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1、第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程一一 平面方程的各种形式平面方程的各种形式二二 直线方程的各种形式直线方程的各种形式三三 平面直线间的夹角及相互关系平面直线间的夹角及相互关系1 1第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数 如果一非零向量垂
2、直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的平面，这向量就叫做该平面的法向量法向量法向量的特征：法向量的特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知平面的法向量为已知平面的法向量为设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有1 1 平面方程的点法式平面方程的点法式且过点且过点一一 平面方程的各种形式平面方程的各种形式2 2第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不
3、在平面上的点都不满足平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点3 3第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得例例1 1求过三点求过三点和和的平面方程的平面方程.4 4第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七
4、章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量5 5第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解例例2 2 求过点求过点，且垂直于平面，且垂直于平面和和的平面方程的平面方程.6 6第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方
5、程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数平面一般方程的几种特殊情况平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.7 7第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设平面为设平面为由平面过原
6、点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解例例3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点且与平面且与平面垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.由平面过点由平面过点知知8 8第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解例例4 4 设平面与设平面与三轴分别交于三轴分别交于（其中（其中求此平面方程求此平面方程.代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程轴上截距轴上截距轴上截距
7、轴上截距轴上截距轴上截距9 9第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得解解例例5 5 求平行于平面求平行于平面坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.而与三个而与三个代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为1010第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章
8、章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间直线可看成不平行两平面的交线空间直线可看成不平行两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程二二 直线方程的各种形式直线方程的各种形式1111第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数 如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量
9、方向向量/2 空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程设直线过点设直线过点方向向量为方向向量为为直线上任意一点为直线上任意一点直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式）（点向式）（标准式）（标准式）直线的一组直线的一组方向数方向数1212第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数令令方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例6 求过两点求过两点的直线方程。的直线方程。
10、解解所求直线的方向向量为所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为直线两点式方程直线两点式方程1313第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例7 7 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程1414第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方
11、程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程例例8 8 一直线过点一直线过点且和且和轴垂直相交，轴垂直相交，求其方程求其方程.因为直线和因为直线和轴垂直相交轴垂直相交,或或1515第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹
12、角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.1 1 两平面间的夹角两平面间的夹角三三 平面直线间的夹角及相互关系平面直线间的夹角及相互关系1616第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/特别特别与与重合重合1717第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空
13、空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例9 9 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角1818第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面重合两平面重合.解解解解1919第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解
14、解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解例例9 9 设设是平面是平面外一点，求外一点，求到平面的距离到平面的距离.2020第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数点到平面距离公式点到平面距离公式2121第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数直线直线直线直
15、线两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（锐角）两直线的夹角为两直线的方向向量的夹角（锐角）.两直线的夹角公式两直线的夹角公式2 2 两直线的夹角两直线的夹角2222第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数两直线的位置关系两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，2323第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向
16、向向量量量量代代代代数数数数解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程例例10 10 求过点求过点且与两平面且与两平面和和的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.2424第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角称为直线称为直线直线和它在平面上的投影直线的夹角直线和它在平面上的投影直线的夹角与平面的夹角与平面的夹角或或2525第五节第五节第五节第五
17、节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系位置关系：/2626第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解为所求夹角为所求夹角例例11 11 设直线设直线平面平面求直线与平面的夹角求直线与平面的夹角.2727第五节第五节第五节第五节 平面与
18、直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解令令例例12 12 求过点求过点且与直线且与直线垂直相交的直线方程，并求点垂直相交的直线方程，并求点到直线到直线的距离。的距离。先作一过点先作一过点且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点2828第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量
19、代代代代数数数数代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为点点到直线到直线的距离的距离2929第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数设直线设直线的一般式方程为的一般式方程为其中系数其中系数与与不成比例。不成比例。对于任意对于任意常数常数建立三元一次方程：建立三元一次方程：或或4 平面束方程平面束方程3030第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线
20、方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数由于系数由于系数与与不成比例，不成比例，所以所以对任意常数对任意常数不同时为不同时为零，零，因此方程因此方程(3)(3)表示一个平面。表示一个平面。又由于满足又由于满足的方程的方程的点必满足此平面方程，的点必满足此平面方程，因此方程因此方程(3)(3)一定通过直线一定通过直线的平面。的平面。反之，通过直线反之，通过直线的平面（除的平面（除(2)(2)外）都包含外）都包含在在(3)(3)所表示的一族平面中。所表示的一族平面中。通过定直线的所有平面的通过定直线的所有平
21、面的全体称为全体称为平面束平面束，而方程而方程(13)(13)称为通过直线称为通过直线 的的平面平面束方程束方程。3131第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例1313求过直线求过直线和点和点的的平面方程。平面方程。解法一解法一将直线方程化为标准式将直线方程化为标准式所以已知直线的方向向量为所以已知直线的方向向量为且过点且过点因此所求平面的法向量为因此所求平面的法向量为3232第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面
22、与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数所以所求平面方程为所以所求平面方程为即即解法二解法二过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为所求平面过点所求平面过点所以所以所求平面方程为所求平面方程为3333第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例1414求直线求直线在平面在平面上的投影直线方程。上的投影直线方程。解解 所求直线在与已知平面垂直的平面上，所求直线在与已知平面垂直的平面上，和已知平面垂直，和已知平面垂直，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，过已知直线且与已知平面垂直的平面方程，首先求首先求过已知过已知直直线的平面束方程为线的平面束方程为即即3434第五节第五节第五节第五节 平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程平面与直线方程第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数所求直线方程为所求直线方程为因此因此3535