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1、 第1页（共58页）2017 年 01 月 22 日九年级圆中考题精选 一选择题（共 8 小题）1如图，已知 AC 是O 的直径,点 B 在圆周上（不与 A、C 重合），点 D 在 AC的延长线上,连接 BD 交O 于点 E，若AOB=3ADB，则（)ADE=EB BDE=EB CDE=DO DDE=OB 2如图,点 A、B、C 是圆 O 上的三点，且四边形 ABCO 是平行四边形，OFOC交圆 O 于点 F，则BAF 等于（）A12。5 B15 C20 D22.5 3圆内接四边形 ABCD 中,已知A=70，则C=(）A20 B30 C70 D110 4在公园的 O 处附近有 E、F、G、H
2、 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（）AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F 5如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1 个单位）选取 9 个格点（格线 第2页（共58页）的交点称为格点）如果以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有3 个在圆内，则 r 的取值范围为（）A2r Br3 Cr5 D5r 6在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是（）A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直 B若圆心到两条直线的距
3、离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4 个公共点 C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径 7ABC 是O 内接三角形，BOC=80,那么A 等于(）A80 B40 C140 D40或 140 8如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2设弦 AP 的长为 x，APO 的面积为 y,则下列图象中，能表示y 与 x 的函数关系的图象大致是(）A B C D 第3页（共58页）二填空题(共 5 小题)9点 A，B，C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD直线 BC，垂足为 D，直线 BE直线 AC，垂足
4、为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H若 BH=AC，则ABC 所对的弧长等于 （长度单位）10射线 QN 与等边ABC 的两边 AB,BC 分别交于点 M，N，且 ACQN,AM=MB=2cm，QM=4cm动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动,经过 t 秒，以点 P 为圆心，cm 为半径的圆与ABC 的边相切（切点在边上），请写出 t 可取的一切值 （单位：秒）11如图，点 A,B，C，D 都在O 上，的度数等于 84,CA 是OCD 的平分线，则ABD+CAO=12如图，已知ABC，AC=BC=6,C=90O 是 AB 的中点，O 与 AC，BC 分别
5、相切于点 D 与点 E点 F 是O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G则 CG=13如图，AB 为半圆的直径,C 是半圆弧上一点,正方形 DEFG 的一边 DG 在直径AB 上,另一边 DE 过ABC 的内切圆圆心 O，且点 E 在半圆弧上 若正方形的顶点 F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是 ；若正方形 DEFG 的面积为 100，且ABC 的内切圆半径 r=4，则半圆的直径 第4页（共58页）AB=三解答题(共 18 小题）14如图，在 RtABC 中，ACB=90AC=3,cosB=（1)先作ABC 的平分线交 AC 边于点 O,再以点 O 为圆
6、心，OC 为半径作O(要求:尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;(2）请你判断（1）中 AB 与O 的位置关系，证明你的结论,并求出 OC 的长 15如图 1，O 的半径为 r(r0）,若点 P在射线 OP 上，满足 OPOP=r2,则称点 P是点 P 关于O 的“反演点”如图 2，O 的半径为 4,点 B 在O 上,BOA=60，OA=8，若点 A,B分别是点A,B 关于O 的反演点,求 AB的长 16 在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l,函数 y=x,y=x 的图象分别是直线 l1，l2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线 l,l1，l2中的两条相切例如(,1）是其中一个圆 P
7、 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标；（2）在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心,求所得几何图形的周长 第5页（共58页）17如图，是数轴的一部分，其单位长度为 a，已知ABC 中，AB=3a，BC=4a，AC=5a（1)用直尺和圆规作出ABC(要求：使点 A，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记ABC 的外接圆的面积为 S圆,ABC 的面积为 S，试说明 18如图，AE 切O 于点 E，AT 交O 于点 M,N，线段 OE 交 AT 于点 C，OBAT 于点 B，已知 EAT=30,AE=3，MN=2（1)求COB 的度数；(2）求O 的半径 R；（3
