高中数学暑期辅导高一第9讲函数与方程.目标班_1.pdf

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1、 高中数学暑期辅导高一第 9 讲 函数与方程.目标班 第 110 页 在初中的时候我们学过二次函数如26yxx，我们也学过一元二次方程如260 xx，这个一元二次方程和二次函数有什么关系呢？通过画二次函数的图象和解一元二次方程我们发现，一元二次方程的两个根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.那我们把这两个根就叫做二次函数的零点，那到底零点的概念是什么呢？怎么样去求函数的零点呢？函数的零点与方程的根之间到底存在什么关系呢？下面我们就来具体看一下：1.函数的零点：一般地，如果函数()yf x在实数a处的值等于零，即()0f a，则a叫做这个函数()f x 的零点 知识点睛 9.1 零点的个数 第

2、9 讲 函数与方程 第 111 页 根据函数零点的定义可知：函数()yf x的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()yf x的图象与x轴的交点的横坐标因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 0f x 是否有实数根，有几个实数根.【教师备案】函数的零点是点吗？分析函数零点的定义，并借助于具体的函数来认识.我们把使()0f x 成立的实数x叫做函数 yf x的零点，因此函数的零点不是点，是函数 yf x与x轴的交点的横坐标，即零点是实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零.函数 f x的零点实际上就是方程 0f x 的实根，方程 0f x 有几个实根，函数 f x就

3、有几个零点.例如，函数 1f xx，10f xx 仅有一个实根1x ，所以函数 1f xx有一个零点1，由此可见函数 1f xx的零点是一个实数1，而不是一个点.练习 1：判断下列函数是否存在零点，若有，则求出零点【解析】当0a 时，函数无零点；当0a 时，函数的零点为1a 第 112 页 函数的零点为23，函数的零点为011，函数的零点为6 在上面的例中我们可以直接求出函数具体的零点，而且方程有几个根就有几个零点.但是有一函数 我们是求不出具体的零点的！比如，求函数 12log2xf xx的零点.我们会发现如果令 0f x，即12log20 xx，这个方程我们是不会解的.但是我们根据12lo

4、g20 xx，可以得到12log2xx，在这个方程中，单纯的左边和单纯的右边我们是知道的，所以这种方程的根也可以理解为两个函数的交点，如图.虽然这种方程不能解出具体的根，但是通过图象我们可以看出根的个数，也就是零点的个数，我们管这种求函数零点个数的思想叫做数形结合.对于函数 yf x，求零点个数一般有以下几种方法：令 0f x，有几个实数根就有几个零点；将函数转化为 g xa，先画出 g x的图象，然后找ya与 g x图象的交点个数；O yx 第 113 页 将函数转化为 g xh x，分别画出 g x与 h x的图象，看两图象交点的个数.【教师备案】一般求零点的个数都是由画图解决的.【教师备

5、案】老师在讲完零点的概念和求零点的个数问题之后就可以让学生做例 1.例 1 主要考察直接求零点个数，例 1可以解方程也可以用数形结合的思想解决，例1都是用数形结合的思想.做完例1 之后，就可以让学生做例 2 前边的铺垫，老师可以给学生讲这个铺垫，然后再让学生自己做例 2，例 2 是间接考察函数零点个数的问题，但其主要用的思想就是数形结合.【例1】（2019 东城二模文 5）函数3()231f xxx的零点个数为（）A1 2 3 4 (2019福建理4文7)函数2230()2ln0 xxxf xxx，的零点个数为（）A0 B1 C2 D3 方程223xx的实数解的个数为 经典精讲 第 114 页

6、 方程22xx的实数解的个数为 【解析】C C【铺垫】如图，已知定义在R上的函数 f x的图象，若方程 f xa有三个不相等的实数根，求a的取值范围【例2】（2019 北京理 13）已知函数 32212xxf xxx，若关于x的方程 f xk有两个不 同 的 实 根，则 实 数k的 取 值 范 围是 .若函数()xf xaxa(0a 且1a)有两个零点，则实数a的取值范围是 在上边我们已经讲了函数零点的个数，我们有时可以求出函数的零点，有时也可以采用数形结合的思想把零点的个数求出来.在我们不能求出函数具体零点的情况下，我们除了知道零点的个数以外，能否把零点所在的大概区间猜一下呢？若能，怎样猜呢

7、？下面我们就来看一下零点所在的区间：零点分析法：若函数()yf x在闭区间ab，上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值知识点睛 9.2 零点所在的区间 212O yx 第 115 页 符号相反，即()()0f af b则在区间()ab，内，函数()yf x至少有一个零点 零点分析法的几何意义：在闭区间ab，上有连续曲线()yf x，且连续曲线的始点()af a，与终点()bf b，分别在x轴的两侧，则此连续曲线至少与x轴有一个交点 零点的性质：相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 练习 2：方程3log3xx的解所在的区间为（）A(01)，B(12)，C(23)，D(34)，【解析】

