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1、一元二次方程基本知识一元二次方程基本知识Introduction 一一 定义定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做次的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程(quadratic equation of one variable)二 特点特点（1）含有一个未知数；）含有一个未知数；（2）且未知数次数最高次数是）且未知数次数最高次数是2；（3）是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否）是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理
2、为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程里面要有的形式，则这个方程就为一元二次方程里面要有等号，且分母里不含未知数。等号，且分母里不含未知数。（4）将方程化为一般形式：）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（时，应满足（a、b、c为常数，为常数，a0）三三 编辑本段补充说明编辑本段补充说明1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)2、该部分是高考的热点。、该部分是高考的热点。3、方程的两根
3、与方程中各数有如下关、方程的两根与方程中各数有如下关系：系：X1+X2=-b/a，X1X2=c/a（也称韦达定理）（也称韦达定理）4、方程两根为、方程两根为x1，x2时，方程为：时，方程为：x2-(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得根据韦达定理逆推而得)5、在系数、在系数a0的情况下，的情况下，b2-4ac0时有时有2个不相等的实数根，个不相等的实数根，b2-4ac=0时有两个相等的实数根，时有两个相等的实数根，b2-4ac0时无实数根时无实数根。Introduction 四四 、基本公式、基本公式 一般式一般式 ax2+bx+c=0（a、b、c是实数，是实数，a0)例如：例如
4、：x2+2x+1=0配方式配方式a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 两根式（交点式）两根式（交点式）a(x-x1)(x-x2)=0 一般解法一般解法 五、主要方法五、主要方法1.分解因式法分解因式法（可解部分一元二次方程）（可解部分一元二次方程）因式分解法又分因式分解法又分“提公因式法提公因式法”、“公式法（又分公式法（又分“平方差公式平方差公式”和和“完全平方公式完全平方公式”两种）两种）”和和“十十字相乘法字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完的内容在八年级上学期学完 。Introd
5、uction如如1.解方程：解方程：x2+2x+1=0 解：利用完全平方公式因式解得：解：利用完全平方公式因式解得：（x+1 2=0 解得：解得：x?=x?=-1 2.解方程解方程x（x+1）-3（x+1）=0 解：利用提公因式法解得：（解：利用提公因式法解得：（x-3）（）（x+1）=0 即即 x-3=0 或或 x+1=0 x1=3，x2=-1 3.解方解方程程x2-4=0 解：（解：（x+2）（）（x-2）=0 x+2=0或或x-2=0 x?=-2，x?=2 十字相乘法公式：十字相乘法公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：例：1.ab+b2+a-b-2=ab+a+b2-b
6、-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)2.公式法公式法（可解全部一元二次方程）（可解全部一元二次方程）首先要通过首先要通过=b2-4ac的根的判别式的根的判别式来判断一元二次方程有几个根来判断一元二次方程有几个根 1.当当=b2-4ac0时时 x有两个不相同的实数根。有两个不相同的实数根。Introduction 3、配方法、配方法（可解全部一元二次方程）（可解全部一元二次方程）如：解方程：如：解方程：x2+2x3=0 解：把常数解：把常数项移项得：项移项得：x2+2x=3 等式两边同时加等式两边同时加1（构成完全平方式）得：（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4
7、 因式分解得：（因式分解得：（x+1)2=4 解得：解得：x1=-3,x2=1 用配方用配方法解一元二次方程小口诀法解一元二次方程小口诀 二次系数化为一二次系数化为一 常数要往右边移常数要往右边移 一次一次系数一半方系数一半方 两边加上最相当两边加上最相当 4、开方法、开方法（可解部分一元二次方程）（可解部分一元二次方程）如：如：x2-24=1 解：解：x2=25 x=5 x?=5 x?=-5 5、均值代换法、均值代换法（可解部分一元二次方程）（可解部分一元二次方程）ax2+bx+c=0 同时除以同时除以a，得到，得到x2+bx/a+c/a=0 设设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a
8、)-m(m0)根据根据x1*x2=c/a 求得求得m。再求得再求得x1,x2。如：如：x2-70 x+825=0 均值为均值为35，设，设x1=35+m，x2=35-m(m0)x1*x2=825 所以所以m=20 所以所以x?=55，x?=15。Introduction 六、小结六、小结 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。为正数。直接开平方法是最基本的方法。直接开平方法是最基本的方法。公式法
9、和配方法是公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在二次方程了，所以一般不用配方法解
10、一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。法，待定系数法）。Introduction 七、教学分析七、教学分析 一、教学内容分析一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式”一节，在华一节，在华师大版的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较师大版的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数
11、学中占有重要的地位，既可以根据它来判简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简
12、洁美。学思想，渗透数学的简洁美。教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。Introduction 八、教学目标八、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是：目标是：知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的
13、根的判别式，通常用符号别式，通常用符号 列一元二次方程解题的步骤列一元二次方程解题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；一元二次方一元二次方程程 (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答检验所求的答案是否符合题意，并做答 Introduction 九、九、经典例题精讲经典例题精讲1对有关一元二次方
14、程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为不要忽视二次项系数不为0 2解一元二次方程时，根据方程特解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法再考虑用公式法 3一元二次方程一元二次方程(a0)的根的判别式正反都的根的判别式正反都成立利用其可以成立利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的根据参系数的性质确定根的范围；性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题解与根有关的证明题 4一元二次方程一元二次方程根与系数的应用很多：根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程程 Thank You!石佳佳石佳佳