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1、 高等代数北大版第章习题参考答案 Revised as of 23 November 2020 第六章 线性空间 1.设,NM 证明：,MNM MNN。证 任取,M由,NM 得,N所以,NM 即证MNM。又因,MNM故MNM。再证第二式，任取M或,N但,NM 因此无论哪 一种情形，都有,N此即。但,NMN所以MNN。2.证明)()()(LMNMLNM，)()()(LMNMLNM。证),(LNMx则.LNxMx且在后一情形，于是.LMxNMx或所以)()(LMNMx，由此得)()()(LMNMLNM。反之，若)()(LMNMx，则.LMxNMx或 在前一情形，,NxMx因此.LNx故得),(LN
2、Mx在后一情形，因而,LxMxxNL，得),(LNMx故),()()(LNMLMNM 于是)()()(LMNMLNM。若xMNLMNL（），则x，x。在前一情形 XxMN，XML且，xMN因而（）（M L）。,NLxMNXMLMNMMNMN在后一情形，x,x因而且，即X（M N）（M L）所以 （）（M L）（N L）故 （L）=（）（M L）即证。3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于 n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设 A是一个 nn 实数矩阵，A的实系数多项式 f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反
3、对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112babaabba ak kba1111（a，）（，）（）k。（a，）=（ka，kb+6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：0k a；7）集合与加法同 6），数量乘法定义为：k aa；8）全体正实数 r，加法与数量乘法定义为：abab，kk aa；解 1）否。因两个 n 次多项式相加不一定是 n 次多项式，例如 523nnxx（）（）。2）令 V=f（A）|f（x）为实数多项式，A是 nn 实矩阵 因为
4、 f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x）所以 f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条，故 v 构成线性空间。3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的 18条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明：当 A，B为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有 （A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。KAKAKAKA（）（）（），所以 kA 是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集
5、合。5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，2a-b）。对于数乘：222222221(1 1)111)(,),2(1)(1)(1).(.(,).(,)(,2()222(1)(1)(1)(1)(,()(,()2222(1)(,)().(,),2(ababaa bl ll lk kk l a bk la lbakla k lbalal lk kkl klk kkla k lbalaklaalakl klklaaklbkla b。（，）（。，。2222222()(1).(,)(),()2(1)(1).(,).(,)(,)(,22(1)(1)(,)2
6、2(1)(1)(),().2kl klkla bkl aakl bk kl lk a bl a bka kbala lbak kk kkala kbaaklakklkl aakl b 即),(),(),()(balbakbalk。),(),(),(2121212211aabbaakbabak)(2)1(),(221212121aakkaabbkaak，),()(221,1bakbak)2)1(,()2)1(,(22222111akkkbkaakkkbka)2)1(2)1(,(21222221121aakakkkbakkkbkaka)2)1(2)1()(),(212122221212121aak
7、aakakkakkaabbkaak)(2)1()(),(22221212121aakkaabbkaak，即),(),(2211babak),()(221,1bakbak，所以，所给集合构成线性空间。6）否，因为.01。7）否，因为)()()(,2,)(lklklklk所以，所给集合不满足线性空间的定义。8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 1);)()()()();)111;1111):1,1;)1;)()()()();)()()();)()llklkklk lkli ababbabaii abcabcabcabcabciiiaaaiv aaaaaaaavaaavi kl a
