《高中数学暑期辅导高一第3讲函数的单调性.目标班_1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学暑期辅导高一第3讲函数的单调性.目标班_1.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 高中数学暑期辅导高一第 3 讲 函数的单调性.目标班 第 35 页 考点 1：单调性的概念 函数是由于自变量经过某个对应法则对应到值域中的一个数，所有的函数的性质都围绕着一个问题：当自变量发生某种变化时，函数值发生了什么变化？所谓单调性是指随着自变量的增大（或减小），函数值是否也增大或减小 奇偶性是指：当自变量取相反数时，函数值是保持不变，还是也取相反数 周期性是指：当自变量变化时，函数值呈周期变化 所以说，函数的性质都在研究自变量发生某种变化时，函数值的变化的某种对应规律 单调性是初中有所接触的性质，初中会有y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小的说法，这就是单知识点睛 3.1 函数单调
2、性的定义与判别 第 3 讲 函数的单调性 第 36 页 调性的描述 单调性研究的是一个函数从图象上来看，到底是上升的，还是下降的，这是对某个区间而言的，这句话可以从两个方面理解：对于单一的一个点，由于它的函数值是唯一的常数，因而没有增减变化，不存在单调性问题 另一方面，中学阶段研究的函数主要是连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（当然，必须注意，对于在某些点上不连续或者无定义的函数，单调区间要把这些点排除）有些函数是在整个定义域内具有单调性，如一次函数；但有些函数在整个定义域上不单调，只在定义域的某些区间
3、上是单调函数 另外还有些函数没有单调区间，如前面说过的狄利克莱函数；或者有些函 数 的 定 义 域 根 本 就 不 是 区 间，如2012345yxx，所以，单调性是一个局部的性质，一般表达都是函数在定义域上或者在某个子区间上是单调增的 任何一个东西，你不仅要学会如何直观的理解，第 37 页 还要学会如何用数学语言去描述 用数学语言，怎样去描述一个函数在某区间上是单调增（减）的呢？1 一般地，设函数()yf x的定义域为D，区间ID：增函数：如果对于I上的任意两个自变量的值12xx，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就称函数()f x在区间I上是增函数；减函数：如果对于I上的任意
4、两个自变量的值12xx，当12xx时，都有12()()f xf x，那么就称函数()f x在区间I上是减函数；（注：B 版定义是：对于区间I中的任意两个值12xx，改变量210 xxx，则当21()()0yf xf x（0）时，就称函数()yf x在区间I上是增（减）函数我们从直观上引出单调性的概念，与 A 版的定义更契合，所以用了 A 版的单调性的定义；从证明单调性上来讲，B 版更直接）2单调性：如果函数()yf x在某个区间I上是增函数或减函数，那么就说函数()yf x在这个区间上具有单调性，区间I叫做()yf x的单调区间 例：函数2()23f xxx在(1，上单调递减（是减函数），在1
5、)，上单调递增（是增函数）或者说()f x的单调递减区间为(1，单调递增区间 第 38 页 为1)，【例1】已知定义在区间 44，上的函数()yf x的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数【解析】函数()yf x的单调区间有：42,，21,，1 1，13，34，其中在区间 21,，13，上是减函数，在区间 42,，1 1，34，上是增函数【备注】能不能说()yf x在区间 2113，上单调递减？不能，因为不满足前面的定义，如取11x ，23x，12xx，但12()()f xf x 再比如函数1()f xx，它在(0)，和(0)，上单调递减，但不能说它
6、的单调递减区间为(0)(0)，考点 2：单调性的严格证明 从本讲开始，我们去研究函数的性质时，我们一直按照下面的顺序进行：性质的定义直观数学表达常见函数的性质复合函数的性质 如：单调性在直观上：单调递增图象上升、单调经典精讲 知识点睛 第 39 页 递减图象下降；逐渐进行抽象：单调递增x增加，()f x也增加；单调递减x增加，()f x减小 数学表达（单调性的证明是高中第一个严格的证明）：在区间内任取12xx，比较12()()f xf x，的大小（注意是任取）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性，即“任意取1x，2x”，证明单调性时不可随意以两个特殊值替换；二是它们有大小；三是它
