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1、三角形的证明三角形的证明知识点一：全等三角形的判定与性质知识点一：全等三角形的判定与性质一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形判定判定边角边（边角边（SAS）角边角（角边角（ASA）角角边（角角边（AAS）边边边（边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等（HL）性质性质对应边相等，对应角相等对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等1判定和性质判定和性质第1页/共67页2证题的思证题的思路：路：第2页/共67页1用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，
2、则能说明AOC=BOC的依据是（）ASSSBASACAASD角平分线上的点到角两边距离相等2下列说法中，正确的是（）A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等3如图，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC的度数为（）A40B35C30D25第3页/共67页4已知：如图，在MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQNQ求证：HNPM.第4页/共67页1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4
3、）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2使两个直角三角形全等的条件是（）A一个锐角对应相等B两个锐角对应相等C一条边对应相等 D两条边对应相等第5页/共67页1下列说法正确的是（）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等2如上图，在ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（）A15 B20C25D303如下图，已知ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是（）A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙第6页/共67页4如图49，已知
4、ABCABC，AD、AD分别是ABC和ABC的角平分线（1）请证明ADAD；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?第7页/共67页等腰三角形的判定：等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等知识点二：等腰三角形的判定与性质知识点二：等腰三角形的判定与性质第8页/共67页判定：判定：有一个角等于有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形；的等腰三角形
5、是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是三个角都是60的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；有两个角是有两个角是60的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形性质：性质：等边三角形的三边相等，三个角都是等边三角形的三边相等，三个角都是60知识点三：等边三角形的判定与性质知识点三：等边三角形的判定与性质第9页/共67页1、直角三角形的有关知识、直角三角形的有关知识勾股定理勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
6、那么这个三角如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；形是直角三角形；在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半2、互逆命题、互逆定理、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理
7、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.知识点四：直角三角形第10页/共67页1下列说法中不正确的是（）A有一腰长相等的两个等腰三角形全等B有一边对应相等的两个等边三角形全等C斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D斜边相等的两个等腰直角三角形全等2 2如图，在等边如图，在等边ABC ABC 中中,BADBAD=20,=20,AE AE=ADAD，则，则CDECDE的度数是（）的度数是（）A.A.10 10 B B12.512.5 C C1515D D2020第
8、11页/共67页3、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.第12页/共67页4如图，等边ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上若DE=DB，则CE的长为_第13页/共67页5如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6B12 C32D64第14页/共67页6如图，等边ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则FAE+AEF的度数是（）A60B110C120D135第15
9、页/共67页7.如图，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q（1）求证：BQM=60；（2）如图，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，给予证明；若不成立，说明理由第16页/共67页8如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG的度数；（3）求证：CG=CH第17页/共67页1如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折
10、痕为DG，则AG的长为_.第18页/共67页2如图，在ABC中，C=90，B=30，AD是BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A6 B4C3D2第19页/共67页3如图，在44正方形网格中，以格点为顶点的ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为_.第20页/共67页4如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗?请证明你的结论第21页/共67页5如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）设AE=a，AB
11、=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明第22页/共67页6已知：如图，在ABC中，A=30，ACB=90，M、D分别为AB、MB的中点求证：CDAB第23页/共67页7如图，AC=BC=10cm，B=15，ADBC于点D，则AD的长为（）A3cmB4cmC5cmD6cm第24页/共67页8已知，如图，ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P（1）求证：AEBCDA；（2）求BPQ的度数；（3）若BQAD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长第25页/共67页线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直
12、平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。知识点五：线段的垂直平分线知识点五：线段的垂直平分线第26页/共67页例三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A三条中线的交点 B三边垂直平分线的交点C三条高的交点D三条角平分线的交点例例如图，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，AC=_第27页/
