12(A)2 (B)-2 (C)12(D)-12(D)-12 5.5.已已知知不不等等式式xx2 2-4x+3-4x+30 0，xx2 2-6x+8-6x+80 0，2x2x2 2-9x+m9x+m0 0，要要使使同同时时满满足足、的的x x也也满满 足足，则则有有()(A)m(A)m9 (B)m9 (B)m9 9(C)m(C)m9 9(D)0(D)0m9m9C C C C能力思维方法 1.1.设设mRmR，解关于，解
25、关于x x的不等式的不等式m m2 2x x2 2+2mx-3+2mx-30.0.【解解题题回回顾顾】解解此此不不等等式式时时，由由于于mRmR，因因此此不不能能完完全全按按一一元元二二次次不不等等式式的的解解法法求求解解.因因 为为当当m m0 0时时，原原不不等等式式化化为为-3-30 0，此此时时不不等等式式的的解解集集为为R R，所所以以解解题题时时应应分分m m0 0与与m0m0两种两种 情况来讨论情况来讨论.在在解解出出m m2 2x x2 2+2mx-3+2mx-30 0的的两两根根为为x x1 1-3/m-3/m，x x2 21/m1/m后后，认认为为-3/m-3/m1/m1/
26、m也也是是易易出出现现的的错错误误之之处处.这这 时时也也应应分分情情况况来讨论：当来讨论：当m m0 0时，时，-3/m-3/m1/m1/m；当；当m m0 0时，时，-3/m-3/m1/m.1/m.2.2.解解下下列列不不等等式式：(1)(x+2)(x+1)(1)(x+2)(x+1)2 2(x-1)(x-2)0(x-1)(x-2)0；(2)(x(2)(x2 2+2x-2)/(3+2x-x+2x-2)/(3+2x-x2 2)x.x.【解解题题回回顾顾】题题(1)(1)是是解解高高次次不不等等式式，一一般般解解法法为为通通过过同同解解变变形形，使使一一边边为为0 0，另另一一边边为为一一 次次
27、因因式式的的积积(x(x的的系系数数为为正正)，然然后后用用根根轴轴法法求求解解.如如果果出出现现重重因因式式(x-a)(x-a)n n，n n为为奇奇数数，该该式式可可 视视为为(x-a)(x-a)来来求求解解.若若n n为为偶偶数数，则则先先将将该该式式去去掉掉，最最后后再再讨讨论论x xa a是是否否为为原原不不等等式式的的解解.题题(2)(2)是是解解分分式式不不等等式式，不不可可盲盲目目去去分分母母，一一般般解解法法是是：移移 项项，通通 分分，分分 解解 因因 式式 后后 化化 为为 f(x)/g f(x)/g(x)(x)0 0 f(x)f(x)g(x)g(x)0 0，用用序序轴轴
28、标标根根法法解解，若若f(x)/g(x)0f(x)/g(x)0，则，则f(x)g(x)0f(x)g(x)0且且g(x)0.g(x)0.3.3.已知两个命题：已知两个命题：p p：当：当xx1 1，+)+)时，函数时，函数f(x)=f(x)=(0(0a a1)1)恒恒有有意意义义；q:q:关关于于x x的的 不不等等式式x2-2x-3x2-2x-3(1-5/(m+1)(1-5/(m+1)的的解解集集为为实实数数集集R R；如如果果这这两两个命题中有且只有一个是真命题，个命题中有且只有一个是真命题，试求试求m m的取值范围的取值范围.【解解题题回回顾顾】本本题题两两个个命命题题的的设设计计均均为为
29、恒恒成成立立问问题题,都都可可以以转转化化为为最最值值问问题题得得到到相相关关的的不不等等 式式，注注意意对对两两个个命命题题进进行行讨论以满足条件，从而得到讨论以满足条件，从而得到m m的范围的范围.4.4.解关于解关于x x的不等式的不等式(k(1-x)/(x-2)+1(k(1-x)/(x-2)+10(k10(k1，且，且k0).k0).【解解题题回回顾顾】本本题题是是含含参参数数的的分分式式不不等等式式的的求求解解.首首先先要要通通分分，变变形形成成因因式式积积的的形形式式，再再 由由判判断断根根的的大大小来确定讨论的标准与范围小来确定讨论的标准与范围.延伸拓展5.设设二二次次函函数数f
