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1、 电子科技大学光电信息学院 课程设计论文 课程名称 固体与半导体物理 题目名称 布里渊区的选取 学 号 2905301014 2905301015 2905301016 姓 名 李雄风 寿晓峰 陈光楠 指导老师 刘爽 起止时间 2011.10.1-2011.10.15 2011 年 10 月 1 日 布里渊区的选取 摘要 本文着重介绍了布里渊区的选取。首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物
2、模型）。一、相关概念介绍 1.1 倒格子 假设晶格原胞基失为a1、a2 和a3，则对应的倒格子原胞基失为b1、b2 和b3，它们满足如下关系：b1=2(a2 a3)b2=2(a3 a1)b3=2(a1 a2)其中=a1 (a2 a3)为原胞体积。b1、b2 和b3 是不共面的，因而由b1、b2 和b3 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：bi aj=2ij=2 当 i=j0 当 i j i,j=1,2,3 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的
3、 2 倍。倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。尤其是下面介绍的布里渊区，就是在倒格子下定义的。倒格子与布里渊区有着非常紧密的联系。在正格子空间中，正格子原胞体积等于威格纳-赛兹原胞体积；在倒格子空间中，倒格子原胞体积则等于第一布里渊区的体积。1.2 布里渊区 在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢量Kh 的垂直平分面，这些平面把倒格子空间划分成一些区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点的平面所围成的区域称
4、作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，以此类推，第 n 个布里 渊区是从原点出发，跨过（n-1）个垂直平分面的所有区域的集合。由于布里渊区界面是某倒格矢Kh 的垂直平分面，如果用k 表示从原点出发，端点落在Kh 的垂直平分面上的矢量，则其必满足方程：k Kh=12Kh2 (1)对于布里渊区的边界方程（1）式，有如下说明：k 从原点出发，端点落在Kh 的垂直平分面上，由于k Kh =kKhcos，而k 的端点落在Kh 的垂直平分面上必须有kcos=12Kh，所以可以得出布里渊区边界方程为：k Kh=12Kh2。其中，Kh 称为倒格矢，其满足Kh=h1b1+
5、h2b2+h3b3，b1、b2 和b3 为倒格子基矢，h1、h2和h3为任意整数；k 为任意波矢，其满足 k=kxi +kyj +kzk，i 、j 和k 是倒格子空间的单位正交基矢，kx、ky和kz为倒格子空间的三个坐标量。由此，便可根据边界方程（1）式得出各个中垂面满足的方程，最终求出各个布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒格子的原胞体积。布里渊区具有周期性，每个布里渊区的各个部分，经过平移适当的倒格矢Kh 以后，可以使一个布里渊区与另一个布里渊区重合。每个布里渊区都是以原点为中心对称分布的。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射，对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里
6、渊区界面上产生不连续变化。根据这一特点，1930 年 L.-N.布里渊首先提出用倒格子矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。选取布里渊区的步骤：（1）利用正格子基矢求出倒格子基矢；（2）通过倒格子基矢写出倒格矢Kh；（3）利用边界方程式（1）求出中垂面的方程；（4）距离原点最近的中垂面所围成的区域即为第一布里渊区，次近的中垂面和最近的中垂面所围成的区域则为第二布里渊区以此类推，便可求得各个布里渊区。二、布里渊区选取举例 2.1 一维情况举例 在一维的情况下，简单格子只有一种类型，而所有的复式格子都可以通过基元的选择转化为简单格子，因此，只要以晶格常数为 a 的一维晶格为例求解布