8、kaaaaklavii klaaaakalaviii kab 是零元：的负元是且()()()().kkkkababa bk ak b 所以，所给集合R构成线性空间。4 在线性空间中，证明：1）00 k 2）kkk)(。证 1）00)()1()()(0kkkkkkkk。2）因为()(),()kkkkkkk所以。5 证明：在实函数空间中，1，tt2cos,cos2式线性相关的。证 因为1cos22cos2tt，所以 1，tt2cos,cos2式线性相关的。6 如果)(),(),(321xfxfxf是线性空间xP中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数321
9、,kkk使0)()()(332211xfkxfkxfk，不妨设,01k则)()()(3132121xfkkxfkkxf，这说明)(),(32xfxf的公因式也是)(1xf的因式，即)(),(),(321xfxfxf有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321xfxfxf线性无关。7 在4P中，求向量在基4321,下的坐标。设 1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321。解 1）设有线性关系4321dc
10、ba，则1121dcbadcbadcbadcba，可得在基4321,下的坐标为41,41,41,45dcba。2）设有线性关系4321dcba，则103002dbadbdcbacba，可得在基4321,下的坐标为0,1,0,1dcba。8 求下列线性空间的维数于一组基：1）数域 P 上的空间 Pnn；2）Pnn中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域 P 上的空间；3)第 3 题 8)中的空间;4)实数域上由矩阵 A的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012231i。解 1)nnP的基是),.,2,1,(njiEij且2dim()n nPn。2)i)令 .1.1.ijF，即,1
11、jiijaa其余元素均为零,则nnnnFFFFF,.,.,.,222,111 是对称矩阵所成线性空间nM 的一组基,所以nM是2)1(nn维的。ii)令 .1.1.ijG，即),(,1jiaajiij其余元素均为零,则nnnnGGGGG,1223,112,.,.,.,是反对称矩阵所成线性空间nS的一组基,所以它是2)1(nn维的。iii)nnnnEEEEE,.,.,.,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2)1(nn维的。3)任一不等于 1 的正实数都是线性无关的向量,例如取 2，且对于任一正实数a,可经 2 线性表出，即.2)(log2aa,所以此线性空间是一维的，且 2
12、是它的一组基。4)因为231i,13,所以23,13,3,12qnqnqnn，于是EAA111,1322，而23,13,3,2qnAqnAqnEAn。9.在4P中,求由基,1，,432到基4321,的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标。设 1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114321，3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321，4321,xxxx在4321,下的坐标；1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,124321，2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24321，0,0,0,1在,1,432下的坐标；1,1,1,11
13、,1,1,11,1,1,11,1,1,134321，1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,14321，1,0,0,1在4321,下的坐标；解 1（4321,）=（,1,432）3101121163316502=（,1432,）A 这里 A 即为所求由基,1,432到4321,的过渡矩阵，将上式两边右乘得1，得 （,1432,）=（4321,）1，于是 （,1432,）4321xxxx=（4321,）14321xxxx，所以在基下的坐标为 14321xxxx，这里1=272631912773200312723319427191113194。2令)1,0,0,0(),0,1,0,0
