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1、第4章 平面与立体相交吉林建筑工程学院吉林建筑工程学院制图教研室 赵鸣编制概 述 平面与立体相交，可看作是平面截切平面与立体相交，可看作是平面截切立体，该平面与立体表面产生交线，称为立体，该平面与立体表面产生交线，称为截交线截交线。本章主要讨论在投影图中如何求截交本章主要讨论在投影图中如何求截交线。线。WVH4.1 4.1 平面立体表面上的点和线平面立体表面上的点和线 在投影图中，如果给出立体表面上某个点的一个投影就在投影图中，如果给出立体表面上某个点的一个投影就可以求画出该点的其他投影。可以求画出该点的其他投影。aaaAa棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。棱柱体表面上定点，关键利
2、用其表面投影的积聚性。已知六棱柱侧面上已知六棱柱侧面上点的一个投影，求其点的一个投影，求其他两个投影。他两个投影。1.已知已知A点的正投影；点的正投影；a2.已知已知B点的正投影；点的正投影；3.已知已知C点的水平投影；点的水平投影；(b)caabbcc棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。棱柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。1.1.棱柱体表面上定点棱柱体表面上定点空间思考：空间思考：1 1）点点、分别在分别在立体的哪个侧面上；立体的哪个侧面上；2)2)直线直线ABCD是怎样是怎样的线段。的线段。a1bc（2）d作图：作图：利用积聚投影及投影特性求出其他投影。利用积聚投影及投
3、影特性求出其他投影。1(1(1)abcdb(c)(c)d d22ABCDa 【例题例题】补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上 各点和直线的其他投影。各点和直线的其他投影。1.1.空间思考空间思考,判断判断点在锥体的什么位置，点在锥体的什么位置，哪个侧面上。哪个侧面上。2.2.利用平面上定点利用平面上定点的方法，求作其他的方法，求作其他投影。投影。ssaaccbbcasbddd(1)（2）21(2)1 两种求侧投两种求侧投影的方法影的方法棱锥体表面上定点，关键利用其平面定点的方法。棱锥体表面上定点，关键利用其平面定点的方法。2.2.棱锥体表面上定点
4、棱锥体表面上定点O2134(4(4)1423213平行平行平行平行【例题例题】补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上 各点和直线的其他投影。各点和直线的其他投影。X【例题例题】补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上补画平面立体的第三面投影，并补全立体表面上 各点和直线的其他投影。各点和直线的其他投影。OZYHYWadbc(c(c)dcaba(d)b平行平行平行平行截交线截交线截（断）面截（断）面PSABCMNK4.2 4.2 平面与平面立体相交平面与平面立体相交截交线的特性：截交线的特性：1.截交线是立体截交线是立体表面与截平面的表面与截平面的
5、共有线共有线.2.是闭合的平面是闭合的平面折线折线;3.折点是平面立折点是平面立体的棱线与截平体的棱线与截平面的交点面的交点;4.折线是平面立折线是平面立体的表面与截平体的表面与截平面的交线面的交线;截平面截平面截交线截交线截（断）面截（断）面PSABCMNK交点法：交点法：1.求折点求折点（即求平面（即求平面立体的棱线与截平面立体的棱线与截平面的交点）的交点）;2.连线并判别可见性连线并判别可见性（将同一棱面上折点（将同一棱面上折点连线，可见连实线、连线，可见连实线、不可见连虚线）不可见连虚线）;3.整理棱线。整理棱线。截平面截平面截交线的求法截交线的求法ABCDE6.1.1 6.1.1 平
6、面与棱柱相交平面与棱柱相交PPVbeacd(e)bacdbea(d)c【例题例题】已知四棱柱被正垂面已知四棱柱被正垂面P P所截所截,求截交线。求截交线。方法方法:1.利用截平面和棱柱的积聚投影求出折点的利用截平面和棱柱的积聚投影求出折点的V、H投影投影;2.根据根据V、H投投影求出折点的影求出折点的W投影投影;3.依次将折点连起来即为截交线依次将折点连起来即为截交线;4.将保留的线加深。将保留的线加深。截交线截交线截平面截平面n6.1.2 6.1.2 平面与棱锥相交平面与棱锥相交 PSABCMNK截平面截平面截交线截交线sabcPVnmkabcsmka(c)bsnmk【例题例题】已知三棱锥被
7、正垂面已知三棱锥被正垂面P P所截所截,求截交线。求截交线。解题思路：利用解题思路：利用P平面的平面的V面积聚投影求出三面积聚投影求出三条棱线与条棱线与P平面的交点，即三个折点的平面的交点，即三个折点的V面投面投影。影。这就是线面交点法这就是线面交点法【例题例题】求作三棱锥的求作三棱锥的H H、W W面投影。面投影。sbcPvabcsa(c)saABCKNMFbsbcPvbcsa(c)smkknnmfnk(m)ffaaV投影投影H投影投影W投影投影解题：解题：1.利用积聚性求折点的正投影利用积聚性求折点的正投影;2.利用投影原理求出折利用投影原理求出折点的点的H H、V V投影投影;3.;3.
