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1、再保险定价再保险定价孟生旺中国人民大学统计学院1再保险定价面临更大的不确定性：再保险保单是个性化的，而非标准化的损失数据来自于原保险人，可能存在扭曲承保低频高额损失IBNR和个案准备金的进展时间很长对于特定情况，没有唯一正确的再保险定价方法，应该尽可能尝试所有合理的方法。方法选择：取决于再保险人的定价策略、所掌握的信息、保单的复杂性再保险定价的特点再保险定价的特点2期望再保险赔款的计算期望再保险赔款的计算说明说明：以非比例再保险中的事故超赔再保险为例。再保险保费的构成：纯保费和附加保费。与直接保险相比，附加费率所占比重较高。期望再保险赔款的计算方法：已知损失分布的计算方法劳合社比例法（Lloy
2、eds scales)3已知损失分布的计算方法已知损失分布的计算方法假设在某个事故超赔再保险合同中，损失金额 X的分布函数为 F(x)密度函数为 f(x)原保险人的自留额为r假设XN是原保险人承担的赔款，XR是再保险人承担的赔款则原保险人承担的赔款金额的均值为4再保险人对每次事故承担的赔款金额的均值（含零赔款的均值）为再保险人承担的非零赔款的均值为5在再保险公司承担的平均赔款金额的基础上，考虑索赔频率（事故频率）和风险单位的数目，即可得到再保险公司的期望赔款。例例：假设某项业务的赔款金额服从均值为1000元，标准差为1500元的帕累托分布Pareto(a,l)，其密度函数为 事故频率为0.05
3、。如果再保险人和原保险人一起安排了一个事故超赔再保险合同，再保险公司根据合同要求承担超过2000元的损失赔付责任，则再保险人的期望赔款可计算如下。6帕累托分布Pareto(a,l)的分布函数为帕累托分布的期望和方差分别为解得 a=3,l=2600。7再保险人对每次事故承担的期望赔款为：由于事故频率为0.05，故再保险合同的期望赔款为 226.860.05=11.34元。8劳合社比例法劳合社比例法（Lloyeds scales)比较适合财产保险（尾部较短）。事故超赔再保险中各层的期望赔款为 再保险的期望赔款=k 原保险人保费 其中k：再保险期望赔款在原保险人保费中所占百分比。超额赔款因子：超额赔
4、款占总损失金额的百分比。修正因子：为弥补原保险人的费率不足而设定的附加因子。9例例：假设某保险公司火灾保险的赔款金额统计数据如下：赔款金额赔款金额(元元)赔款金额总计赔款金额总计(元元)赔款件数总计赔款件数总计平均赔款金额平均赔款金额(元元)05000640,900754850500010000876,0001207,3001000015000810,0006013,5001500025000440,0002022,0002500035000155,000531,000350005000040,000140,000总计总计2,961,9009603,085练习练习：计算起赔点为5000时的超额
5、赔款（无上限）。注注：超额赔款=总赔款原保险人自留赔款10计算超额赔款计算超额赔款起赔点起赔点(元元)总赔款总赔款金额金额(元元)赔案赔案件数件数自负赔款自负赔款(元元)超额赔款超额赔款(元元)超额赔款占总超额赔款占总赔款百分比赔款百分比02,916,90096002,916,9001005,0002,321,0002061,670,9001,291,00043.5910,0001,445,000862,376,900585,00019.7515,000635,000262,716,900245,0008.2725,000195,00062,916,90045,0001.5235,00040,
6、00012,956,9005,0000.17例例：如果起赔点为5000，原保险人的自负赔款分两部分：5000以内的部分：640900 超过5000以后的部分：50002061030000 自负赔款：1670900 超额赔款29619001670900129100011自留额自留额再保险赔偿限额再保险赔偿限额1M2M3M5M7M无限制无限制0M56.4180.2591.7398.4899.831001M23.8435.3242.0743.4243.592M11.4818.2319.5819.753M6.758.108.275M1.351.527M0.17超额赔款因子超额赔款因子例例：自留额为3M
7、，限额为5M，超额赔款因子 8.27%1.52%=6.75%练习练习：自留额为2M，再保险赔偿限额为7M，超额赔款因子为多少？计算超额赔款因子计算超额赔款因子。令M=500012l如果假定原保险人的平均赔付率为60，为弥补原保险费率的不足而设定的修正因子为1.05，则再保险期望赔款占原保险费的百分比为计算结果见下表。13自留额自留额再保险赔偿限额再保险赔偿限额1M2M3M5M7M无限制无限制0M35.54 50.56 57.79 62.04 62.89 63.00 1M15.02 22.25 26.50 27.35 27.46 2M7.23 11.48 12.34 12.44 3M4.25 5