14、(),0,0,1,0(),0,0,0,1(4321eeee则（,1432,）=(43,21,eeee)1110011112121111=(43,21,eeee)A，（4321,）=(43,21,eeee)2221112031111202=(43,21,eeee)B，将(43,21,eeee)=（,1432,）1A代入上式,得（4321,）=（,1432,）1AB，这里 1=138137132133131134133132134133131135135136133133,1AB=0100111010111001，且BA1即为所求由基,1,432到基4321,的过渡矩阵，进而有 0,0,0,1=(
15、43,21,eeee)0001=（,1432,）1A0001 =（,1432,）133132135133，所以在,1432,下的坐标为133,132,135,133。343,21,eeee同2，同理可得 A=,1111111111111111B=1011103011110121 1=41,1111111111111111 则所求由,1432,到4321,的过渡矩阵为 1B=410414141043414321414141214743。再令1a+b2+c3+d4，即 1110001113121011,0,0,0,14321dcbadcba，由上式可解得在下的坐标为4321,下的坐标为 dcba,
16、23,421,21a。10继第 9 题 1）求一非零向量，它在基,1432,与4321,下有相同的坐标。解 设在两基下的坐标为4,321,xxxx，则 =（,1432,）4321xxxx=（4321,）4321xxxx。又因为 （4321,）=（,1432,）3101121163316502=（,1432,）A，所以 4321xxxx=A4321xxxx（A-E）4321xxxx=0。又 0101111321,02101111163216501且EA，于是只要令就有,4cx cxxcxxxcxxx263231321321，解此方程组得 4,321,xxxx=cccc,(c为任意非零常数)，取
17、c为某个非零常数0c，则所求为 40302010cccc。11.证明：实数域作为它自身的线性空间与第 3题 8）中的空间同构。证 因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同构。12.设12,V V都是线性空间V的子空间，且12VV，证明：如果1V的维数与2V的维数相等，那么12VV。证 设 dim(1V)=r，则由基的扩充定理，可找到1V的一组基,.,21raaa，因21VV，且它们的唯数相等，故,.,21raaa，也是2V的一组基，所以1V=2V。13nnPA。1）证明：全体与可交换的矩阵组成的一个子空间，记做C（A）；2）当 A=E时，求 C（A）；3）当 A=n.21时，求C（A）的维数和
18、一组基。证 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为C(A)。若 B,D属于 C(A)，可得 A(B+D)=AB+AD=BA+DA=(B+D)A，故 B+DC(A)。若 k是一数，B)(AC，可得 A（kB）=k(AB)=k(BA)=(kB)A，所以 kBC(A)。故 C(A)构成nnP子空间。2）当 A=E时，C（A）=nnP。3）设与 A可交换的矩阵为 B=（ijb），则 B只能是对角矩阵，故维数为n,nnEEE,.,2211即为它的一组基。14.设求中全体与可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。解 若记 A=SE 113000000100010001，并设 B=222111cbacbacba
19、与 A可交换，即 AB=BA，则 SB=BS。且由 SB=222111113000000cbacbacba212121333000000cccbbbaaa，BS=222111cbacbacba113000000=222111333ccccccccc，可是01 cc，又 221221333cbbbcaaa，即212212333bbbcaaac，该方程组的系数矩阵的秩为 2，所以解空间的维数为 5。取自由未知量a,2c，并 令 b=1，其余为 0，得2c=3,a=3;令1a=1，其余为 0，得2c=3,a=31;令1b=1，其余为 0，得2c=1,a=1;令2a=1，其余为 0，得2c=0,a=3
20、1;令2b=1，其余为 0，得2c=1,a=1;则与 A可交换的矩阵为 B=2221100cbababa，其中,a,2c可经 b,2121,bbaa表示,所求子空间的一组基为 300000013,0000010031 ,100010001,0010000031 ,110000001，且维数为 5。15如果,0321ccac且031cc，证明：L,a=L,。证 由031cc，知,01c所以 a可,经线性表出，即,可经,线性表出，同理，,也可经,线性表出。故 L,a=L,。16在4P中，求由下面向量组生成的子空间的基与维数。设 1）)1,1,1,1()0,3,1,1()1,0,2,1(1,3,1,