13、共67页1如图，在RtABC中，C=90,B=30.AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）AAE=BEBAC=BECCE=DE DCAE=B第28页/共67页2如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB=7，则ABC的周长为（）A7B14 C17D20第29页/共67页4如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A在AC，BC两边高线的交点处B在AC，BC两边中线的交点处C
14、在AC，BC两边垂直平分线的交点处D在A，B两内角平分线的交点处第30页/共67页5如图，AD为BAC的角平分线，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MDAC第31页/共67页6如图所示，ABC中，AB=AC，BAC=120，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：BF=2CF第32页/共67页7如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF第33页/共67页1如图，在RtABC中，B=90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE=10，则C的度数为（）
15、A30B40C50D60第34页/共67页2如图，在ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点EBCE的周长等于50，则BC的长为（）A2lB22C23D24第35页/共67页3如图，在ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，则AEG的周长为（）A6.5cmB13cmC26cmD15cm第36页/共67页4已知：如图，ABC的AABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）A大于B小于C等于D不能确定第37页/共67页5如图，在ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DEAB，BCE的周长为8cm，且ACBC
16、=2cm，求AB、BC的长第38页/共67页1如图，在ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点（1）若BAC=100，求EAN的度数；（2）若BAC=70，求EAN的度数；（3）若BAC=（90），第39页/共67页2如图，在ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则AEC的周长等于（）Aa+bBabC2a+bDa+2b第40页/共67页4如图有一块直角三角形纸片，ACB=90，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（）A2B2.5C3D3.5第41页/共67页角平分线
17、上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。离相等，则它在该角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。相等，交点即为三角形的内心。知识点六：角平分线知识点六：角平分线第42页/共67页1如图，POA=POB，PDOA于点D，PEOB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，则PE=（）A13B12C5D12三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A三
18、条中线交点B三条角平分线交点C三条高线交点D三条高线所在直线的交点第43页/共67页3如图，RtABC中，C=90，ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A5cmB4cmC3cmD2cm第44页/共67页4如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP第45页/共67页5如图，ABC=50，AD垂直平分线段BC于点D，ABC的平分线交AD于E，连接EC；则AEC等于（）A100B105C115D120第46页/共67页6如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公
19、路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A一处B四处C七处D无数处第47页/共67页7如图，AD为ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论第48页/共67页1如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A1B2C3D4第49页/共67页3如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：点P到A，B两点的距离相等；点P到直线l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）第50页/共67页4已知：如图
20、所示，ABC中，C=90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF求证：CF=EB第51页/共67页5已知：如图，B=C=90，M是BC的中点，DM平分ADC（1）若连接AM，则AM是否平分BAD?请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由第52页/共67页1如图，AOB=30，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4B3C2D1第53页/共67页2如图，锐角三角形ABC中，BCABAC，小靖依下列方法作图：（1）作A的角平分线交BC于D点（2）作AD的中垂线交AC于E点（3）连接DE根据他画的图形，判断下列关系何者正确?
21、（）A.DEACBDEAB CCD=DEDCD=BD第54页/共67页3如下图左，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分ACB若PB=3，AC=10，则PAC的面积为_第55页/共67页4已知：如上图右，ABCD，O为BAC、ACD的平分线的交点，OEAC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE=_第56页/共67页1已知：如图，在已知：如图，在MPN中，中，H是高是高MQ和和NR的的交点，且交点，且MQNQ求证：求证：HNPM.第57页/共67页2、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.第58页/共67页3如图，已知：MON=30，点A1、A2、A3在射线ON上，点B
22、1、B2、B3在射线OM上，A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均为等边三角形，若OA1=1，则A6B6A7的边长为（）A6B12 C32D64第59页/共67页4如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗?请证明你的结论第60页/共67页5如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处；（1）求证：BE=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明第61页/共67页8已知，如图，ABC为等边三角形，
23、AE=CD，AD、BE相交于点P（1）求证：AEBCDA；（2）求BPQ的度数；（3）若BQAD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长第62页/共67页6如图，AD为BAC的角平分线，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MDAC第63页/共67页7如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF第64页/共67页8如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A一处B四处C七处D无数处第65页/共67页谢谢！第66页/共67页感谢您的观看。感谢您的观看。第67页/共67页