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1、1第第 1414 讲讲 导数的应用导数的应用学习学习 目标目标学习学习 疑问疑问学习学习 建议建议【预学能掌握的内容预学能掌握的内容】1.函数的单调性函数f(x)在区间(a,b)内可导,f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在区间(a,b)上为 ; f(x)0 时f(x)为增函数;f(x)0,解集在定义域内的部分为f(x)的单调递增区间,解不等式f(x)0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.6课堂检测3.已知aR,函数f(x)=(-x2+ax)ex(xR,e
2、为自然对数的底数).(1)当a=2 时,求函数f(x)的单调递增区间. (2)是否存在实数a,使函数f(x)在 R 上为单调递减函数?若存在,求出a的取值范围;若不存 在,请说明理由.总结反思 已知函数的单调性,求参数的取值范围时常用两种方法:(1)利用集合间的包含 关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是f(x)的单调区间的子集;(2)转化为不等式 的恒成立问题,即“若函数f(x)单调递增,则f(x)0;若函数f(x)单调递减,则f(x) 0”,来求解.探究点四 利用导数解决函数的极值问题 考向 1 根据函数图像判断函数极值图 2-14-1 例例 4.4.已知函数f(x)
3、在 R 上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图像如图 2-14- 1 所示,则下列结论中一定成立的是 ( ) A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)课堂检测14.函数f(x)的导函数f(x)的图像如图 2-14-2 所示,则下列判断正确的是( )A. 在(-,-1)内,f(x)是单调递增的 B. 在(-,0)内,f(x)是单调递增的 C. f(-1)为极大值 D. f(-1)为极小值总结反思 由图像判
4、断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:由y=f(x)的图像与x轴的交点, 可得函数y=f(x)的可能极值点;由导函数y=f(x)的图像可以看出y=f(x)的值的正负,从 而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.考向 2 已知函数求极值 例例 5.5.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 2.(1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值.课堂检测5.已知函数f(x)=aln x+x2+bx+1 在点(1,f(1)处的切线方程为 4x-y-12=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间和极值
5、.总结反思 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤:先求函数y=f(x)的定义域, 再求其导数f(x);求方程f(x)=0 的根;检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号, 如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 极小值.特别注意:导数为零的点不一定是极值点.考向 3 已知极值求参数 例例 6.6.设函数f(x)=ax3-2x2+x+c(a0).6(1)当a=1,且函数图像过点(0,1)时,求函数的极小值; (2)若f(x)在 R 上无极值点,求a的取值范围.课堂检测6.6.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)
6、令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1 处取得极大值,求实数a的取值范围.总结反思 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;因为导数值等于 0 不是此点为极值点 的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.探究点四 利用导数解决函数的最值问题 例例 7.7.已知函数f(x)=xln x. (1)求曲线y=f(x)在x=1 处的切线方程; (2)求f(x)在区间t,t+2(t0)上的最小值.课堂检测7.已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. 总结反思 利用导数求函数最值的一般步骤:(1)求函数f(x)的导数f(x);(2)求f(x)在给 定区间上的单调性和极值;(3)求f(x)在给定区间上的端点值;(4)将f(x)的各极值与f(x)的 端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.