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1、第 1 页 三角函数 一、基础知识 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=rL,其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sin=ry,余弦函数
2、cos=rx,正切函数tan=xy，余切函数cot=yx，定理 1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan=cot1,商数关系：tan=sincoscot,cossin；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理 2 诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan;（）sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan;（）sin2=cos,cos2=sin（奇变偶不
3、变，符号看象限）。定理 3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为 2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值 1，当且仅当x=3k-2时,y取第 2 页 最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理 4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k上单调递增。最小正周期为 2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点0,2k均为其
4、对称中心。有界性：当且仅当x=2k 时，y取最大值 1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.定理 5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+2)在开区间(k-2,k+2)上为增函数,最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+2，0）均为其对称中心。sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 函 数 性 质 第 3 页 奇偶性 奇函数 偶函
5、数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 定理6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin;tan()=.)tantan1()tan(tan 定理 7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sin2cos2,sin-sin=2sin2cos2,cos+cos=2cos2cos2,cos-cos=-2si
6、n2sin2,sincos=21sin(+)+sin(-),cossin=21sin(+)-sin(-),coscos=21cos(+)+cos(-),sinsin=-21cos(+)-cos(-).定理 8 倍角公式:sin2=2sincos,第 4 页 cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan2=.)tan1(tan22 定理 9 半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin 定理 10 万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,定理 11
7、辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为，则 sin=22bab,cos=22baa，对任意的角.asin+bcos=)(22ba sin(+).定理 12 正弦定理：在任意ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R 为ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理 14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变
8、为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义 4 函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作第 5 页 y=arcsinx(x-1,1)，函数y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1,1).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x
9、-,+).y=cosx(x0,)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理 15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程 sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa,kZ.如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理 16 若2,0 x，则 sinxxtanx.二、方法与例题 1结合图象解题。例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|
10、x|的图象（见图），由图象可知两者有 6 个交点，故方程有 6 个解。1（浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4 2最小正周期的确定。例 2 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。【解】首先，T=2 是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=k+2时，y=0（因为|2cosx|20).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=Asin(x+)的
