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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版第五章二次型1用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果；1）4x1 x22x1 x32x2 x3 ；2222）x12 x1 x22 x24x2 x34x3；223）x13x22x1 x22x1 x36x2 x3 ；4） 8x1 x42x3 x42x2 x38x2 x4 ；x1 x2x1 x3x1 x4x2 x3x2 x4x3 x4 ；5）2226）x12x2x44x1 x24x1 x32x1 x42x2 x32x2 x42x3 x4；22227）x1x2x3x42x1x22x2 x32 x3 x4 ；解 1 ）已知fx1 ,
2、x2 , x34 x1 x22 x1 x32x2 x3，先作非退化线性替换x1x2 x3y1y1 y3y2y2（ 1）则22fx1 , x2 , x34 y14y24 y1 y322224y14 y1 y3y3y34y23222 y1y3y34 y2 ，再作非退化线性替换1212y1z1z3（ 2）y2y3z2z3则原二次型地标准形为222fx1 , x2 , x3z14z2z3 ，最后将（ 2）代入（ 1），可得非退化线性替换为精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 1 页，共 41 页1212z31212x1z1z2z3x2z1z2z3（ 3）x3于为相应地替换矩阵为1212012121
3、120012010010110110001T10，且有100040001T AT；2222）已知fx1 , x2 , x3x12x1 x22x24x2 x34 x3 ，由配方法可得2222fx1 , x2 , x3x12x1x2x2x24x2 x34x322x1x2x22x3，于为可令y1y2y3x1x2 x3x22 x3，则原二次型地标准形为22fx1 , x2 , x3y1y2，且非退化线性替换为x1x2x3y1y2y3y22 y32 y3，相应地替换矩阵为100110221T，精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 2 页，共 41 页且有11201200111012202410011
4、0221100010000T AT；22（ 3）已知fx1 , x2 , x3x13x22 x1 x22 x1 x36x2 x3 ，由配方法可得22222fx1 , x2 , x3x12x1 x22x1 x32x2 x3x2x34x24x2 x3x322x1x2x32x2x3，于为可令y1y2y3x12x2x3x2x3x3，则原二次型地标准形为22fx1 , x2 , x3y1y2 ，且非退化线性替换为1232x1y1y2y312y312x2y2y3，x3相应地替换矩阵为12120321211T00，且有12120321211112320121200111133130100010000T AT
5、00；1（ 4）已知fx1 , x2 , x3 , x48x1 x22x3 x42x2 x38x2 x4 ，精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 3 页，共 41 页先作非退化线性替换x1x2 x3 x4y1y2 y3 y4y4，则2fx1 , x2 , x3 , x48y1 y48y42 y3 y42y2 y38y2 y421 y1 y21 y812121 y8248y2 yyy4123123221212188y1y2y32 y2 y322121218148y1y2y3y42y1y2y32 y2 y3 ，再作非退化线性替换y1y2y3y4z1z2 z2 z4z3z3，则221 z5 z3
6、 z5 z43 zfx , x , x , x8z2z123412341232884222z22z3 ，再令5434w1z1x2x3w2w3z2z3，125838w4z1z2z3z4则原二次型地标准形为2222fx1 , x2 , x3 , x42w12w22w38w4 ，且非退化线性替换为精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 4 页，共 41 页1254w3w334x1w1w2w3w4x2x3w2w212，x4w1w4相应地替换矩阵为12001254110341101001T，且有2020000200008000T AT；（ 5）已知fx1 , x2 , x3 , x4x1 x2x1 x
7、3x1 x4x2 x3x2 x4x3 x4 ，先作非退化线性替换x1x2 x3 x42 y1y2y3y4y2，则2fx1 , x2 , x3 , x42 y1 y2y22 y1 y32 y2 y32 y1 y42y2 y4y3 y421234222y1y2y3y4y3y4y4y1，再作非退化线性替换z1z2y1y1y2y3y4，12z3y3y4z4y4即精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 5 页，共 41 页y1z112y2z1z2z3z4，12y3z3z4y4z4则原二次型地标准形为342222fx1 , x2 , x3 , x4且非退化线性替换为z1z2z3z4 ，12x1z1z2z