8、）点 F 在O 上（是劣弧），且 EF=5，把OBC 经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比 19如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D 第6页（共58页）（1）求证:AC 平分DAB;（2）过点 O 作线段 AC 的垂线 OE，垂足为 E(要求：尺规作图，保留作图痕迹,不写作法）；（3）若 CD=4，AC=4，求垂线段 OE 的长 20如图,在ABC 中，AB=AC，以
9、AC 为直径作O 交 BC 于点 D,过点 D 作O的切线，交 AB 于点 E，交 CA 的延长线于点 F（1)求证：FEAB；（2）当 EF=6,=时,求 DE 的长 21如图,台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移动的速度为 40千米/时，受影响区域的半径为 260 千米，B 市位于点 P 的北偏东 75方向上，距离 P 点 480 千米（1)说明本次台风是否会影响 B 市；（2）若这次台风会影响 B 市,求 B 市受台风影响的时间 22如图，有一个圆 O 和两个正六边形 T1,T2 T1的 6 个顶点都在圆周上，T2的6 条边都和圆 O 相切（我们称 T1,T2分别为圆
10、 O 的内接正六边形和外切正六边形）第7页（共58页）（1）设 T1，T2的边长分别为 a，b，圆 O 的半径为 r，求 r：a 及 r：b 的值；(2）求正六边形 T1，T2的面积比 S1:S2的值 23如图，AB 为O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交于点 D，过点 D 作O 的切线,交 BA 的延长线于点 E(1)求证：ACDE;（2）连接 CD，若 OA=AE=a，写出求四边形 ACDE 面积的思路 24如图，AB 是O 的直径，过点 B 作O 的切线 BM，弦 CDBM，交 AB 于点 F，且=,连接 AC,AD，延长 AD 交 BM 于点 E(1）求证：ACD
11、是等边三角形;（2）连接 OE，若 DE=2，求 OE 的长 25在平面直角坐标系 xOy 中，C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点,点 P关于C 的反称点的定义如下:若在射线 CP 上存在一点 P,满足 CP+CP=2r，则称 P为点 P 关于C 的反称点,如图为点 P 及其关于C 的反称点 P的示意图 特别地,当点 P与圆心 C 重合时，规定 CP=0(1）当O 的半径为 1 时 分别判断点 M(2，1）,N(,0），T（1,)关于O 的反称点是否存在？若存在，第8页（共58页）求其坐标;点 P 在直线 y=x+2 上，若点 P 关于O 的反称点 P存在,且点 P不在 x 轴上，
12、求点 P 的横坐标的取值范围；（2)C 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=x+2与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B，若线段 AB 上存在点 P,使得点 P 关于C 的反称点 P在C 的内部，求圆心 C 的横坐标的取值范围 26如图，AB 是O 的直径,C 是的中点，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 BD 于点 F,AF 交O 于点 H,连接 BH(1）求证：AC=CD；(2）若 OB=2，求 BH 的长 27如图 AB 是O 的直径，PA，PC 与O 分别相切于点 A,C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延
13、长线于点 E（1)求证:EPD=EDO;（2）若 PC=6，tanPDA=，求 OE 的长 第9页（共58页）28对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和C,给出如下的定义：若C 上存在两个点 A、B，使得APB=60，则称 P 为C 的关联点已知点 D（，），E（0，2），F(2，0）（1）当O 的半径为 1 时,在点 D、E、F 中，O 的关联点是 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G,使GFO=30，若直线 l 上的点 P(m，n）是O 的关联点，求 m 的取值范围；(2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径 r 的取值范围 29已知：如图，AB 是O
14、的直径，C 是O 上一点，ODBC 于点 D，过点 C作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E,连接 BE（1）求证:BE 与O 相切；（2)连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9，sinABC=，求 BF 的长 第10页（共58页）30如图，在ABC，AB=AC，以 AB 为直径的O 分别交 AC、BC 于点 D、E，点F 在 AC 的延长线上，且CBF=CAB（1)求证:直线 BF 是O 的切线；（2)若 AB=5,sinCBF=，求 BC 和 BF 的长 31如图，在平面直角坐标系 xOy 中,我们把由两条射线 AE,BF 和以 AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形 C（注
15、：不含 AB 线段)已知 A(1，0），B（1，0），AEBF,且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上(1)求两条射线 AE，BF 所在直线的距离;(2）当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围；当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围；（3)已知AMPQ(四个顶点 A，M，P,Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C上，且不都在两条射线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围 第11页（共58页）2017 年 01 月 22 日九年级圆中考题精选 参考答案与试题解析 一选择题(共 8 小