7、们同属于一个单调区间，三者缺一不可 用定义法判断或证明函数的单调性的关键在于比较12()()f xf x，的大小，这可以通过作差变形来实现于是我们得到定义法证明函数单调性的一般步骤：用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx 作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形 定号：确定差12()()f xf x（或21()()f xf x）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论 下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时 第 40 页 不要忘记说明区间 练习 1：()21f xx，证明()f x在R上单调递增 答案：取值：任
8、取12xx R，12xx，比较12()()f xf x，的大小，怎么比：作差121212()()(21)(21)2()0f xf xxxxx；结论：12xx，12()()f xf x，故()f x在R上单调递增 讲完上面的概念与小例子后，就可以让学生做例 2 了，例 2 的比较大小比较简单，但学生容易犯的错误是利用函数的性质直接给出大小关系，这是用定义证明单调性时常犯的错误例 3 的单调性的证明比较复杂，比较大小时需要用到立方和/差公式，需要进行补充【例2】证明：函数2()f xx在(0，上单调递减；证明：函数1()f xx在(0)，上单调递减【解析】第 1 步：任取120 xx 第 2 步：
9、22121212120f xf xxxxxxx 经典精讲 第 41 页 结论：12120()()xxf xf x，故()f x在(0，上单调递减；第 1 步：任取120 xx 第 2 步：2112211212121100 xxf xf xxxx xxxx x，结论：120 xx，12f xf x，()f x在(0)，上单调递减 用定义证明函数的单调性有个容易出错的地方，见下面的例子：证明函数 f xx在0)，上单调递增 错解：第一步：任取120 xx，第二步：12120f xf xxx 错因分析：你是不知道12xx的符号，所以你要论证它，你写120 xx，就意味着你利用了单调性，这是你要论证的
10、，但你还应用它，这就出现了循环论证 还有同学利用 2211f xxf xx，由211xx得到211xx这也是同样的问题，谁说1k，就有1k？你也是应用了单调性 就好像：不能你自己说自己是个好人，你就是好人，必须要用大家公认的来论证 正确论证：121212000 xxf xf xxx分子有理化（恒等式变形），这个过程就是一个恒等式变形、因式分解，第 42 页 化简的过程【例3】证明：函数3()f xx在定义域上是增函数 证明：函数2()3xg xx在区间12，上是减函数【解析】错解：函数3()f xx的定义域是R 设12xx R，且12xx，则331212()()f xf xxx 12xx，33
11、12xx，12()()0f xf x，即12()()f xf x 函数3yx在定义域上是增函数 错因分析：错在对3312xx的符号判定上，由12xx得3312xx，实际上是利用了3yx在R上是增函数这一性质 正解：设12,xx R，且12xx，则331212()()f xf xxx22121212xxxxx x22212123()024xxxxx.12()()f xf x，3()f xx在R上是增函数 任取1212xx，故12()()0g xg x，12()()g xg x，故()g x在区间12，上是减函数 初高衔接立方和与立方差公式 立方和公式 3322()()abab aabb；立方差公
12、式 3322()()abab aabb【例题】已知12xx，则331xx_ 第 43 页 已知1xy，则333xyxy的值为_【练习】已知12xx，则331xx_【拓展】实数ab，满足3331abab，则ab 【解析】1 或2 因为3331abab，所以2231abababab 所以31330abab abab 所以21 1310abababab ab，10ab或2210ababab；而2222111112222abababaabb 221122abab 只能有1ab，1ab或1ab 1ab或2ab 【拓展】讨论函数2()1axf xx（110 xa，）的单调性【解析】设1211xx，则211
13、2121122()(1)()()(1)(1)(1)(1)a xxx xf xf xxxxx，故0a 时，12()()f xf x，()f x为减函数；0a 时，12()()f xf x，()f x为增函数 对于单调性的证明，一般分成以下几个步骤：取点；作差；因式分解（最后要得到的形式是几个因式相乘或相除）；讨论符号；得结论其中最复杂的步骤是因式分解 有时不会让你证单调性，而是让你讨论得出单调区间这样的问题难度会大很多，以下的例子供目标 第 44 页 班选讲 例：1()f xxx，0 x，讨论()f x的单调性 解析：任取120 xx，注意12(0)xxA，要使得12xx，在同一区间，且121x