8、3z412x2z1z2z3z4，12x3z3z4x4z4相应地替换矩阵为1212121111111T，000010且有10000100001000034T AT；222（ 6）已知fx1 , x2 , x3 , x4x12 x2x44x1 x24x1 x32x1x42x2 x32x2 x42x3 x4 ，由配方法可得22fx1 , x2 , x3 , x4x12x1 2x22x3x42x22x3x42222x22x3x42x2x42x2 x32 x2 x42x3 x4精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 6 页，共 41 页23 x21 x21222，x2x2xx2 xxx12342343
9、4于为可令y1x12x22x3x432x412y2x2x3x4，y3y4x3x4则原二次型地标准形为12222fy12 y2y3 ，且非退化线性替换为x1y12y2y3y432y4x2y2y3y4，x3x4y3y4故替换矩阵为10002100132101111T，且有10000200001200000T AT；2222（ 7）已知fx1 , x2 , x3 , x4x1x2x3x42x1 x22x2 x32x3 x4 ，由配方法可得222fx1 , x2 , x3 , x4x22x2x1x3x1x32 x1 x32x3 x4x42222x1x2x32 x1 x3x32x3 x4x4x32222
10、2x1x2x3x3x42x1 x3x3x1x12222x1x1x2x3x3x4x1x3，于为可令精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 7 页，共 41 页y1y2y3y4x1x1 x3x1x2x3x4x3，则原二次型地标准形为2222fy1y2y2y4 ，且非退化线性替换为x1x2 x3 x4y1y2y1 y1y4y4 y3，y4相应地替换矩阵为1010000010111011T，且有1010000100000001T AT；（）把上述二次型进一步化为规范形，分实系数、复系数两种情形；并写出所作地非退化线性替换；解 1 ）已求得二次型fx1 , x2 , x34x1x22x1 x32x2
11、x3地标准形为222fy14 y23y3，且非退化线性替换为12121212x1y1y2y3，x2y1y2y3x3y3（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 8 页，共 41 页y1z312z1y2y3z2，可得二次型地规范形为222fz1z2z3 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1iz112z1，y2z2y3可得二次型地规范形为222fz1z2z3 ；2 ）已求得二次型222fx1 , x2 , x3x12 x1 x22 x24x2 x34x3地标准形为22fy1y2 ，且非退化线性替换为x1x2 x3y1y2y3y22 y32 y3，故该非
12、退化线性替换已将原二次型化为实数域上地规范形与复数域上地规范形22fy1y2 ；3）已求得二次型22fx1 , x2 , x3x13x22 x1 x22 x1 x36x2 x3地标准形为22fy1y2，且非退化线性替换为1232x1y1y2y312y312x2y2y3，x3精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 9 页，共 41 页（ 1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即22fy1y2 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1y2y3z1iz 2z3；可得二次型地规范形为22fz1z2 ；（ 3）已求得二次型fx1, x2 , x3 , x48x1x22x3 x
13、42x2 x38x2 x4地标准形为2222f2 y12 y22y38 y4 ，且非退化线性替换为1254y3y334x1y1y2y3y4x2x3y2y212，x4y1y4（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换1212121y1z4y2z2，y3z3y4z122可得二次型地规范形为2222fz1z2z3z2 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 10 页，共 41 页iy1z1212i21y2z2，y3z3y4z422可得二次型地规范形为2222fz1z2z3z2 ；（ 5）已求得二次型fx1 , x2 , x3 , x4x1 x2x1x3x1 x4
14、x2 x3x2 x4x3 x4地标准形为32y4 ，222fy1y2y34且非退化线性替换为12x1y1y2y3y412x2y1y2y3y4，12x3y3y4x4y4（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换y1y2 y3z2z1 z3，23y4z4可得二次型地规范形为2222fz1z2z3z4 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1y2y3iz1z2 iz3，23y4iz 4精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 11 页，共 41 页可得二次型地规范形为2222fz1z2z3z4 ；6）已求得二次型222fx1 , x2 , x3 , x4x12x2x44x1 x24x1x32 x1
15、x42x2 x32 x2 x42 x3 x4地标准形为12222fy12 y2y3 ，且非退化线性替换为x1y12 y2y3y432y4x2y2y3y4；x3x4y3y4（ 1）在实数域上，若作非退化线性替换y1z212y2z3，y3y42 z1z4可得二次型地规范形为222fz1z2z3 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1iz1iy2z2，2y3y42 z3z4可得二次型地规范形为222fz1z2z3 ；7）已求得二次型222fx1 , x2 , x3 , x4x12x2x44x1 x24x1 x32 x1 x42x2 x32x2 x42x3 x4地标准形为精品学习资料勤奋，为踏入