8、将折点连线既是截交线将折点连线既是截交线;4.;4.将保留的线加深将保留的线加深b【例题例题】求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影.3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性【例题例题】求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影.1 12 21 1(2(2)、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上
9、。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。【例题例题】求作三棱锥切割体的求作三棱锥切割体的H H、W W面投影。面投影。a(b)cd3.已知已知C点的正投影；点的正投影；2.已知已知B点的正投影；点的正投影；1.已知已知A点的正投影；点的正投影；已知圆柱侧面上点已知圆柱侧面上点的一个投影，求其他的一个投影，求其他两个投影。两个投影。4.已知已知D点的水平投影。点的水平投影。圆柱体表面上定点
10、，关键利用其表面投影的积聚性。圆柱体表面上定点，关键利用其表面投影的积聚性。a（a a）bbc(c)dd4.3 4.3 曲面立体表面上定点曲面立体表面上定点1.1.圆柱体表面上定点圆柱体表面上定点【例题例题】补画曲面立体的第三面投影，并补全立体表面的补画曲面立体的第三面投影，并补全立体表面的另两面投影。（习题集另两面投影。（习题集32页页3题）题）(a)abcbcabc(1)2ABC注意：注意：ABC ABC是一是一条曲线。条曲线。ABC三点分别在圆柱的轮廓线上，为特殊位置点。三点分别在圆柱的轮廓线上，为特殊位置点。、两点为一般位置点。两点为一般位置点。11222.圆锥体表面上定点圆锥体表面上
11、定点 sss(a)a(b）ba1.已知已知A点的正投影；点的正投影；2.已知已知B点的正投影；点的正投影；3.已知已知C点的正投影；点的正投影；bccc 已知圆锥侧面上点已知圆锥侧面上点的一个投影，求其他的一个投影，求其他两个投影。两个投影。AC 点在面上，一定在点在面上，一定在体表面的素线上。体表面的素线上。圆锥体表面上定点要利用素线法作图圆锥体表面上定点要利用素线法作图B素线素线 法法 caba【例题例题】补画曲面立体的第三面投影，并补全立体表面补画曲面立体的第三面投影，并补全立体表面线的另两面投影。习题集线的另两面投影。习题集33页（页（5）题）题ccbbaddde ee 分析分析ABA
12、B、BCBC线的所处线的所处的位置及形状的位置及形状。AB为曲线，为曲线，BC为直线。为直线。圆锥体表面上定点要利用素线法作图圆锥体表面上定点要利用素线法作图CAB圆锥体表面上定点圆锥体表面上定点.2要利用纬圆法作图要利用纬圆法作图纬纬 圆圆 法法 a a a a（a a）已知点已知点A的正面投影，求其他投影。的正面投影，求其他投影。4.4.圆锥体表面上定点圆锥体表面上定点（1）过点的正面过点的正面投影作纬圆的正面投影作纬圆的正面投影（直线）投影（直线）。（2）求纬圆的水平）求纬圆的水平投影（圆）。投影（圆）。A3.圆球体表面上定点圆球体表面上定点 已知圆球面上点已知圆球面上点的一个投影，求其
13、他的一个投影，求其他两个投影。两个投影。aa(a)纬圆纬圆圆球体表面上定点要利用圆球体表面上定点要利用纬圆法纬圆法作图作图1.已知已知A点的正投影；点的正投影；（b）b(b)ccc2.已知已知B点的正投影；点的正投影；3.已知已知C点的水平投影。点的水平投影。A【例题例题】球体表面特殊位置点的定点练习。球体表面特殊位置点的定点练习。ab(c)mn(a)abcnn(m)b(c)m 对于球体的投影对于球体的投影图来讲，凡在轮廓图来讲，凡在轮廓线上的点或在轴线线上的点或在轴线上的点均为特殊位上的点均为特殊位置点。置点。4.4 4.4 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交P截平面截平面截（断）面截（断
14、）面截交线截交线截交线的特性：截交线的特性：1.截交线是闭合的平面截交线是闭合的平面曲线曲线;2.截交线是曲面立体的截交线是曲面立体的表面与截平面公有的线。表面与截平面公有的线。求截交线的方法求截交线的方法:曲线是由无数个点组曲线是由无数个点组成的。因此成的。因此,只要求出只要求出足够的公有点，依次连足够的公有点，依次连成光滑曲线，即求得截成光滑曲线，即求得截交线。交线。1.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交 平面平行轴线平面平行轴线平面垂直轴线平面垂直轴线平面倾斜轴线平面倾斜轴线平面平行轴线平面平行轴线平面垂直轴线平面垂直轴线平面倾斜轴线平面倾斜轴线平面与圆柱相交截交线的投影图平面与圆柱相交截