7、里渊区即可。（1）求倒格子基矢：晶格常数为 a 的一维晶格的原胞基失为a1=ai 设倒格子基矢为b1，则由a1 b1=2易知：b1=2ai （2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh=h1b1=2ah1i h1=0,1,2,（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k=kxi 根据边界方程式（1）有：2akxh1=12(2ah1)2 距原点最近的两个倒格点的倒格矢为：Kh=2ai 求得其对应的两条中垂线方程为：kx=a 由此即可确定第一布里渊区；距原点次近的两个倒格点的倒格矢为：Kh=4ai 求得其对应的两条中
8、垂线方程为：kx=2a 由此可确定第二布里渊区；以此类推，可以确定各个布里渊区。（4）画出布里渊区：各个布里渊区如图 2-1 所示。图 2-1 一维简单格子的布里渊区 2.2 二维情况举例 以二维有心长方晶格为例，设其晶格常数分别为 a 和 b，且令 b=2a，则该晶格与其晶胞和原胞如图 2-2 所示。图 2-2 二维有心长方晶格示意图 （1）求倒格子基矢：由图 2-1 易知，正格子的原胞基矢为：a1=ai a2=12ai +aj 设倒格子基矢为b1 和b2，由其定义，有：a1 b1=2a2 b1=0 a1 b2=0 a2 b2=2 由此解得倒格子基矢为：b1=2ai aj b2=2aj （2
9、）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则倒格子基矢b1 和b2 分别如图 2-2所示，该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh=h1b1+h2b2=2ah1i +a(2h2 h1)j h1,h2=0,1,2,（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k=kxi +kyj 容易找到，距离原点最近的 6 个倒格点的倒格矢为：Kh=2ai aj Kh=2aj 于是利用（1）式，可以求得距离原点最近的 6 条中垂线方程为：2kx+ky=52a 2kx ky=52a ky=a 距离原点次近的6 个倒格点的倒格矢为：Kh=2ai 3aj Kh=4ai 再次利用
10、（1）式，可以求得距离原点次近的 6 条中垂线方程为：kx=2a 2kx+3ky=132a 2kx 3ky=132a 以此类推，可以由近到远地求出各个倒格点所对应的中垂线方程，即布里渊区的边界方程。（4）画出布里渊区：根据求得的中垂线方程以及布里渊区的划分原则，我们可以在倒格子空间中将布里渊区表示出来，图 2-3 给出了一些布里渊区的示意图。图 2-3 倒格子空间和布里渊区 2.3 三维情况举例 2.3.1 面心立方格子 设面心立方的晶格常数为a，则有：（1）求倒格子基矢：面心立方的正格子基矢为：a1=a2(j +k)a2=a2(k+i )a3=a2(i +j )设倒格子基矢分别为b1、b2
11、和b3，则由其定义，有：b1=2a1 (a2 a3)(a2 a3)=2a(i +j +k)b2=2a1 (a2 a3)(a3 a1)=2a(i j +k)b3=2a1 (a2 a3)(a1 a2)=2a(i +j k)（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh=h1b1+h2b2+h3b3 =2a(h2+h3 h1)i +2a(h1 h2+h3)j +2a(h1+h2 h3)k h1,h2,h3=0,1,2,（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：k=kxi +kyj +kzk 容易找到，距离原点最近的8
12、 个倒格点的倒格矢为：Kh=2a(i j k)距离原点次近的 6 个倒格点的倒格矢为：Kh=4ai Kh=4aj Kh=4ak 于是利用（1）式，可以求得这 14 个倒格矢的中垂面方程为：kx ky kz=3a kx=2a ky=2a kz=2a（4）画出布里渊区：上面所求得的 14 个中垂面刚好围成了面心立方的第一布里渊区，它是一个被截去顶角的正八面体，而且可以证明，截去顶角后的八个正三角形面变成了八个正六边形面，如图 2-4 所示。图 2-4 面心立方的第一布里渊区 2.3.2 体心立方格子 设体心立方的晶格常数为a，则有：（1）求倒格子基矢：体心立方的正格子基矢为：a1=a2(i +j