8、.10 5.21 5M0.85 0.96 7M0.11 例例：自留额为3M，限额为5M，再保险人承担的赔款为总损失金额的 6.75%，那么即：再保险期望赔款应为原保险费的4.25再保险期望赔款在原保险人保费中所占百分比（再保险期望赔款在原保险人保费中所占百分比（k）14再保费的计算再保费的计算平准公式（平准公式（flat rate reinsurance pricing formula)名词说明：名词说明：期望再保险赔款的现值期望再保险赔款的现值：再保险人在未来赔款的期望现值分保佣金分保佣金：属于外部费用，根据再保费的一定比例计算，支付原保险人，但并非必需。如超额赔款再保险，没有分保佣金。经纪
9、人佣金经纪人佣金：属于外部费用，根据再保费的一定比例计算，支付给中介。内部费用内部费用：根据再保费扣除外部费用的余额（实际现金保费）的一定比例计算，随着再保险业务而变化。利润附加率利润附加率：表示为纯再保费的一定比例。如何确定？取决于公司总体的资本收益率和再保险业务的相对风险纯再保费纯再保费：再保险人用于支付赔款、获取利润的保费。注意与通常概念的差异。15公式说明：公式说明：分保佣金和经纪人佣金根据再保费计算，故再保险人的实际现金保费收入再保费（1分保佣金率经纪人佣金率）内部费用根据再保险人的实际现金保费收入计算，故再保险内部费用再保费（1分保佣金率经纪人佣金率）内部费用率纯再保费再保费（1分
10、保佣金率经纪人佣金率）（1内部费用率）纯再保费期望再保险赔款的现值/（1利润附加率）16公式说明：公式说明：利润附加再保费（1分保佣金率经纪人佣金率）（1内部费用率）利润附加率也可以表示为：利润附加纯再保费利润附加率因：纯再保费期望再保险赔款的现值/（1利润附加率）故：利润附加期望再保险赔款的现值/（1利润附加率）利润附加率可见：利润附加是期望再保险赔款的线性函数17例：例：再保险公司的期望赔款=$100,000 再保险利润附加率=20%内部费用率=10%分保佣金率=25%经纪人佣金率=5%18练习：练习：已知：再保险公司的期望赔款成本=$100,000 再保险利润附加率=20%内部费用率=1
11、0%分保佣金率=25%经纪人佣金率=5%计算：纯再保费外部费用内部费用利润附加19参考答案：参考答案：纯再保费=再保险期望赔款/(1利润附加率）=100000/(1 0.2)=125000外部费用=再保费佣金率 =198413（25%+5%)=59524内部费用=再保费（1佣金率）内部费用率 =198413（125%5%)10=13889利润附加=纯再保费再保险利润附加率 =12500020%=25000 或20例例：假设本例的原保费为5,000,000元，则再保险费可以近似表示为原保险费的4（即相应的再保险费为200,000元，略大于前面计算的再保险费198,413元）。练习练习：如果再保费
12、为200,000元，请计算再保险人的利润。再保费扣除外部费用后的余额（实际现金保费）200,000（125%5%）=140,000利润实际现金保费内部费用赔款140,000 13889100,000 26,111再保费通常的表现形式：原保险费的一定比例再保费通常的表现形式：原保险费的一定比例21再保险定价的再保险定价的13个步骤：个步骤：1.收集原保险人在不同风险类别的风险基础（风险单位数）、费用和定价信息。2.计算每个风险单位的期望赔款（或赔付率）计算每个风险单位的期望赔款（或赔付率）。3.收集原保险人在不同风险类别的赔款数据。4.从赔款数据中过滤掉巨灾损失。5.将赔款数据调整到定价日期的水
13、平（如通货膨胀调整）。6.预测最终赔款。7.估计潜在的巨灾损失。8.将历史风险基础调整到定价日期的水平9.根据经验数据估计再保险人的期望赔款（或赔付率）根据经验数据估计再保险人的期望赔款（或赔付率）10.估计信度加权的期望赔款（或赔付率）估计信度加权的期望赔款（或赔付率）11.估计再保险累积赔款的分布12.确定分保佣金率、再保险内部费用率、利润附加率的取值13.与原保险人谈判和交流、最后定价。22损失经验定价和风险基础定价第1、2和12步是基于风险基础的定价（exposure rating）第39步和12步是基于损失经验的定价（experience rating）第1013是最后定价23已知：
14、原保险人的保费 =$100,000原保险人的赔付率=65%费率修正因子=1.05(estimated 5%inadequacy)分保佣金率=30%经纪人佣金率=0%(no broker)再保险人的内部费用率=15%最大可能损失=$10,000,000自留额(Retention，Attachment Point)=$1,000,000再保险限额(Reinsurance Limit)=$4,000,000再保险人的目标利润附加率=10%例：财产临时再保险的定价例：财产临时再保险的定价24因此，在再保险人看来，年度期望损失应为25假设损失 X 服从Censored Pareto分布，即 注意：X 表