11、图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例 5 已知f(x)=sin(x+)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点0,43M对称，且在区间2,0上是单调函数，求和的值。【解】由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意xR 成立。又 0，解得=2，因为f(x)图象关于0,43M对称，所以)43()43(xfxf=0。取x=0，得)43(f=0，所以sin.0243 所以243 k(kZ)，即=32(2k
12、+1)(kZ).又0，取k=0 时，此时f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取k=1 时，=2，此时f(x)=sin(2x+2)在0，2上是减函数；取k=2 时，310，此时f(x)=sin(x+2)在0，2上不是单调函数，综上，=32或 2。第 9 页 1.(09 山东)将函数sin2yx的图象向左平移4个单位,再向上平移 1个单位,所得图象的函数解析式是 2.（1）（07 山东）要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象向 平移个单位（2）（全国一 8）为得到函数cos 23yx的图像，只需将函数sin2yx的图像 向平移个单位（3）为了得到函数)62sin(xy的
13、图象，可以将函数xy2cos的图象向平移 个单位长度 3.将函数y=3 cosxsinx的图象向左平移m（m 0）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（D）A.p6 B.p3 C.2p3 D.5p6 4.（湖北）将函数3sin()yx的图象F按向量(,3)3平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线4x,则的一个可能取值是 ()A.125 B.125 C.1211 D.1112 6三角公式的应用。例 6 已知sin(-)=135，sin(+)=-135，且-,2，+2,23，求sin2,cos2 的值。第 10 页【解】因为-,2，所以cos(-)=-.1312)(sin12 又因为
14、+2,23，所以cos(+)=.1312)(sin12 所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=169120,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例 7 求证：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=20cos20sin+4sin20 求值 1、（1）(07 全国)是第四象限角，12cos13，则sin（2）（09 北京文）若4sin,tan05，则cos.（3）（09 全国卷文）已知ABC中，12cot5A ，则cos A.(4)是第三象限角，21)sin(，则cos=)2
15、5cos(=2、(1)(07 陕西)已知5sin,5则44sincos=.(2)（04 全国文）设(0,)2，若3sin5，则2cos()4=.（3）（06 福建）已知3(,),sin,25则tan()4=3.(1)(07 福建)sin15 cos75cos15 sin105=(2)（06 陕西）cos43 cos77sin 43 cos167oooo=。（3）sin163 sin 223sin 253 sin313。4已知53)2cos(，则22cossin的值为 （）A257B2516C259 D257 第 11 页 5已知 sin=1312，（2，0），则 cos（4）的值为 （）A26
16、27B2627C26217D26217 6.若02,sin3cos，则的取值范围是：()（）,3 2（）,3（）4,33（）3,32 7.若,5sin2cosaa则atan=（）（A）21 （B）2 （C）21 （D）2 单调性 1.（04 天 津）函 数),0()26sin(2xxy为 增 函 数 的 区 间 是 （）.A.3,0 B.127,12 C.65,3 D.,65 2.函数sinyx的一个单调增区间是 （）A ，B3，C，D32，3.函 数()sin3cos(,0)f xxx x 的 单 调 递 增 区 间 是 （）A 5,6 B 5,66 C,03 D,06 4（07 天津卷）设
17、函数()sin()3f xxxR，则()f x（）A在区间2736，上是增函数 B在区间2，上是减函数 第 12 页 C在区间3 4，上是增函数 D在区间536，上是减函数 5.函数22cosyx的一个单调增区间是 ()A(,)4 4 B(0,)2 C3(,)44 D(,)2 6若函数f(x)同时具有以下两个性质：f(x)是偶函数，对任意实数 x，都 有f(x4)=f(x4)，则f(x)的 解 析 式 可 以 是 （）Af(x)=cosxBf(x)=cos(2x2)Cf(x)=sin(4x2)Df(x)=cos6x 四.五.对称性 1.（08 安 徽）函 数sin(2)3yx图 像 的 对 称
18、 轴 方 程 可 能 是 （）A6x B12x C6x D12x 2（07福建）函数sin 23yx的图象 （）关于点03，对称 关于直线4x 对称 关于点04，对称 关于直线3x 对称 3（09 全国）如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，第 13 页 那么的最小值为（）(A)6 (B)4 (C)3 (D)2 七.图象 4（2006 年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （）（A）sin6yx （B）sin 26yx（C）cos 43yx （D）cos 26yx 5.（2009 江苏卷）函数sin()yAx（,A 为常数，0,0A）在闭区间,0上的图象如图所
19、示，则=.7(2010天津)下图是函数yAsin(x)(xR)在区间6，56上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将ysinx(xR)的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来第 14 页 的12，纵坐标不变 D向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 8(2010全国)为了得到函数ysin2x3的图象，只需把函数ysin2x6的图象()A向左平移4个长度单位 B向右平移4个长度