16、题）1(2016杭州）如图，已知 AC 是O 的直径，点 B 在圆周上（不与 A、C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上,连接 BD 交O 于点 E,若AOB=3ADB,则（）ADE=EB BDE=EB CDE=DO DDE=OB【分析】连接 EO，只要证明D=EOD 即可解决问题【解答】解:连接 EO OB=OE，B=OEB，OEB=D+DOE,AOB=3D,B+D=3D，D+DOE+D=3D，DOE=D，ED=EO=OB,故选 D A、错误假设 DE=EB，则EOB 是等边三角形，则AOB=3D=90，OBAD，显然与题目不符 B、错误假设DE=EB，则EOB 是等腰直角三角形,则AOB
17、=3D=67.5,显然与题目不符 C、错误假设DE=EB,则EOB 是等腰三角形，且底角B=30，则AOB=45,显然不符合题意 第12页（共58页）【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识,解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型 2（2016泰安）如图，点 A、B、C 是圆 O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形，OFOC 交圆 O 于点 F，则BAF 等于（）A12。5 B15 C20 D22.5【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB 为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到BOF=AOF=30，根据圆周角定理计算即可
18、【解答】解:连接 OB，四边形 ABCO 是平行四边形，OC=AB,又 OA=OB=OC，OA=OB=AB,AOB 为等边三角形,OFOC，OCAB,OFAB,BOF=AOF=30,由圆周角定理得BAF=BOF=15，故选：B 第13页（共58页）【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键 3(2015杭州)圆内接四边形 ABCD 中,已知A=70，则C=（）A20 B30 C70 D110【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解【解答】解：四边形 ABCD 为
19、圆的内接四边形,A+C=180，C=18070=110 故选 D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 4（2016宜昌）在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木,则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（)AE、F、G BF、G、H CG、H、E DH、E、F【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH 然后和 OA 比较大小最后得到哪些树需要移除【解答】解:OA=，第14页（共58页）OE=2OA，所以点 E 在O 内，OF=2OA
20、，所以点 F 在O 内，OG=1OA，所以点 G 在O 内，OH=2OA，所以点 H 在O 外，故选 A【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离,比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键 点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径,点在圆内 5（2016连云港)如图，在网格中（每个小正方形的边长均为 1 个单位)选取 9个格点（格线的交点称为格点）如果以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（）A2r Br3 Cr5 D5r【分析】如图求出 AD、AB、AE、AF
21、 即可解决问题【解答】解：如图,AD=2，AE=AF=，AB=3,ABAEAD，r3时，以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3个在圆内,故选 B 第15页（共58页）【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意,属于中考常考题型 6（2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于
22、圆的半径【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可【解答】解:A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时,两条直线可能垂直,故本选项错误；B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；C、两条不平行弦所在直线可能有一个交点,故本选项正确;D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，故选 C【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系 7（2016惠阳区一模）ABC 是O 内接三角形，BOC=80,那么A 等于（）A80 B40 C140 D40或 140【分析】因为点 A 可能在优弧 BC 上，也可能在劣弧 BC 上,则根