13、+k)a2=a2(i j +k)a3=a2(i +j k)设倒格子基矢分别为b1、b2 和b3，则由其定义，有：b1=2a1 (a2 a3)(a2 a3)=2a(j +k)b2=2a1 (a2 a3)(a3 a1)=2a(k+i )b3=2a1 (a2 a3)(a1 a2)=2a(i +j )（2）写出倒格矢：在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：Kh=h1b1+h2b2+h3b3 =2a(h2+h3)i +2a(h1+h3)j +2a(h1+h2)k h1,h2,h3=0,1,2,（3）求边界方程：设倒格子空间中的任意波矢为：
14、k=kxi +kyj +kzk 容易找到，距离原点最近的12 个倒格点的倒格矢为：Kh=2a(j k)Kh=2a(k i )Kh=2a(i j )于是利用（1）式，可以求得这 12 个倒格矢的中垂面方程为：ky kz=2a kz kx=2a kx ky=2a（4）画出布里渊区：上面所求得的 12 个中垂面刚好围成了体心立方的第一布里渊区，它是一个正十二面体，如图 2-5 所示。图 2-5 面心立方的第一布里渊区 三、三维布里渊区的实物模型制作 3.1 面心立方第一布里渊区实物模型制作 如上所述，面心立方的第一布里渊区是一个去顶角正八面体，为了得到其展开图，可以先画出正八面体的展开图。正八面体是
15、由八个全等的正三角形面构成的，容易得到其展开图如图 3-1 所示。图 3-1 正八面体展开图 下面，由于截去了六个顶角，将多出六个正方形面，而且原来的八个正三角形面变成了八个正六边形面，故这个去顶角正八面体的展开图如图 3-2 所示。图 3-2 去顶角正八面体展开图 在硬纸上画出如图 3-2 的图形，剪下粘合，就可以得到面心立方第一布里渊区的实物模型。（具体的模型参见实物附件 1）3.2 体心立方第一布里渊区实物模型制作 如上所述，体心立方的第一布里渊区是一个正十二面体，它由十二个全等的菱形组成。为了得到正十二面体的展开图，首先要确定每个菱形的对角线长。图 3-3 求菱形内角示意图 如图 3-
16、3 所示，以菱形 ACBD 为研究对象，连接 AB 和 CD 交于 F，过 F 作FEAO。由于OA和OB分别位于y轴和x轴上，且观察得OA=OB，因此ABO=45，又 F 为菱形中心，由菱形性质知，FE 为AOB的中位线，因此，FE=AE 且AFE=45，不妨设 FE=AE=x，则可得 AF=2x 另一方面，容易观察得到：EF=CF=DF，因此，该菱形的两条对角线长分别为 AB=2AF=2x，CD=2CF=2x，于是，这个菱形被唯一确定下来。下面，由图 3-4 给出了正十二面体的展开图。图 3-4 正十二面体展开图 在硬纸上画出如图 3-4 的图形，剪下粘合，就可以得到体心立方第一布里渊 区
17、的实物模型。（具体的模型参见实物附件 2）四、参考文献 1 杨亚培 张晓霞.光电物理基础M.成都：电子科技大学出版社，2009.2 陈长乐.固体物理学（第2 版）M.北京：科学出版社，2007.电子科技大学光电信息学院课程设计（论文）教师评阅表 课程名称 固体与半导体物理 题目名称 布里渊区的选取 学 号 2905301014 2905301015 2905301016 姓 名 李雄风 寿晓峰 陈光楠 评阅标准 得分 教师 评阅 学习态度（学习态度能否认真，设计（论文）有无抄袭情况）（010 分）工作量（能否很好地完成任务书规定的工作量，设计内容是否全面）（010 分）规范要求（图形、表格、公
18、式的表达是否清晰、正确，论文的书写是否符合规范化要求）（015 分）实际能力（能否认真阅读教师指定的参考资料、文献，是否能阅读与课程设计有关的自选资料；基础理论和专业知识是否扎实，能否正确运用基本理论和基本技能；能否独立分析、解决设计问题，设计方案是否正确，有无重大原则性错误；文字表达能力如何，能否准确地表达自己的设计思想或论文意图）（040 分）学识水平（论文是否有独到见解或设计是否有较大创新，对课题是否有较深刻的分析和研究，论文或设计是否有较大的实用价值或较高的学术水平，成果是否突出（025 分）总 计 评阅教师评语（包括学习态度及工作量；课程设计（论文）内容及规范性；课程设计（论文）表达能力等方面）：评阅教师签字：年 月 日