21、24321aaaa ，)1,3,5,1()1,3,5,4()1,3,1,1(1,3,1,24321aaaa 。解 1）4321,aaaa的一个极大线性无关组421,aaa，因此421,aaa为L4321,aaaa的一组基，且的维数是 3。2）4321,aaaa的一个极大线性无关组为21,aa，故21,aa是 L4321,aaaa的一组基，且维数为 2。17在4P中，由齐次方程组 0111353033304523432143214321xxxxxxxxxxxx 确定的解空间的基与维数。解 对系数矩阵作行初等变换，有 00007830452378307830452311135333134523 所
22、以解空间的维数是2，它的一组基为 0,1,38,911a，1,0,37,922a。18.求由向量12,生成的子空间与由向量12,生成的子空间的交的基与维数，设 1）1,1,1,10,1,2,121aa 7,3,1,11,0,1,221；2）1,1,0,10,0,1,121aa 0,1,1,01,1,0,021；3）)1,1,0,1()1,1,1,3(2,1,2,1321aaa 3,7,2,15,6,5,221。解 1）设所求交向量 1k12k21l12l2，则有 1k12k21l12l20，即 0703020221222121212121llklkkllkkllkk，可算得7110301111
23、121211D0，且0111122110，因此方程组的解空间维数为 1，故交的维数也为 1。任取一非零解(,21kk,1l)2l)1,3.,4,1(，得一组基 )4,3,2,5(421，所以它们的交 L)(是一维的，就是其一组基。2）设所求交向量 1k12k21l12l2，则有 0000122122121lkllklkkk，因方程组的系数行列式不等于 0，故方程组只有零解，即,02121llkk从而 交的维数为 0。3）设所求交向量为 1k12k21l12l2，即 035207602520232132121321212121321llkkkllkkkllkkllkkk，由03112711120
24、121131 知解空间是一维的，因此交的维数是 1。令,11l，可得02l，因此交向量12211ll就是一组基。19 设1V与2V分别是齐次方程组nnnxxxxxxx12121.,0.的解空间，证明：.21VVPn 证 由于0.21nxxx的解空间是你 n1 维的，其基为)1,.,0,0,1(),.,0,.,1,0,1(),0,.,0,1,1(121n而由 nnxxxx121.知其解空间是 1 维的，令,1nx则其基为).1,.,1,1(且,.,121n即为nP的一组基，从而.21VVPn又)dim()dim()dim(21VVPn，故.21VVPn。20 证明：如果,1211121VVVVV
25、V那么 21211VVVV。证 由题设知,21211VVVV 因为,21VVV所以 )dim()dim()dim(21VVV，又因为,12111VVV 所以 ),dim()dim()dim(12111VVV 故)dim()dim()dim()dim(21211VVVV，即证21211VVVV。21.证明：每一个 n 维线性空间都可以表示成 n 个一维子空间的直和。证 设n,.,21是 n维线性空间 V的一组基。显然)(),.,(),(21nLLL都是 V的一维子空间，且 ),.,()(.)()(2121nnLLLLV，又因为 )dim()(dim(.)(dim()(dim(21VLLLn，故)
26、(.)()(21nLLLV。22证明：和siiV1是直和的充分必要条件是11ijjiVV 0(2,.,)is。证 必要性是显然的。这是因为0111jjiijjiVVVV，所以 11ijjiVV 0。充分性 设siiV1不是直和，那么 0向量还有一个分解s.021，其中(1,2,.,)jjVjs。在零分解式中，设最后一个不为0 的向量是),(skk 则kk121.0，即 kk121.，因此,11,kkkjjkVV，这与011kjjkVV 矛盾，充分性得证。23.再给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量天添上零向量构成 一个三维线性空间 R3。1）问所有终点都在一个平面上的向量是否
27、为子空间？2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间,321LLL 问32121,LLLLL能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来;3）就用该三维空间的例子来说明，若 U,V,X,Y是子空间，满足 U+VX，XY，是否一定有YYUYV。解 1）终点所在的平面是过原点的平面，那么所有这些向量构成二维子空间；但终点在 不过原点的平面上的向量不构成子空间，因为对加法不封闭。2)21LL ；（1）直线1l与2l重合时，是21LL 一维子空间；（2）1l与2l不重合时，时21LL 二维子空间。321LLL：（1）,1l32,ll重合时，321LLL构成一维子空间；（2）,1l32