16、成功之门地阶梯第 12 页，共 41 页2222fy1y2y2y4，且非退化线性替换为x1x2x3 x4y1y2y1 y1y4y4 y3；y4（ 1）在实数域上，上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形，即2222fy1y2y2y4 ；（ 2）在复数域上，若作非退化线性替换y1y2 y3y4z1z2z3iz 4，可得二次型地规范形为2222fz1z2z3rz4 ；个秩等于1 地对称矩阵之与；2证明：秩等于r地对称矩阵可以表成AA 且 rank ( A)r ，于为存在可逆矩阵C 使证由题设知C ACD ，111且 D 为对角阵，又因为C, C, CC均为可逆矩阵，所以有C ACD1D2Dr，其
17、中00d1d 200D1, D 20, Drdr0000于为11ACD1D2DrC111111CD1CCD 2 CCDr C；精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 13 页，共 41 页因111i1,2, r，rankCD Ci且111111；CDi CCDi CCDi C11A可表成个秩为 1 地对称矩阵之与；r即都为对称矩阵，故CD Ci3证明：i11i22与i nni1i 2i n 为 1,2,合同，其中, n 地一个排列；题中两个矩阵分别设为A, B ，与它们相应地二次型分别为证222f A1x12 x2n xn，222f By1y2yn ，i1i2i n作非退化地线性替换ytxi
18、tt1,2, n ，则f B412f A；故 A 与B 合同；可化成设 A 为一个 n 阶矩阵，证明：） A 为反对称矩阵当且仅当对任一个）如果 A 为对称矩阵，且对任一个n 维向量 X，有 X AX0 ；n 维向量 X有 X AX0 ，那么A0 ；AA ，即aii0, aija jiij证1）必要性；因为，所以X AXaijxi x jaija jixi xji, jij0 ，故由于aija ji0 ；X AXaija jixi x jijn充分性；因为X AX0 ，即XR ，有22a11 x1a12a21x1 x2x1nan1x1 xna22 x2精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第
19、14 页，共 41 页20a2nan2x2 xnann xn，这说明原式为一个多元零多项式，故有0,a11a22annaija jiij，即 AA ；2）由于 A 为对称地，且X AX0 ，即22a11 x12a12 x1 x22a1n x1 xna22 x222a0 ，x xax2n2nnnn这说明 X AX 为一个多元零多项式，故有0 ，a11a22ann2aij00 ，aija ji即 A0 ；5如果把实n 阶对称矩阵按合同分类，即两个实们合同，问共有几类？n 阶对称矩阵属于同一类当且仅当它实对称矩阵A 与 B 合同地充要条件为存在可逆矩阵T与 C 使解d1d 2d rD ；T BTC
20、AC00下面考虑对角矩阵D 地相应二次型地合同分类情况，在di i, r1,2,中可分为个个正，正，个个负负rr101个个 个正，正， 正，个个 个负负 负210rr21r共计 r1 个合同类；但秩r又可分别取n, n1,2,1,0 ，故共有n1n22123nn1个合同类；6证明：一个实二次型可以分解成两个实系数地一次齐次多项式地乘积地充分必要条精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 15 页，共 41 页件为：它地秩等于2 且符号差等于0，或者秩等于1；证必要性；设fx1 , x2 , xna1 x1a2 x2an xnb1x1b2 x2bn xn，其中ai ,bi i, n 均为实数；1
21、,2,1） 若上式右边地两个一次式系数成比例，即bikaii1,2, na10 ，则可作非退化线性替换不失一般性，可设y1yia1 x1xia2 x2an xni2, n使二次型化为2fx1 , x2 , xnky1 ，故二次型fx1 , x2 , xn地秩为 1；a1b1a2b22） 若两个一次式系数不成比例，不妨设，则可作非退化线性替换y1y2 yia1x1b1 x1 xia2 x2b2 x2an xnbn xn，i3,n使fx1 , x2 , xny1 y2 ；再令y1y2yiz1z1 ziz2z2i，3, n则二次型可化为22fx1 , x2 , xny1 y2z1z2 ，故二次型fx
22、1 , x2 , xn地秩为 2，且符号差为0；充分性； 1）若fx1, x2 , xnZCY地秩为1，则可经非退化线性替换使二次型化为2fx1 , x2 , xnky1，精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 16 页，共 41 页其中y1 为 x1 , x2 , xn 地一次齐次式，即y1a1 x1a2 x2an xn，且2fx1 , x2 , xnk a1 x1a2 x2an xnka1 x1ka2 x2kan xna1 x1a2 x2an xn；2）若fx1 , x2 , xnZCY地秩为2，且符号差为0，则可经非退化线性替换使二次型化为22fx1 , x2 , xny1y2y1y2