15、示为最大可能损失MPL（Maximum Possible Loss）的百分比形式。设再保险赔款额为Y，其中约定自留额1,000,000，最高再保险赔偿额为4,000,000，则26回忆pareto分布的性质分布函数密度期望回忆“Censored pareto”分布的性质27假设参数为：b=0.1,q=2，则每次事故的期望损失为（表示为MPL的比例。如果没有限额，则相当于比例限额为100）因此，每次事故的期望损失=0.090910,000,000=909,000注：最大可能损失MPL=$10,000,00028类似地，可计算当免赔额为0，最大赔偿限额为1,000,000元时，再保险人对每次事故的
16、期望赔款（相当于10的比例限额）：对每次事故的期望赔款额为0.0510,000,000=500,000假设免赔额为0，限额为5,000,000（相当于50的比例限额），请验算：EX 0.5=0.0833，故对每次事故的期望赔款额为 833,00029超额赔款因子是再保险期望赔款占期望损失额的比因此再保险人的期望赔款3031其他指标的计算：其他指标的计算：3233保单的定价期=2001风险类型=公众责任保险每次事故的赔偿限额=$2,000,000,不累积使用原保险人的保费=$550,000(对 2001年保费的估计)基本限额保费$100,000 limit=$200,000 (estimated
17、 for 2001)原保险人的赔付率=70%(不包含间接理赔费用）起赔点(attachment point)=$500,000再保险限额(reinsurance limit)=$1,500,000例：责任临时再保险的定价例：责任临时再保险的定价34ALAE 按比例分配到超额赔款分保佣金率=25%经纪人佣金率=5%内部费用附加率=15%再保险人的利润费加率=20%经验期1995 1999,其中信息包括风险单位、基本限额和总限额保费、基本限额赔款以及每个索赔超过$100,000的损失事件的详细历史信息。35l假设l基本限额定价充分（费率修正因子=1.0）l分摊ALAE使得再保险人的超额赔款增加10
18、l折现因子是0.8l故超额赔款因子=(2.42641.9077)1.10 36应用经验定价法应用经验定价法：3738定价期=2001所有财产保险业务的分保比例为25%原保险人承保保费估计值$1000万每次事故的再保险赔偿限额$750万 预付分保佣金率=35%再保险经纪人佣金率=0%(no broker)例：财产成数合约再保险的定价例：财产成数合约再保险的定价39定价步骤：定价步骤：Setp1：收集原保险人在不同风险类别的风险基础（风险单位数）、费用和费率信息。风险类别：可以是年度报表中的业务类别，也可以进一步细化风险基础：用原保险人的承保保费表示。在本例中，需搜集19952000年6月30日的
19、承保保费，以及2000和2001承保保费的估计值。费用：来自原保险人的 Insurance Expense Exhibit费率：来自原保险人的承保手册（underwriting line guide)40Step 2：计算每个风险单位的期望赔款（或赔付率）。对于比例再保险而言，计算每个风险单位的期望赔款，事实上是对原保险费率的充足性进行评估，从而得到期望赔付率的估计值。在承保时，可以把原保险人的费率与其他保险人的费率进行比较，或者应用再保险人的数据进行评估。在上述基础上，分析分保佣金对双方是否合适。例：假设经过分析，我们得到的期望赔付率为65。显然，在这种情况下，再保险人不会接受35的分保佣金
20、率。41Step 3 收集原保险人在不同风险类别的赔款数据。赔款数据：不同风险类别的赔款数据（过去510个保单年度 的累积赔款，以及每次巨灾损失的数据）直接理赔费用（ALAE）数据例：在本例中，应该搜集不同业务类别19952000保单年度的累积赔款数据，以及每次巨灾的赔款数据。42Step 4:从赔款数据中过滤掉巨灾损失。Step 5:将赔款数据调整到定价日期的水平（如考虑通货膨胀，保单限额的变化）。Step 6:应用赔款进展法，预测最终赔款。Step 7:估计潜在的巨灾损失（数据有限，难度大）。例：原保险公司的数据中可能不包含安德鲁飓风、911事故等损失。假设：在本例中，期望巨灾赔付率是12
21、。（表示为原保险人保费的百分比，同时考虑了每次事故750万的再保险限额）43Step 8:将历史风险基础（承保保费）调整到定价日期的水平例：考虑保费调整，可以用平行四边形方法。Step 9:根据经验数据估计再保险人的期望赔款（或赔付率）过滤巨灾损失后的再保险赔付率为48（见下页）。假设巨灾赔付率12故再保险的经验赔付率为 48 12 6044过滤巨灾后的赔付率19,277/40,000 48（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）保单年原保险人等水平已赚保费赔款巨灾过滤巨灾后的赔款赔款进展因子最终赔款(5)/(6)赔付率(7)/(2)19957,0003,4725122,96012,9