8、C；令 3log3f xxx，因 为 3322log 21log03f，33log 310f 【教师备案】老师讲完零点所在的区间和上边的例之后，就可以让学生做例 3，例 3 主要考察零点所在的区间 【例3】（2019 天津文 4）函数()e2xf xx的零点所在的一个区间是()A(21)，B(10)，C(0 1)，D(12)，（2019 宣武一模理 4）设函数231()2xf xx，则其零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）经典精讲 第 116 页 （2019 上海理 17）若0 x是方程1312xx的解，则0 x属于区间（）A213，B1223，C1132，D1

9、03，【解析】C B C 做完例 3 以后，这时学生就会判定零点所在的区间了，但是他们只是机械地利用 0f a f b，对零点所在的区间并没有深刻的理解，所以，这时老师要给学生具体再解释一下零点所在的区间：若函数()yf x在闭区间ab，上的图象是连续不断的曲线：若()()0f af b则在区间()ab，内，函 数()yf x至少有一个零点 要注意 这里可能不止有一个零点，如图：若()()0f af b，函数在ab，上就一定没有零点吗？如图:若在ab，上至少有一个零点，则不能说明 0f a f b，如中的图 若在ab，内有奇数个零点，则不一 定 有 0f a f b，如图：若在ab，内有一个零

10、点且函数单调，则 0f a f b baab 第 117 页【教师备案】学生对零点有更深刻的理解之后就可以让学生做例 4 和例 5.例 4 主要是已知零点所在的区间求参数的取值范围.例 5 主要是根据函数的性质和零点能够更好的理解函数.【例4】已知函数()312f xaxa 在(1 1)，内存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A115a B15a C15a 或1a D1a （2019 宣武一模文 6）设函数32()logxf xax在区间(12)，内有零点，则实数a的取值范围是（）A3(1log 2)，B3(0log 2)，C3(log 21)，D3(1log 4)，【解析】C【例5】(20

11、19 浙江文 9)0 x是 函 数1()21xf xx的 一 个 零 点，若10201xxxx，则()A 1200f xf x，B12()0()0f xf x，C12()0()0f xf x，D 1200f xf x，（2019 山东理数）函数22xyx的图象大致是（）【解析】B A【备选】（2009 福建卷文 11）若函数()f x的零点与()422xg xx 第 118 页 的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x可以是()A()41f xx B 2()(1)f xx C()e1xf x D1()ln2f xx【解析】A (北京 35 中 2009-2019 学年度高一第一学期期中)

12、已知函数 f x在区间ab，单调，且函数的图象是连续不断的一条曲线，又 0f af b，则函数 f x在区间ab，上（）A可能只有一个零点,也可能有多个零点 B可能只有一个零点,也可能没有零点 C一定没有零点 D必有唯一零点 已知函数()yf x在R上的图象是连续不断的一条曲线，且(1)(2)0ff，则()yf x A 在 区 间12，上 有2个 零 点 B在区间12，上零点个数是偶数个 C 在 区 间12，上 零 点 个 数 可 能 为kkN，D在区间12，上没有零点【解析】D 初高衔接韦达定理 在讲根的分布之前老师可以先给学生复习一下根与系数的关系（韦达定理），韦达定理在初中阶段有所9.3

13、 二次函数零点综合应用 第 119 页 学习，但是不是中考的重点，所以初中老师对此也没有加强重视，但是韦达定理在高中的应用很强大，几乎在所有解析几何解答题中都有应用如：求中点问题，联立方程组，应用中点公式122xxx，122yyy 求弦长，弦长公式2212121()4dkxxx x 求所围成面积：弦长公式和点到直线的距离综合应用 两条线段相垂直 总之理解好题目，将不常见的问题化为学过的知识，如这个定理，以不变应万变 韦达定理说明了一元n次方程中根与系数的关系，这里主要讲一下一元二次方程中根与系数的关系 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果200axbxca的两实根分别是1x，2x，那么

14、12bxxa，12cxxa这一关系也被称为韦达定理 若1x和2x分别是一元二次方程20axbxc0a 的两个实根，则12xxa（其中24bac）注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论 【例题】如果方程2100 xpxp 的两根之差是1，那么p的值为（）A2 B4 C3 D5 第 120 页 二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为12和12，那么，这个方程是（）A2210 xx B2210 xx C2210 xx D2210 xx 已 知 实 数ab，且 满 足2(1)33(1)aa，23(1)3(1)bb则abba的值为（）A23 B23 C2 D13 设1