28、,ll在同一平面上时，321LLL构成二维子空间；（3）,1l32,ll不在同一平面上时，321LLL构成三维子空间。3）令过原点的两条不同直线1l，2l分别构成一维子空间 U和 V，XUV是二维子空间，在1l，2l决定的平面上，过原点的另一条不与1l，2l相同的直线3l构成一维子空间 Y，显然,0,0,VYUYXY因此0)()(VYUY，故)()(VYUYY 并不成立。二补充题参考解答 11）证明：在 Pxn中，多项式).()().(111niiixxxxf （i1，2，n）是一组基，其中n,.,21是互不相同的数；2)在 1）中，取n,.,21是全体 n 次单位根，求由基 1，1,.,nx
29、x到基nfff,.,21的过渡矩阵。证 1）设 0.2211nnfkfkfk，将1x代入上式，得 0)(,0)(.)()(1111312ffffn，于是1k0。同理，将nxx,.,2分别代入，可得 0.32nkkk，所以nfff,.,21线性无关。而 Pxn是 n 维的，故nfff,.,21是 Pxn的一组基。2）取n,.,21为全体单位根,.,.,112n则 121.111nnxxxxxf，1223212.1nnnnnnxxxxxxf，.12121.1nnnnnnxxxxxf，故所求过渡矩阵为1.111.1.1.11224221nnnnnn。2设n,.,21是 n维线性空间 V的一组基，A是
30、一个 ns 矩阵，且Ans),.,(),.,(2121，证明：),.,(21sL的维数等于 A的秩。证 只需证s,.,21的极大线性无关组所含向量的个数等于 A的秩。设nsnrnsraaaaaaA.11111，且rrArank,)(min(,)n s。不失一般性，可设 A的前 r列是极大线性无关组，由条件得nnssssnnrrrrnnaaaaaaaaa.2211221112211111，可证r,.,21构成r,.,21，sr,.,1的一个极大线性方程组。事实上，设0.2211rrkkk，于是得0).(.).().(1112221111111nrrnrrrrakakakakakak，因为n,.,
31、21线性无关，所以0.0.22111212111rnrnnrrkakakakakaka，该方程组的系数矩阵秩为,r故方程组只有零解0.21rkkk，于是r,.,21 线性无关。其次可证：任意添一个向量j后，向量组r,.,21，j一定线性相关。事实上，设0.2211jjrrkkkk，于是0.0.221111212111jnjrnrnnjjrrkakakakakakakaka，其系数矩阵的秩为 rr+1，所以方程组有非零解,.,21kkkkr 即r,.,21，j线性相关。因此，r,.,21是s,.,21的极大线性无关组。从而),.,(21sL的维数等于 A的秩，即等于)(Arank。3.设f),.
32、,(21nxxx是一秩为 n的二次型，证明：有nR的一个)(21sn 维子空间1V（其中为符号差），使对任一),.,(21nxxx1V，有f),.,(21nxxx0。证 设f),.,(21nxxx的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 p+q=n。于是存在可逆矩阵，C，YCX，使f),.,(21nxxx221221.qpppyyyy，由)(21sn)(21qpn时当时当qpqqpp,。下面仅对 pq证明（pq 时类似可证）。将 Y=CX展开，有方程组qpnnqpqppnnpppnpnpnnyxcxcyxcxcyxcxcyxcxc,11,1,111,11111111.，任取21)0,.,0,1
33、,.,0,1,0,.,0(.)0,.,1,0,0,.,1,0()0,.,0,1,0,.,0,1(p，则p,.,21线性无关，将p,.,21分别代入方程组，可解得p,.,21，使得 211,CCppC,.,2，且p,.,21线性无关。下面证明 p 维子空间L（p,.,21）即为所要求得1V。事实上，对任意 LX 0（p,.,21），设ppkkkX.22110，代入YCX得21212211221100)0,.,0,.,.,(.ppppppkkkkkkkkkCkCkCkCXY故 0.22122100ppkkkkAXXf 即证1V=L（p,.,21）。4.设1V，2V是线性空间V的两个非平凡的子空间，
34、证明：在V中存在，使 21,VV同时成立。证 因为1V，2V非平凡的子空间，故存在1V，如果2V，则命题已证。设2V 则一定存在2V，若1V，则命题也得证。下设1V，于是有21,VV及 1V，2V，因而必有21,VV。事实上，若1V，又 1V，则由1V是子空间，必有1V，这与假设矛盾，即证1V，同理可证 2V，证毕。5 设sVVV,.,21是线性空间 V的 s 个非平凡的子空间，证明 V中至少有一向量不属于sVVV,.,21中的任何一个。证 采用数学归纳法。当 n=2 时，由上题已证命题成立。现归纳假设命题对 s-1个非平凡的子空间也成立，即在 V中至少存在一个向量不属于 121,.,sVVV中任意一个，如果sV，则命题已证。若sV，对,P向量sVk，且对 P 中 s 不同的数,.,21skkk对应的s 个 向量).2.1(sik中不可能有两个向量同时属于某个非平凡的子空间).1.2.1(siVi换句话说，上述 S 个向量).2.1(sik中至少有一个向量不属于任意一个非平凡子空间(1.2.1)iV is，记为00ik，易见0也不属于sV。即证命题对 s 个非平凡的子空间也成立。即证。