20、单位 C向左平移2个长度单位 D向右平移2个长度单位 9(2010重庆)已知函数ysin(x)0，|2的部分图象如图所示，则()A1，6 B1，6 C2，6D2，6 八.解三角形 1.(2009 年广东卷文)已知ABC中，CBA,的对边分别为,a b c若第 15 页 62ac且75A，则b 2.（2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 2 ，AC的取值范围为 .3.（09 福建）已知锐角ABC的面积为3 3，4,3BCCA，则角C的大小为 5已知ABC 中，7:5:4sin:sin:sinCBA，则Ccos的值为 7.在ABC中，5cos13B ，4cos
21、5C （）求sin A的值；（）设ABC的面积332ABCS，求BC的长 九.综合 1.（04 年天津）定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当2,0 x时，xxfsin)(，则)35(f的值为 2 (04年 广 东)函 数f(x)22sinsin44fxxx（）（）（）是 （）A周期为的偶函数 B周期为的奇函数 C 周期为2的偶函数 D.周期为 2的奇函数 3（09 四川）已知函数)(2sin()(Rxxxf，下面结论错误的是 ()A.函数)(xf的最小正周期为 2 B.函数)(xf在区间0，2上是增函数 第 16 页 C.函数)(xf的图象关于直线
22、x0 对称 D.函数)(xf是奇函数 4(07 安徽卷)函数)32sin(3)(xxf的图象为C,如下结论中正确的是 图象C关于直线1211x对称;图象 C 关于点)0,32(对称;函数125,12()(在区间xf)内是增函数;由xy2sin3的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 C.5.（08 广东卷）已知函数2()(1cos2)sin,f xxx xR，则()f x是 （）A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为2的奇函数 C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为2的偶函数 6.在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是 C（A）0 （
23、B）1 （C）2 （D）4 7 若 是 第 三 象 限 角，且cos20，则2是 （）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 8已知函数()2sin()f xx对任意x都有()()66fxfx，则()6f等于 （）A、2 或 0 B、2或 2 C、0 D、2或 0 第 17 页 十.解答题 1（05 福建文）已知51cossin,02xxx.（）求xxcossin的值；（）求xxxtan1sin22sin2的值.2（06 福建文）已知函数22()sin3sincos2cos,.f xxxxx xR （I）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（II）函数()f x的图象可以
24、由函数sin 2()yx xR的图象经过怎样的变换得到？3（2006 年辽宁卷）已知函数22()sin2sincos3cosf xxxxx，xR.求:(I)函数()f x的最大值和取得最大值的自变量x的集合；(II)函数()f x的单调增区间.4.（07 福建文）在ABC中，1tan4A，3tan5B （）求角C的大小；（）若AB边的长为17，求BC边的长 5.（08 福建文）已知向量(sin,cos),(1,2)mAA n,且0.m n ()求 tanA的值；()求函数()cos2tansin(f xxAx xR)的值域.6.（2009 福建卷文）已知函数()sin(),f xx其中0，|2
25、 （I）若coscos,sinsin0,44求的值；（）在（I）的条件下，若函数()f x的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()f x的解析式；并求最小正实数m，使得函第 18 页 数()f x的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。7.已知函数2()sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；（）求函数()f x在区间203，上的取值范围 8.知函数22s(incoss1)2cof xxxx（,0 xR）的最小值正周期是2（）求的值；（）求函数()f x的最大值，并且求使()f x取得最大值的x的集合 9.已知函数()cos(2)2sin()sin()3
26、44f xxxx（）求函数()f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数()f x在区间,12 2 上的值域 10.已知函数f(x)0,0)(cos()sin(3xx为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.2（求f（8）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.11.已知向量)cos,sin3(xxa，)cos,(cosxxb，记函数baxf)(。（1）求函数)(xf 的最小正周期；（2）求函数)(xf的最大值，并求此时x的值。第 19 页 12（0
27、4 年重庆卷.文理 17）求函数xxxxy44coscossin32sin的最小正周期和最小值；并写出该函数在,0的单调递增区间.13.（2009 湖北卷文）在锐角ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，且Acasin23()确定角 C 的大小：（）若 c7,且ABC 的面积为233,求 ab 的值。14.（2009 陕西卷文）已知函数()sin(),f xAxxR（其中0,0,02A）的周期为，且图象上一个最低点为2(,2)3M.()求()f x的解析式；（）当0,12x，求()f x的最值.15.（2009 北京文）（本小题共 12 分）已知函数()2sin()cosf xxx.（）求()f x的最小正周期；（）求()f x在区间,6 2 上的最大值和最小值.16.（08 全国二 17）在ABC中，5cos13A ，3cos5B （）求sinC的值；（）设5BC，求ABC的面积