22、6042%19967,5004,1164033,71313,71350%19978,0004,7721884,5841.014,63058%19988,5004,8551,2863,5691.053,74744%19999,0004,1446223,5221.24,22747%20004,7501,00075925n.a.n.a.n.a.合计$40,000$21,359$3,011$18,348 n.a.$19,277 48%注:35 栏 是在2000年6月30日的评估值。45Step 10:估计信度加权的期望赔款（或赔付率）。例：2001年再保险的经验赔付率为60，根据风险基础计算的赔付率为
23、65。这两个赔付率的加权平均（假设为62）即为期望赔付率的最终估计值。Step 11：估计再保险累积赔款的分布和其他分布（如赔款支付延迟时间的分布）。Step 12：确定分保佣金率、再保险内部费用率、利润附加率的取值。46 假设经过分析，分保人提出了33的分保佣金率，再保险人是否可以接受？分析分析：分保后的现金收入假设内部费用为$50,000，则内部费用率为47再保险人的期望赔款为（赔付率再保费，再保险费是原保费的25）再保险人的期望利润为（纯再保费期望赔款）（足够吗？）假设再保险人的利润附加率=8，则再保险人的目标利润附加为（纯再保费）48如果进一步假设原保险人在2001年末的未赚保费准备
24、金为承保保费的40%，则再保险人在年末要向原保险 人释放盈余（surplus relief）：（利率7，分保佣金33，分保比例25）故再保险人总的目标利润附加目标利润附加与期望利润的差额结论：分保佣金率偏高。49回到回到 step11：估计再保险赔付率的分布。例：可以从历史数据出发估计二阶矩。在本例中，过滤巨灾后的赔付率，样本均值为48，标准差为6.1。对于巨灾损失赔付率，假设均值为12，标准差为13.9。假设两种损失是独立的，再保险费是常数，则考虑浮动佣金率（即佣金率随着再保险赔付率而变化）考虑浮动佣金率（即佣金率随着再保险赔付率而变化）是否可行：是否可行：50 如果进一步假设再保险赔付率服
25、从伽玛分布，均值为62%，方差为2.29%，则由此可以求得再保险赔付率的完整分布。（见下下页表）。51重新进行重新进行step12:确定分保佣金率、内部费用率和再保险人的利润附加率。内部费用率和再保险利润附加率由前面已知。浮动佣金（sliding scale commission）：再保险人首先向原保险人预付的佣金（provisional commission）。当再保险人取得利润达到一定程度时，再保险人将支付追加佣金（additional commission）当再保险人亏损时，原保险人将归还部分预付佣金。浮动佣金率的计算公式（下页）52浮动佣金的计算公式：浮动佣金的计算公式：其中：预付佣金
26、率=33%浮动比例=50%再保险人利润附加率=5%最低佣金率=25%最高佣金率=35%显然，分保佣金与再保险人的赔付率有关。53如果假设再保险赔付率服从伽玛分布，均值和方差等于前述的估计值（均值为62%，方差为2.29%）。则再保险人的期望利润如下表所示：54再保险赔付率再保险赔付率概率概率分保佣金率分保佣金率再保险利润再保险利润20%0.0200%35.00%$1,074,750 25%0.1750%35.00%949,75030%0.8050%35.00%824,75035%2.3600%35.00%699,75040%5.0150%35.00%574,75045%8.3100%35.00
27、%449,75050%11.3250%35.00%324,75055%13.1650%35.00%199,75060%13.4250%34.00%99,75065%12.2700%31.50%37,25070%10.2100%29.00%-25,25075%7.8400%26.50%-87,75080%5.6100%25.00%-175,25085%3.7750%25.00%-300,25090%2.4050%25.00%-425,25095%1.4600%25.00%-550,250100%0.8450%25.00%-675,250105%0.4750%25.00%-800,250110%0
28、.2550%25.00%-925,250115%0.1350%25.00%-1,050,250120%0.0650%25.00%-1,175,250125%0.0350%25.00%-1,300,250130%0.0150%25.00%-1,425,250135%0.0050%25.00%-1,550,250140%0.0050%25.00%-1,675,250145%0.0000%25.00%-1,800,250150%0.0000%25.00%-1,925,250期望利润期望利润$108,502 55Step 13:与原保险人进行谈判和交流，最后定价。从上表得出的结论从上表得出的结论：期望利润（108502）仍然小于目标利润附加（153080）56