23、y1y2，a1 x1a2 x2an xnb1 x1b2 x2bn xnfx1 , x2 , xn故可表成两个一次齐次式地乘积；7判断下列二次型为否正定：2221）99x112x1x248x1 x3130x260x2 x371x3 ；2222）10x18x1 x224x1 x32x228x2 x3x3 ；n23）xixi x j1 ij n；i 1nn 124）xixi xi；1i 1i 1解）二次型地矩阵为199624613030243071A，因为9966130990,0,A0 ，123故原二次型为正定二次型；2） 二次型地矩阵为10412421412141A，精品学习资料勤奋，为踏入成功之
24、门地阶梯第 17 页，共 41 页A0 ，所以原二次型非正定；因为3） 记二次型地矩阵为Aaij，其中nn1,ijaij，12,ij即1211212121211212121121212A，121由于 A 地任意 k 阶顺序主子式所对应地矩阵Ak 与 A 为同类型地对称矩阵，且k12Akkk, n101,2,，故原二次型为正定二次型；4） 记二次型地矩阵为AaijAk，则n地级顺序主子式为n1211221211k12Ak1212112112201320014300kk121210 ，k00k1000k故原二次型为正定二次型；精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 18 页，共 41 页8 t
25、取什么值时，下列二次型为正定地：2221）x1x25x32tx1 x22x1 x34x2 x3222x14x2x32tx1 x210x1 x36x2 x32）解1 ）二次型地矩阵为1t1t12125A，因为 A 地各阶顺序主子式为10 ，11tt10 ，21t1t121250 ，A3当原二次型为正定时，有21t5t04t，20450 ；解上面不等式组，可得t2 ）二次型地矩阵为1t 5t43531A，当 A 地所有顺序主子式都大于零时，即10 ，11tt4240 ，t21t 5t435312301050Att，3由原二次型为正定得精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 19 页，共 41 页
26、24tt 2030t，1050t 值使原二次型为正定；但此不等式组无解，即不存在9证明：如果A 为正定矩阵，那么列指标相同地子式；A 地主子式全大于零；所谓主子式，就为行指标与nn证设正定矩阵Aaijaijxi x j，并令，作正定二次型nni 1j 1x j0jk1 , k2 , ki , k1k2ki，则可得新二次型kikiaijxi x j，i k1 j k1A 地一切 i 级主子式0由正定二次型地定义知该二次型为正定地，故Aii1,2, n；t 充分大之后，10设 A 为实对称矩阵，证明：当实数证tEA 为正定矩阵；ta11a21a12a22a1nta2 ntEA，an1an2tann
27、它地 k 级顺序主子式为ta11a 21a12a 22a1ka2kttkak1ak 2takk当 t 充分大时，ttaiiaiji1,2,n为严格主对角占优矩阵地行列式，且，kj it0故k1,2, n ，从而tEA 为正定地；k1也为正定矩阵；11证明：如果A 为正定矩阵，那么A1Y1因 A 为正定矩阵，故X AXXA证为正定二次型，作非退化线性替换，又 A也为对称矩阵，故1110 ，Y AYYAAAYX AX1 Y 为正定二次型，即证A 1 为正定矩阵；从而 Y A12设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且A0 ，证明：必存在实n 维向量X0 ，使精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 2
28、0 页，共 41 页X AX0 ；A0 ，于为A0 ，所以rank An，且证因为A 不为正定矩阵；故必存在非1Y 使退化线性替换XC1X AXYCACYY BY222222y1y2ypypypyn ，121Y 中，令且在规范形中必含带负号地平方项；于为只要在ZCy1y2yp0, ypy pyn1, 则可得一线性方程组12c11 x1c12 x2c1 n xn0cp1 x1cp 2 x2cpn xncp01,n xn，cp1,1x1cp1, 2 x21cn1 x1cn 2 x2cnn xn1C0 ，故可得唯一组非零解由于X sx1s , x2 s , xns使Xs AX s即证存在X0 ，使0
29、00111np0 ，X AX0 ；A, B 都为n 阶正定矩阵，证明：AB 也为正定矩阵；13 如果证因为 A, B 为正定矩阵，所以X AX , X BX 为正定二次型，且X AX0 ，X BX0 ，因此XAB XX AXX BX0 ，XAB XAB 为正定矩阵；于为必为正定二次型，从而14证明：二次型fx1 , x2 , xn为半正定地充分必要条件为它地正惯性指数与秩相等；p秩 r，则 pr证必要性；采用反证法；若正惯性指数；即22222fx1 , x2 , xny1y2ypypyr ，1若令0 ，y1y2ypypyr1，1精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 21 页，共 41 页则
30、可得非零解x1 , x2 , xn使 fx1 , x2 , xn0；这与所给条件fx1 , x2 , xn0 矛盾，故pr ；充分性；由pr，知222fx1 , x2 , xny1y2yp ，x1, x2 , xn0 ，即证二次型半正定；故有f2nn2证明：nxixi15为半正定地；i1i 12nn2证nxixii 1i1222n x1x2xn222x1x2xn2x1 x22x1 xn2 x2 x32x2 xn2xn1 xn222n1x1x2xn2x1 x22x1 xn2x2 x3（2x2 xn2xn1 xn ）222222x12x1 x2x2x12x1 x3x3xn2xn1 xnxn12xix j；1i jn可见：1）当x1 , x2 ,