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1、不等式证明方法(五)判别式法、构造法、逆代法一、判别法 通过对所证不等式的观察、分析，构造出二次方程，证明中借助于二次方程的判别式，从而使不等式得证。二、逆代法 “逆代”的技巧常在“条件不等式”中被引用。练习:略解:略解略解 三、构造法 通过均构造函数、方程、数列、复数（向量）、图形或不等式来证明不等式。此类问题通常是把一个实际问题或数学问题通过构造法转变成另一个易于解决的数学问题。（1）构造函数，所谓“构造函数”，即构造一个单调函数，来完成不等式的证明。例3、分析：本题中涉及a、b、k三个字母，数量关系比较分散，注意到若把右边看成是关于a的二次函数，则根据a的取值范围，判断函数在此区间上的单
2、调性即可。(2)构造方程。所谓“构造方程”，即先设法构造一个实数解的一元二次方程（恒等变形构造方程，或利用韦达定理构造方程），再利用判别式大于等于0来完成证明。例5、已知实数a,b,c满足a+b+c=0和abc=2,求证：a,b,c中至少有一个不小于2证明：由题设，显然a,b,c中必有一个是正数，不妨设a0，则这说明b,c是二次方程的两个实数根，构造不等式组:由韦达定理,知 2|a|4+b.显然,(2)只需在(*)处注意到则以上过程可逆,命题得证.(2)由2|a|4+b,由此可知f(x)=0 的两根或在区间(-2,2)内,或在区间(-2,2)之外,本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系,绝对
3、值不等式的性质和证明方面的知识,考查了逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.三种方法的侧重点不同,证法一和三是构造法.证法一是构造不等式,证法三是构造二次函数,利用二次函数在区间端点处的符号确定相应的二次方程根据的位置.证法二是综合法,重点是代数式变形,从根的判别式、求根公式出发，利用不等式性质证明。（3）构造图形。先构造一个平面几何图形，再利用“平面几何”或“平面解析几何”的知识来证明不等式，这便是“构造图形”的要旨。略证：构造单位正方形ABCD如图，O是ABCD内一点，O到AD、AB的距离分别为a,b。则由OABCDSQPR1-bba1-ab1-ba1-a（1）构造矩形ABCD，E，F分别在AB，CD上，使|AB|=a，|AE|=|DF|=b|AD|=1，则由|AC|-|AF|CF|即得证。ABCDEF1ba-bABCOxyz