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1、第五节 函数的微分一、微分的定义一、微分的定义二、微分公式与运算法则二、微分公式与运算法则三、微分的意义与应用三、微分的意义与应用一、微分的定义一、微分的定义1、引例、引例 ：一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由其边长由 x0 变到变到 x0+x,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为设薄片边长为 x,面积为面积为 A,则则当当 x 在在 x0 取得增量取得增量 x时时,面积的增量为面积的增量为再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否
2、是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定义、微分的定义定义定义3、可微的条件、可微的条件定理定理证证(1)必要性必要性(2)充分充分性性解解例例2 2几点说明：几点说明：(微分的实质微分的实质)二、微分的求法二、微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.例如例如1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 P1132.函数线性组合、积、商的微分法则函数线性组合、积、商的微分法则 P1133、复合函数的微分、复合函数的微分一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性结论结论：一阶微分形式的不变性一阶微分形式的
3、不变性例例1 1解法一解法一解法二解法二例例2 2解解例例3例例4例例5 5在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.练习：练习：(C为任意常数为任意常数)(C为任意常数为任意常数)说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意:数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.例例6 6解解在等式左端的括号中填入适当的函数在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式使等式成立成立.三、三、微分的意义与应用微分的意义与应用MNT）1、微分的、微分的几何意义几何意义 P(如图如图)2、近似
4、计算、近似计算得近似公式得近似公式（f(x)在在 x=x0 处的处的一次近似式一次近似式或或线性逼近线性逼近）或或使用原则使用原则:工程技术上常用的五个一次近似式，在课本工程技术上常用的五个一次近似式，在课本116页页,还有该页还有该页例例7请同学们自己看。请同学们自己看。例例1例例2例例2解解 设设取取则则四、小结四、小结1、微分的概念、微分的概念2、导数与微分的联系、导数与微分的联系:3、微分运算法则、微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性:4 4、微分的应用、微分的应用 近似计算近似计算(u 是自变量或中间变量均可是自变量或中间变量均可)1.设函数设函数的图形如下的图形如下,试在图中标
5、出的点试在图中标出的点处的处的及及并说明其正负并说明其正负.思考与练习思考与练习解解说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念不同的概念.补充说明：补充说明：1、微分学所要解决的两类问题、微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.2、导数与微分的区别、导数与微分的区别:练练 习习 题题练习题答案练习题答案解解例例3