15、交线的投影图 PV平面平行轴线平面平行轴线矩形矩形PV平面垂直轴线平面垂直轴线圆圆平面倾斜轴线平面倾斜轴线椭圆椭圆PVPV1PV2PV312(3)132132【例题例题】求圆柱被平面所截后的求圆柱被平面所截后的H H和和W W投影。投影。【例题例题】已知圆柱被正垂面已知圆柱被正垂面P P所截所截,求截交线。求截交线。PV圆柱截交线的求作主要圆柱截交线的求作主要:1.利用曲面定点的概念；利用曲面定点的概念；2.利用圆柱的积聚性。利用圆柱的积聚性。aabc(d)bdcadcb12344321(2)1(4)3DCAB特殊点特殊点一般点一般点分析分析 1.有三个截平面有三个截平面截曲面体。截曲面体。2
16、.P P截平面与圆截平面与圆柱轴线垂直，柱轴线垂直，Q Q截平截平面与圆柱轴线平行，面与圆柱轴线平行，R R截平面与圆柱轴线截平面与圆柱轴线倾斜倾斜。3.R R截平面平行截平面平行侧投影面，侧投影面，Q Q截平面截平面平行水平投影面，平行水平投影面，R R截平面垂直正投影截平面垂直正投影面。面。PVQVRV【例题例题】求圆柱被平面所截后的求圆柱被平面所截后的H H和和W W投影。投影。PV(c)abbd(e)(d)(e)1(2)f(g)fgh(h)(a)(c)ac21bQVRVhg21f(d)(e)【例题例题】求圆柱被平面所截后的求圆柱被平面所截后的H H和和W W投影。投影。2.2.平面与圆
17、锥相交平面与圆锥相交 P P轴线轴线双曲线双曲线P P轴线轴线圆圆P P切到所切到所有素线有素线椭圆椭圆P P一条素线一条素线抛物线抛物线P P过锥顶过锥顶三角形三角形平面与圆锥相交截交线的投影图平面与圆锥相交截交线的投影图 双曲线双曲线P 轴线轴线PH椭圆椭圆圆圆P 轴线轴线PVP倾斜于轴线倾斜于轴线PVPV抛物线抛物线P 一条素线一条素线PV两条素线两条素线P过锥顶过锥顶【例题例题】求圆锥截交线。求圆锥截交线。解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正平平面面，截截交交线线为为双双曲曲线线；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影已已知知，正正面面投投影影为为双双曲曲
18、线线并并反映实形；反映实形；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点A、C；3 3求出一般点求出一般点B；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。aaacbbbcc【例题例题】完成圆台切割体的完成圆台切割体的H H、W W面投影。面投影。【例题例题】完成圆台切割体的完成圆台切割体的H H、W W面投影面投影。【例题例题】求圆锥截交线求圆锥截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面侧侧平平面面，截截交交线线为为部部分分椭椭圆圆和和梯梯形形的的组组合合；其其水水平平投投影影为
19、为部部分分椭椭圆圆和和直直线线的的组组合合，侧侧面面投投影影为为部部分分椭椭圆圆和和梯梯形形的的组合；组合；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3 3出一般点出一般点、；4 4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交交线线，并并且且判别可见性；判别可见性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。a2314511a232 35445【例题例题】完成圆台切割体的完成圆台切割体的H H、W W面投面投影。影。PV3PV2PV1【例题例题】完成圆台切割体的完成圆台切割体的H H、W W面投影。面投影。PV1PV2PV3 注意：特殊注意：特殊点一个也不点一个也不能少，一般能少，一般点
20、至少有一点至少有一个（对）。个（对）。3.3.平面与圆球相交平面与圆球相交 被平面所截被平面所截交交线线是是 圆圆截平面平行投影面截平面平行投影面投影为投影为圆圆无论怎么截，交线都是圆。无论怎么截，交线都是圆。【例题例题】完成圆球体切割体的完成圆球体切割体的H H、W W面投影。面投影。解题分析：解题分析：1.分析几个分析几个平面切割球平面切割球体；体；2.每个切平每个切平面投影面的面投影面的关系。关系。PH1PH2PH3PH431245(5)321(3)2144221【例题例题】求圆球截交线求圆球截交线解题步骤解题步骤1 1分分析析 截截平平面面为为两两个个侧侧平平面面和和一一个个水水平平面面，截截交交线线为为圆圆弧弧和和直直线线的的组组合合；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影均均为为圆圆弧弧和直线的组合；和直线的组合；2 2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3 3求出各段圆弧求出各段圆弧；4 4判判别别可可见见性性，整整理理轮轮廓线。廓线。33312本本 章章 结结 束束吉林建筑工程学院 制图教研室制图教研室