30、(x)x2+bx+c(b，cR)，已已知知不不论论，为为何何实实数数，恒恒有有f(sin)0，且且 f(2+cos)0.(1)求求证证：b+c-1；(2)求求c的的取取值值范范围围；(3)若若函函数数 f(sin)的的最最大大值值为为8，求，求b，c的值的值.【解解题题回回顾顾】本本题题充充分分体体现现了了二二次次函函数数与与二二次次不不等等式式的的联联系系与与转转化化，其其解解法法“巧巧”在在利利用用 条条件件的的特特殊殊状状态态求求出出f(1)f(1)0 0，“活活”在在二二次次函函数数向向不不等等式式的的转转化化，“妙妙”在在利利用用二二次次函函数数 单单调调性性确确定定最最大大值值的的
31、表表达达式式，进进而而求求出出b b，c.c.1 1不能充分使用二次函数与二次不等式之间的关系不能充分使用二次函数与二次不等式之间的关系.2 2不不能能利利用用二二次次函函数数单单调调性性，求求给给定定区区间间上上的的二二次次函函数数的的最最值值，致致使使建建立立错错误误的的关关系系.同同时时 注注意意与与前前面面小小题题中中的的结结论相结合论相结合.误解分析第5节 不等式的解法要点要点疑点疑点考点考点1.掌握无理不等式的解法掌握无理不等式的解法.解的过程注意两点：解的过程注意两点：(1)保证根式有意义；保证根式有意义；(2)在利用平方去掉根号在利用平方去掉根号时时，不等式两，不等式两边边要要
32、为为非非负值负值.2.掌握绝对值不等式的解法掌握绝对值不等式的解法.最简绝对值不等式分两类：最简绝对值不等式分两类：(1)|f(x)|a(a0)等价于等价于f(x)-a或或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)等价于等价于-af(x)a.3.掌掌握握指指数数、对对数数不不等等式式的的基基本本解解法法基基本本型型(axb，logaxb)，同同底底型型(af(x)ag(x)、logaf(x)logag(x)，或或利利用用换换元元法法或或通通过过函函数数的的单单调调性性将将其其转转化化为为代代数数不不等等式式.转转化化过过程程中中，应应充充分分关关注注函函数数定定义义域域，保保证证变变形形的的同同
33、解解性性.在在转转化化为为不不等等式式组组的的解解时时，应应注注意意区区别别“且且”、“或或”，涉涉及到最后几个不等式的解集是及到最后几个不等式的解集是“交交”还是还是“并并”.1.方程方程 的解集是的解集是()(A)(-1，0)(3，+)(B)(-，-1)(0，3)(C)(-1，03，+)(D)(-，-1)0，3 课课 前前 热热 身身C3.不等式不等式 的解集为的解集为_ 2.x2.x x x g(x)f(x)h(x)g(x)f(x)h(x)是是 xx x x f(x)-f(x)-h(x)h(x)(f(x)-g(x)(f(x)-g(x)00的的()()(A)(A)充分不必要条件充分不必要条
34、件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件A 4.4.关于关于x x的不等式的不等式x x3 3+13a+13a2 2x x5ax5ax2 2+9a+9a3 3的解集是的解集是_ 5.5.方方程程x x2 2-3mx+m=0-3mx+m=0的的一一个个根根大大于于0 0且且小小于于1 1，另另一一个个根根大于大于1 1且小于且小于2 2，则，则m m的取值范围是的取值范围是_._.x xx xa a m|1/2 m|1/2 m m4/54/5能力思维方法1.解不等式解不等式2.2.已已知知关关于于x x的的不不
35、等等式式(ax-5)/(x(ax-5)/(x2 2-a)-a)0 0的的解解集集为为M.M.(1)(1)当当a=4a=4时，求集合时，求集合M M；(2)(2)若若3M3M，且，且5 5M.M.求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解解题题回回顾顾】(1)(1)解解分分式式不不等等式式常常用用序序轴轴标标根根法法，(2)3M(2)3M，所所以以3 3是是不不等等式式的的解解，也也即即满满 足足不不等等式式，5 5M M，所所以以5 5不不是是不不等等式式的的解解，则则5 5在在M M补补集集中中，本本题题易易把把25-25-a=0a=0丢掉丢掉.3.已已知知a0，不不等等式式|x-4|+|