23、据圆周角定理,得BAC=40或 140 第16页（共58页）【解答】解：应分为两种情况：点 A 在优弧 BC 上时，BAC=40；点 A 在劣弧 BC 上时,BAC=140；所以BAC 的大小为 40或 140 故选 D【点评】本题主要考查了圆周角定理 能够注意到此题的两种情况是解题的关键 8（2013北京）如图,点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2设弦 AP 的长为 x,APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（)A B C D【分析】作 OCAP,根据垂径定理得 AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=,然后根据三角形面积
24、公式得到 y=x（0 x2），再根据解析式对四个图形进行判断【解答】解:作 OCAP,如图，则 AC=AP=x,在 RtAOC 中，OA=1,OC=，所以 y=OCAP=x(0 x2),所以 y 与 x 的函数关系的图象为 A 选项 故选：A 第17页（共58页）排除法：很显然，并非二次函数，排除 B 选项；采用特殊位置法;当 P 点与 A 点重合时，此时 AP=x=0，SPAO=0；当 P 点与 B 点重合时，此时 AP=x=2,SPAO=0；当 AP=x=1 时，此时APO 为等边三角形，SPAO=;排除 B、C、D 选项，故选：A 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到
25、与动点有关的两变量之间的函数关系,然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围 二填空题(共 5 小题）9（2014杭州)点 A，B，C 都在半径为 r 的圆上，直线 AD直线 BC，垂足为 D，直线 BE直线 AC，垂足为 E，直线 AD 与 BE 相交于点 H 若 BH=AC，则ABC所对的弧长等于 r 或r(长度单位）【分析】作出图形，根据同角或等角的余角相等求出H=C，再根据两角对应相等，两三角形相似求出ACD 和BHD 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出，再利用锐角三角函数求出ABC,然后根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍求出ABC 所
26、对的弧长所对的圆心角,然后利用弧长公式列式计算即可得解【解答】解：如图 1，ADBC，BEAC，H+DBH=90，C+DBH=90，H=C，第18页（共58页）又BDH=ADC=90，ACDBHD，=,BH=AC,=，ABC=30,ABC 所对的弧长所对的圆心角为 302=60,ABC 所对的弧长=r 如图 2，当ABC=150时，则ABC 所对的弧长所对的圆心角为 300，ABC 所对的弧长=r 故答案为:r 或r 【点评】本题考查了弧长的计算,圆周角定理，相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值，判断出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观 10(2013杭州）射线 QN 与等边AB
27、C 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心，cm 为半径的圆与ABC 的边相切(切点在边上），请写出 t 可取的一切值 t=2 或 3t7 或 t=8（单位：秒）第19页（共58页）【分析】求出 AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况:画出图形，结合图形求出即可;【解答】解：ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60，QNAC,AM=BM N 为 BC 中点，MN=A
28、C=2cm,BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：如图 1，当P 切 AB 于 M时，连接 PM,则 PM=cm，PMM=90，PMM=BMN=60，MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm2cm=2cm，即 t=2；如图 2,当P 于 AC 切于 A 点时，连接 PA，则CAP=APM=90，PMA=BMN=60，AP=cm，PM=1cm，第20页（共58页）QP=4cm1cm=3cm，即 t=3,当P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC，则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60，CP=cm，PN=1cm，QP=4cm+2cm+1cm=7cm,即当 3t7 时，P 和 A
29、C 边相切；如图 3，当P 切 BC 于 N时，连接 PN 则 PN=cm,PNN=90，PNN=BNM=60,NN=1cm,PN=2NN=2cm，QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即 t=8；注意：由于对称性可知，当 P 点运动到 AB 右侧时也存在P 切 AB,此时 PM 也是为 2，即 P 点为 N 点,同理可得 P 点在 M 点时，P 切 BC这两点都在第二种情况运动时间内 故答案为：t=2 或 3t7 或 t=8 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角 第21页（共58页）的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能
30、力，注意要进行分类讨论啊 11（2011杭州）如图，点 A,B，C，D 都在O 上，的度数等于 84,CA 是OCD 的平分线，则ABD+CAO=48 【分析】在等腰OAC 和OCD 中，根据等腰三角形的两个底角相等的性质求得OCD=ODC、CAO=OCA,所以由三角形的内角和求得OCD=48；然后根据角平分线的性质求得OCA=ACD=24；最后由圆周角定理知：ABD=AOD，OCA=AOD所以ABD=CAO，进而求得ABD+CAO=48【解答】解：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等，的度数等于 84，即COD=84；在COD 中，OC=OD(O 的半径），OCD=ODC（等边对等角）；又CO