15、2xx，是关于x的方程20(0)xpxqq的两个实数根，且22112231xx xx，1212110 xxxx，求p和q【解析】D D A 二次函数2()f xaxbxc零点的分布与区间端点的关系（120axx，为 f x的零点）零点的分布 12xxk 12kxx 12xkx 1122kxxk 11223kxkxk 图象 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 k1k2Oyxx2x1 k3k1k2Oyxx2x1 需要满足的条件()020f kbka ()020f kbka ()0f k 1212()0()020f kf kbkka 123()0()0()0f kf kf k 知识

16、点睛 第 121 页【教师备案】如果班里学生对上边零点分布掌握的比较好，那可以再继续问一下学生“若在12()kk，内有且仅有一根”这时需要满足什么条件？下面我们就对“在12()kk，内有且仅有一根”的所有情况进行详细说明：零点的分布 在12()kk，内 有且仅有 一根 在12()kk，内 有且仅有 一根 在12()kk，内 有且仅有 一根 在12()kk，内 有且仅有 一根 在12()kk，内有且仅有 一根 图象 需要满足的条件 12()()0f kf k 12()()0f kf k 0 且12()2bkka，1121()022f kkkbka 2122()022f kkkbka 【例6】（北

17、京师大附中 2009-2019 学年度第一学期期中考试）已知关于x的方程：221260 xaxa，若方程有两个不等实根，求实数a的范围；若方程有两个不等实根，且两根都在区间1，内，求实数a的范围；设函数 22126f xxaxa，1 1x ，记此函数的最大值为 M a，最小值为 N a，求 M a、N a的解析式【解析】5a 或1a ；经典精讲 k2k1O yxk2k1O yxk2k1O yxO yxk1k2k2k1O yx 第 122 页 实数a的取值范围为514，【备选】已知函数2()(3)1f xmxmx的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围【解析】m的范围是(1，【例7】（北京五中

18、 2019-2019 学年度高一第一学期期中考试）已知函数2()25(1)f xxaxa 若函数()f x的定义域和值域为1a，求实数a的值；若()f x在区间2，上是减函数，且对任意的1x，211xa，总有12()()4f xf x，求实数a的取值范围；若()f x在13x，上有零点，求实数a的取值范围 【备选】（人大附中 2009-2019 学年必修 1 模块考核试题）对于函数 f x，若 f xx，则称x为 f x的“不动点”；若 ff xx，则称x为 f x的“周期点”，函数 f x的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B，即|Ax f xx，|Bx ff xx 求证：AB；若 2

19、1f xa xaxRR，且AB，求实数a的取值范围【解析】任取xA，即有 f xx 则有 ff xf xx，xBAB a的取值范围为13|44aa 第 123 页 【演练 1】已知()2xf x，2()3g xx则函数()()yf xg x的零点个数是（）A0 B1 C2 D3 （北京三十五中 2019-2019 学年高一年级数学月考）设函数20()20 xbxcxf xx，若(4)(0)ff，(2)2f ，则关于x的方程()f xx的解的个数为（）A1 B2 C3 D4【解析】C【演练 2】（2019 天津理 2）函数()23xf xx的零点所在的一个区间是()A(21)，B(10)，C(0

20、 1)，D(12)，设函数()ln3f xxx的零点为m，则m所在的区间为（）A(12)，(23)，(34)，(45)，B 由于()f x在其定义域上单调递增 且(1)10320f ，(2)2ln23ln2 10f 函数()f x仅在区间(23)，有一个零点【演练 3】（2019-2019 年度北方交大附中高一数学月考）实战演练 第 124 页 已知函数22log1()2xxf xxxx，1，若函数()()g xf xm有 3 个零点，则实数m的取值范围是_【演练 4】（2019 北京东城 1 月检测）若2()(2)(21)f xmxmxm的两个零点分别在区间(10)，和区间(12)，内，则m

21、的取值范围是（）A1124，B1142，C1142，D1142，【解析】C【演练 5】（北京师大二附中 2019-2019 学年度高一年级第一学段）已知函数2()221f xaxxa 在区间1 1，上有且只有一个零点，求实数a的取值范围【解析】a的取值范围为(13)，1.函数的零点：一般地，如果函数()yf x在实数a处的值等于零，即()0f a，则叫做这个函数()f x的零点 2.零点分析法：若函数()yf x在闭区间ab，上的图象是的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即 则在区间()ab，内，函数()yf x零点 3.零点的分布：零点的分布 12xxk 12kxx 12xkx 1122

22、kxxk 11223kxkxk 概念要点回顾 第 125 页 图象 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 k1k2Oyxx2x1 k3k1k2Oyxx2x1 需要满足的条件 答案：1.a 2.连续不断；()()0f af b；至少有一个 3.零点的分布 12xxk 12kxx 12xkx 1122kxxk 11223kxkxk 图象 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 Oyxkx2x1 k1k2Oyxx2x1 k3k1k2Oyxx2x1 需要满足的条件()020f kbka ()020f kbka ()0f k 1212()0()020f kf kbkka 123()0()0()0f kf kf k