36、x-3|a在在实实数数集集R上上的的解解集集不不是空集，求是空集，求a的取值范围的取值范围.【解解题题回回顾顾】此此题题所所用用的的构构造造函函数数及及数数形形结结合合的的方方法法，是行之有效的常用方法是行之有效的常用方法.变变题题1 若若不不等等式式|x-4|+|x-3|a对对于于一一切切实实数数x恒恒成成立立，求求a的取值范围的取值范围.变变题题2 若若不不等等式式|x-4|-|x-3|a的的解解集集在在R上上不不是是空空集集求求a的取值范围的取值范围.变题变题3 不等式不等式|x-4|-|x-3|a在在R上恒成立，求上恒成立，求a的取值范围的取值范围.延伸拓展【解解题题回回顾顾】本本题题
37、亦亦为为含含有有参参数数的的不不等等式式，但但不不是是常常见见的的就就参参数数的的取取值值讨讨论论不不等等式式的的解解，而而是是就就不不等等式式成成立立这这一一结结论论，去去研研究究参参数数的的范范围围.两两者者各各尽尽其其妙妙，不不可可偏偏废废.此此外外，通通过过本本题题，可可培培养养学学生生研研究究问问题题的的意意识识、方方法法与与习习惯惯，应应予关注予关注.5.一位同学写了一个不等式：一位同学写了一个不等式：(1)他他发发现现当当c1、2、3时时不不等等式式都都成成立立，试试问问：不不等等式式是是否对任意的正数否对任意的正数c都成立都成立?为什么为什么?(2)对于已知的正数对于已知的正数
38、c，这位同学还发现，把不等式右边的，这位同学还发现，把不等式右边的“”改改成成某某些些值值，如如-c，0等等，不不等等式式总总是是成成立立的的，试试求求出所有这些值的集合出所有这些值的集合M.(1)直接作差，造成运算量较大，容易出现错误直接作差，造成运算量较大，容易出现错误.误解分析(2)在在运运用用基基本本不不等等式式时时，不不考考虑虑等等号号是是否否取取得得.即即不不讨讨论论c的取值范围，致使结果不全的取值范围，致使结果不全.第6节 不等式的综合应用要点要点疑点疑点考点考点1.1.近近几几年年的的高高考考试试题题中中，不不等等式式的的应应用用已已渗渗透透到到函函数数、三三角角、数数列列、解
39、解析析几几何何、立立体体几几何何等等内内容容中中，涉涉及及的的深深度度、范范围围也也在在提提高高和和增增大大，体体现现了了不不等等式式内内容容的的重重要要性性、思思想想方方法法的的独独特特性性.既既有有一一般般的的解解不不等等式式(组组)和和证证明明不不等等式式的的题题，也有将其作，也有将其作为为数学工具数学工具应应用的用的试题试题.2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析问题和解决问题的能力提高分析问题和解决问题的能力.不等
40、式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：广泛的应用，主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；研究方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；求参数的取值范围；(6)解决与不等式有关的解决与不等式有关的应应用用题题.3.用用题题中有一中有一类类是是寻寻找最找最优优化化结结果的，通常是把果的，通常是把问题转问题转化化为为不等式表示的模型，再求出极不等式表示的模型，再求出极值值.2.数数yx2+1-x2的值
41、域是的值域是()(A)12，1 (B)1，5/4 (C)1，1+2 /4 (D)/2，1 课课 前前 热热 身身1.如如果果函函数数ylog(1/3)(x2-2ax+a+2)的的单单调调递递增增区区间间是是(-，a，那么实数，那么实数a的取值范围是的取值范围是_.-1a2B3.若若关关于于x的的方方程程9x+(4+a)3x+40有有解解，则则实实数数a的的取取值值范围是范围是()(A)(-，-80，+)(B)(-，-4)(C)-8，4)(D)(-，-8 D4.设设a，b，cR，ab2且且ca2+b2恒恒成成立立，则则c的的最最大大值值为为_.45.不不等等式式ax2-bx+c0的的解解集集是是