31、D+OCD+ODC=180,OCD=48；而 CA 是OCD 的平分线，OCA=ACD，OCA=ACD=24;在AOC 中，OA=OC(O 的半径），CAO=OCA(等边对等角）;ABD=AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），DCA=AOD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），ABD=DCA，第22页（共58页）ABD+CAO=48;故答案为：48【点评】本题综合考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系解答此题的关键点是利用“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”求得COD=84 12(2010杭州）如图，已知ABC，AC=BC=6，C=90O 是 AB 的中点,O与 AC，BC 分
32、别相切于点 D 与点 E点 F 是O 与 AB 的一个交点,连 DF 并延长交CB 的延长线于点 G则 CG=3+3 【分析】连接 OD，则 ODAC、ODCB，易证得 OD 是ABC 的中位线,则 OD=3；由此可求得 OF、BF 的长；根据 ODCB，可证得ODF、BFG 都是等腰三角形，所以 BF=BG=33，再由 CG=BC+BG 即可求出 CG 的长【解答】解:连接 OD，则 ODAC;C=90,ODCB;O 是 AB 的中点,OD 是ABC 的中位线，即 OD=BC=3;AC=BC=6，C=90，AB=6，则 OB=3，ODCG,ODF=G;OD=OF，则ODF=OFD，BFG=O
33、FD=G，BF=BG=OBOF=33，CG=BC+BG=6+33=3+3 第23页（共58页）【点评】此题主要考查了切线的性质，三角形中位线定理及等腰三角形的性质等知识的综合应用，能够发现BFG 是等腰三角形是解答此题的关键 13（2009杭州）如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点,正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过ABC 的内切圆圆心 O，且点 E 在半圆弧上 若正方形的顶点 F 也在半圆弧上,则半圆的半径与正方形边长的比是：2；若正方形DEFG 的面积为 100，且ABC 的内切圆半径 r=4，则半圆的直径 AB=21 【分析】根据圆和正方形的对称性
34、可知：GH=DG=GF,在直角三角形 FGH 中,利用勾股定理可得 HF=，从而用含 a 的代数式表示半圆的半径为a，正方形边长为 2a，所以可求得半圆的半径与正方形边长的比；连接 EB、AE,OH、OI，可得 OHCI 是正方形，且边长是 4,可设 BD=x，AD=y，则BD=BH=x,AD=AI=y，分别利用直角三角形 ABC 和直角三角形 AEB 中的勾股定理和相似比作为相等关系列方程组求解即可求得半圆的直径 AB=21【解答】解:如图，根据圆和正方形的对称性可知：GH=DG=GF，H 为半圆的圆心，不妨设 GH=a，则 GF=2a，在直角三角形 FGH 中，由勾股定理可得 HF=由此可
35、得,半圆的半径为a，正方形边长为 2a，所以半圆的半径与正方形边长的比是a:2a=：2；第24页（共58页）因为正方形 DEFG 的面积为 100，所以正方形 DEFG 边长为 10 连接 EB、AE,OI、OJ，AC、BC 是O 的切线，CJ=CI，OJC=OIC=90，ACB=90，四边形 OICJ 是正方形，且边长是 4,设 BD=x,AD=y，则 BD=BI=x，AD=AJ=y，在直角三角形 ABC 中，由勾股定理得（x+4)2+（y+4)2=(x+y）2;在直角三角形 AEB 中，AEB=90,EDAB，ADEBDEABE，于是得到 ED2=ADBD，即 102=xy 解式和式，得
36、x+y=21，即半圆的直径 AB=21 【点评】本题综合考查了圆、三角形、方程等知识,是一道综合性很强的题目,难度偏上,需要正确理解相关知识点及懂得运用方能很好的解答本题 三解答题（共 18 小题）14（2015杭州模拟）如图,在 RtABC 中，ACB=90AC=3，cosB=（1）先作ABC 的平分线交 AC 边于点 O,再以点 O 为圆心,OC 为半径作O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;第25页（共58页）（2）请你判断（1）中 AB 与O 的位置关系,证明你的结论，并求出 OC 的长 【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出 BO,进而以点 O 为圆心，OC 为半径作O 即
37、可；（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可【解答】解：（1）如图所示：；(2）相切；过 O 点作 ODAB 于 D 点，BO 平分ABC，OC=OD，即 d=r,O 与直线 AB 相切,ACB=90，AC=3,BC=4，AB=5 A=A，ADC=C，AODABC，,，即 OC=【点评】此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键 15(2015杭州）如图 1，O 的半径为 r（r0），若点 P在射线 OP 上,满足OPOP=r2，则称点 P是点 P 关于O 的“反演点”如图 2，O 的半径为 4,点 B 在O 上，