14、 x（或121x x）恒成立，需要将(0)，划分为：(01)，与(1)，当121xx，时，1210 x x ，12f xf x，f x在(1)，上单调递增；当1201xx，时，1210 x x ，12f xf x，f x在(01)，上单调递减 考点 3：利用单调性解简单的函数不等式 遇到函数不等式相关的问题都要往函数的单调性上思考，这样的问题还需要注意函数的定义域 【例4】已知函数()f x为R上的增函数，且(21)(2)fmf m，则m的取值范围是_ 函数()f x在(0)，上为减函数，那么2(23)f aa与(1)f的大小关系是_ 经典精讲 第 45 页【拓展】已知函数()f x为R上的减
15、函数，则下列各式正确的是（）A()(2)f afa B2()()f af a C2()()f aaf a D2(1)()f af a【解析】D 考点 4：常见函数的单调性 常见函数的单调性：1一次函数()f xkxb（0k），单调性由k决定，12xx，1212f xf xk xx，当0k 时，f x在R上单调递增；当0k 时，()f x在R上单调递减 2二次函数 20f xaxbxc a，当0a 时，f x在2ba，上单调递减，在2ba，上单调递增；当0a 时，f x在2ba，上单调递增，在2ba，上单调递减 二次函数的单调性以前是由图象直观得到的，现在我们来严格证明 任取1212xxxxR，
16、知识点睛 3.2 常见函数单调性 第 46 页 22121122f xf xaxbxcaxbxc（c没了，说明c不影响二次函数单调性）221212a xxb xx 1212xxa xxb（a的正负不确定，故把a也提出来）120 xx，当0a 时（何时12xx比ba大，就好比1x，2x都在哪个区间上能保证122xx）当122bxxa ，120bxxa，12f xf x，f x单调递增；当122bxxa，120bxxa，12f xf x，f x单调递减 在此过程中没有用到与图象有关的性质，不论函数怎样复杂，你会不会画图象，你都一样可以证明单调性，这是代数证明 二次函数单调性由a、b决定 当0a，f
17、 x在2ba，上单调递减，在2ba，上单调递增；当0a 时，f x在2ba，上单调递增，在2ba，上单调递减 练习 2：一个二次函数在05，上单调递增，在30，上单调递减，则它的对称轴为_ 答案：0 x 二次函数只会有 1 个单调性改变点 3反比例函数()kf xx，0k 当0k 时，f x在0，和0，上分别单调递减；第 47 页 当0k 时，f x在0，和0，上分别单调递增 以上三类函数的单调性的结论可以直接应用而且上一板块已经证明的结论：“3f xx单调递增”、“f xx单调递增”也可直接使用，不必证（除非原题就是要证明这个结论）关于单调性表达时，单调区间的端点问题：关于函数 2f xx的
18、单调区间问题，有四种正确的写法：第一种：f x在0，上单调递减，在0，上单调递增；第二种：()f x在(0，上单调递减，在(0)，上单调递增；第三种：()f x在0，上单调递减，在0)，上单调递增 第四种：()f x在0，上单调递减，在0)，上单调递增 目前尽量用后三种，课本在给出二次函数的单调区间时，A 版用的第二、三种，B 版用的第四种，高二以后多用第一种 经典精讲 第 48 页【例5】已知函数yax和byx 在区间(0)，上都是减函数，则函数1byxa在R上的单 调性是_(填增函数或减函数或非单调函数)已知函数2()(1)2f xax在()，上为减函数，则a的取值范围为_ 若函数2()2
19、012f xxax在(2)，上单调递减，在(2)，上单调递增，则a _ 若函数2()2(1)2f xxax在区间(4)，上为减函数，则a的取值范围是 【解析】增函数；1a 或1a ；4；3a【拓展】已知函数 213f xaxa xa在区间1，上递增，则a的取值范围是 考点 5：复合函数单调性 先回顾复合函数产生的过程：这个过程一共涉及 3 个函数：ug x，yf u，yfg x，三个完全不同的函数 现在要讨论复合函数的单调性，要讨论的是第 3 个函数 yfg x，也就是只需研究x和y 根据单调性的本质属性，若x增加，y也随着增加，则 fg x单调递增若x增加，y却随之减少，则 fg x单调知识
20、点睛 第 49 页 递减，由于x是经过双层作用才到达y的，所以 fg x的单调性将被g，f影响，下面来分析一下：若f单调递增，g单调递增，x和u之间的变化方向一致，u和y之间的变化方向一致，即x单调递增u单调递增y单调递增，故有：f单调递增，g单调递增 fg x单调递增 若f单调递减，g单调递减，则x单调递增u单调递减y单调递增，即f单调递减，g单调递减 fg x单调递增 f单调递增，g单调递减，则x单调递增u单调递减y单调递减，从而 fg x单调递减 f单调递减，g单调递增，则x单调递增u单调递增y单调递减，从而 fg x单调递减 结论：复合函数的单调性满足同增异减，当内层函数和外层函数的单