42、(-1/2，2)，对对于于a、b、c有有以以下下结结论论：a0；b0；c0；a+b+c0；a-b+c0.其中正确其中正确结论结论的序号是的序号是_、能力思维方法1.已知实数已知实数，满足满足+0，+0，0，证明，证明，都大于都大于0.【解题回顾】(1)等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比q的讨论.(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn0可简化运算，再转化为求函数的最值问题.3.若抛物线c：yax2-1上总存在关于直线l：x+y0对称的两点，试求实数a的取值范围.【解题分析】求a的取值范围，关键是设法导出a的不等式.可考虑由判别式导出不等式.2.已已知知等等比比数数列列an的的
43、首首项项a10，公公比比q-1，且且q1，前前n项项和和为为Sn；在在数数列列bn中中，bnan+1-kan+2，前前n项项和和为为Tn.(1)求证：求证：Sn0；(2)证证明若明若TnkSn对对一切正整数一切正整数n成立，成立，则则k-1/2.【解解题题回回顾顾】(1)等等比比数数列列的的前前n项项求求和和公公式式的的运运用用时时注注意意公比公比q的讨论的讨论.(2)第第2小小题题是是从从Tn中中变变形形出出Sn，利利用用(1)中中Sn0可可简简化化运运算，再转化为求函数的最值问题算，再转化为求函数的最值问题.3.若若抛抛物物线线c：yax2-1上上总总存存在在关关于于直直线线l：x+y0成
44、成轴轴对对称的两点，称的两点，试试求求实实数数a的取的取值值范范围围.【解解题题回回顾顾】上上面面的的解解法法是是由由判判别别式式导导出出a的的不不等等式式的的，本本题题还还可可以以由由均均值值不不等等式式或或由由点点与与曲曲线线的的位位置置关关系系导导出出a的不等式的不等式.【解解题题回回顾顾】(1)本本小小题题是是利利用用x+1/x与与x2+1/x2，x4+1/x4之之间间的关系用配凑法求得的关系用配凑法求得.(2)通通过换过换元，利用一元二次方程的元，利用一元二次方程的实实根分布知根分布知识识求解求解.(3)把把恒恒成成立立问问题题转转化化为为求求函函数数的的最最值值，本本题题利利用用函
45、函数数的的单调单调性求最大性求最大值值.4.设设xlogst+logts，ylogs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其其中，中，s1，t1，mR.(1)将将y表示成表示成x的函数的函数yf(x)，并求，并求f(x)的定义域；的定义域；(2)若若关关于于x的的方方程程f(x)0，有有且且仅仅有有一一个个实实数数根根，求求m的取值范围；的取值范围；(3)若若f(x)0恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围.延伸拓展【解解题题回回顾顾】本本题题是是函函数数与与不不等等式式的的综综合合题题，对对于于(3)是是已已知知两两参参数数a、x的的范范围围，求求另另一一参参数数m的的范
46、范围围.此此类类题题的的做法是先消去一参做法是先消去一参x，后求，后求m范围范围.5.已知已知f(x)是定义在是定义在-1，1上的奇函数，且上的奇函数，且 f(1)1，若，若a，b-1，1，a+b0有有(1)判判断断函函数数f(x)在在-1，1上上是是增增函函数数，还还是是减减函函数数，并并证明你的结论；证明你的结论；(2)解不等式解不等式(3)若若f(x)m2-2am+1，对对所所有有x-1，1，a-1，1恒恒成立，求实数成立，求实数m的取值范围的取值范围.误解分析 不不等等式式问问题题大大多多需需要要“等等价价转转化化”，而而能能否否确确保保转转化化“等价等价”是解题成败的关键是解题成败的关键.