21、调性相同时，整个函数体现为增函数当内层函数和外层函数的单调性相反时，整个函数体现为减函数 复合函数的单调性问题，预习时我们只讨论外层函数在定义域上一直单调增或一直单调减的函数，这类函 第 50 页 数讨论起来容易很多，只需由内而外一层一层讨论即可对于外层函数有增有减的问题，我们会放到同步讨论，如外层函数是二次函数的问题 对于复合函数()yf g x的单调性，必须考虑函数()yf u与函数()ug x的单调性，函数()yf g x的单调性如下表：()yf u 增函数 增 函数 减函数 减 函数()ug x 增函数 减 函数 增函数 减 函数 ()yf g x 增函数 减 函数 减函数 增 函数
22、小结：同增异减 练习 3：判断函数1yx的单调性 答案：1ux，yu，考虑一个函数的单调性首先考虑什么？定义域 定义域为 1)，x增加，u增加，u增加，函数单调递增 经典精讲 第 51 页【例6】判断下列函数的单调性【解析】函数1yx在(1，上单调递减 函数15yx在区间(0)，和(0)，上都是单调递增 函数2145yxx在(2，上单调递增，在2，上单调递减 函数232yxx在(1，上单调递减，在2)，上单调递增 既然有双层的复合，如果一个人要为难你，就一定有多层的复合：【例7】判断函数324yx的单调性【解析】在定义域4，单调递减 单调递增的作用是保持：原来增大，现在还是增大；单调递减的作用
23、是改变：原来增大，现在减小若有两个减函数，则变成增大了，即两个减函数复合起来就是增函数，3 个减函数复合就成了单调递减，4 个减函数复合又成了单调递增，5 个减函数复合就成了单调递减，那能得到什么 第 52 页 样的规律？如果有奇数个减函数复合到一起就是减函数，如果有偶数个减函数复合到一起就是增函数【拓展】判断函数2312yx的单调性【解析】在定义域102，上单调递减【备注】如果学生不会解120 x，可以讲一下简单的分式不等式的解法 1 若函数()f x在区间13)，上是增函数，在区间35，上也是增函数，则函数()f x在区间15，上（）A必是增函数 B不一定是增函数 C必是减函数 D一定是增
24、函数或减函数【解析】B 某同学证明3()f xx在R上单调递增采取了如下思路：先证明()f x在(0)，上单调递增，再证明它在(0)，上单调递增，然后就得到了()f x在R上单调递增请问这种证明思路对吗？不对！对于程度比较好的学生，可以看看下面的问题：若函数211()21xxf xaxx，在R上是单调递增函数，则a的取值范围为_ 2如果函数2yax在1，上单调递增，求a的取值范围 第 53 页【解析】a的取值范围为(02，【演练 1】关于函数()(0)kf xkx的下列说法正确的是（）A()f x在(0)，上单调递减 B()f x在(0)，上单调递减 C()f x的单调增区间为(0)(0)，D
25、()f x的单调增区间为(0)，和(0)，【解析】D【演练 2】函数2()21f xxx 在区间 2011a，上是增函数，则a的取值范围为_【演练 3】证明：函数()f xx 在定义域上是减函数【解析】()f xx 的定义域为0，设120 xx 12()()0f xf x，即12()()f xf x()f xx 在它的定义域0,上是减函数【演练 4】已知()f x为R上的减函数，则满足1(1)ffx的实数x的取值范围是（）A(1)，B(1)，C(0)(01)，D(0)(1)，【解析】D；【演练 5】判断下列函数的单调性：【解析】函数15yx在区间(0)，和(0)，上都是单调递减 函数在(2，上
26、单调递减 实战演练 第 54 页 函数243yxx在12)，上单调递增，在23，上单调递减 1函数的单调性的定义：如果对于区间I上的_12xx，当12xx时，都有_，那么就称函数()f x在区间I上是增函数；如果对于区间I上的_12xx，当12xx时，都有_，那么就称函数()f x在区间I上是减函数；2常见函数的单调性：一次函数ykxb：0k 时，在_上是_函数；0k 时，在_上是_函数；二次函数2yaxbxc：0a 时，在_上单调递增，在_上单调递减；0a 时，在_上单调递增，在_上单调递减；反比例函数kyx：0k 时，在_上单调_；0k 时，在_上单调_；3复合函数的单调性 当()f x与()g x的单调性_时，()f g x单调递增；当()f x与()g x的单调性_时，()f g x单调递减 答案：1任意两个自变量的值、12()()f xf x；任意两个自变量的概念要点回顾 第 55 页 值、12()()f xf x；2 R，增；R，减；2ba，2ba，；2ba，2ba，(0)，和(0)，递减；(0)，和(0)，递增 3相同；相反