38、BOA=60，OA=8，若点 A，B分别是点 A，B 关于O 的反演点，求 AB的长 第26页（共58页）【分析】设 OA 交O 于 C,连结 BC，如图 2，根据新定义计算出 OA=2，OB=4,则点 A为 OC 的中点，点 B 和 B重合，再证明OBC 为等边三角形，则 BAOC，然后在 RtOAB中,利用正弦的定义可求 AB的长【解答】解:设 OA 交O 于 C,连结 BC,如图 2，OAOA=42，而 r=4,OA=8，OA=2，OBOB=42，OB=4，即点 B 和 B重合，BOA=60，OB=OC，OBC 为等边三角形,而点 A为 OC 的中点，BAOC，在 RtOAB中，sinA
39、OB=，AB=4sin60=2 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了阅读理解能力 16(2014杭州）在直角坐标系中，设 x 轴为直线 l，函数 y=x，y=x 的图象分别是直线 l1,l2，圆 P（以点 P 为圆心，1 为半径）与直线 l，l1，l2中的两条相 第27页（共58页）切例如（，1）是其中一个圆 P 的圆心坐标（1）写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标；(2）在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长 【分析】（1）对圆 P 与直线 l 和 l2都
40、相切、圆 P 与直线 l 和 l1都相切、圆 P 与直线 l1和 l2都相切三种情况分别考虑，利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标（2）由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形，它的所有的边都相等只需求出其中的一条边就可以求出它的周长【解答】解：(1）若圆 P 与直线 l 和 l2都相切，当点 P 在第四象限时，过点 P 作 PHx 轴，垂足为 H,连接 OP，如图 1 所示 设 y=x 的图象与 x 轴的夹角为 当 x=1 时，y=tan=第28页（共58页）=60 由切线长定理得：POH=（18060)=60 PH=1，tanPOH=OH=点 P 的坐标为(，
41、1)同理可得：当点 P 在第二象限时,点 P 的坐标为（，1)；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（,1）；若圆 P 与直线 l 和 l1都相切，如图 2 所示 同理可得：当点 P 在第一象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第二象限时，点 P 的坐标为(,1）；当点 P 在第三象限时，点 P 的坐标为（，1）；当点 P 在第四象限时，点 P 的坐标为(，1）若圆 P 与直线 l1和 l2都相切,如图 3 所示 第29页（共58页）同理可得：当点 P 在 x 轴的正半轴上时，点 P 的坐标为（，0）;当点 P 在 x 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（,0）；当点 P 在 y 轴
42、的正半轴上时,点 P 的坐标为(0,2）；当点 P 在 y 轴的负半轴上时，点 P 的坐标为（0，2）综上所述：其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有：（，1)、(，1）、(，1)、（,1）、(，1）、（,1）、（,1）、（,0）、（，0）、(0，2)、(0,2)（2）用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4 所示 由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形,第30页（共58页）由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等 该图形的周长=12（）=8【点评】本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识，考查了作图的能力，培养了学生的审美意识，是一道好题 17(2012杭州）如图,是
43、数轴的一部分,其单位长度为 a,已知ABC 中，AB=3a，BC=4a，AC=5a（1）用直尺和圆规作出ABC(要求：使点 A，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法）；（2）记ABC 的外接圆的面积为 S圆，ABC 的面积为 S，试说明 【分析】（1)在数轴上截取 AC=5a，再以 A,C 为圆心 3a,4a 为半径，画弧交点为 B；（2)利用ABC 的外接圆的面积为 S圆，根据直角三角形外接圆的性质得出 AC 为外接圆直径，求出的比值即可【解答】解：(1）如图所示：(2）ABC 的外接圆的面积为 S圆，S圆=（）2=，ABC 的面积 SABC=3a4a=6a2，=第31页（共58页）【点
44、评】此题主要考查了复杂作图以及直角三角形外接圆的性质，根据已知得出外接圆直径为 AC 是解题关键 18(2012杭州）如图，AE 切O 于点 E,AT 交O 于点 M，N，线段 OE 交 AT于点 C，OBAT 于点 B,已知EAT=30，AE=3，MN=2(1）求COB 的度数；（2）求O 的半径 R；（3)点 F 在O 上（是劣弧）,且 EF=5,把OBC 经过平移、旋转和相似变换后,使它的两个顶点分别与点 E，F 重合 在 EF 的同一侧,这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比 【分析】（1）由 A
45、E 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直，又 OB 与AT 垂直,可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC 与三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A 相等，由A 的度数即可求出所求角的度数；(2）在直角三角形 AEC 中,由 AE 及 tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出 CE 的长，再由 OB 垂直于 MN，由垂径定理得到 B 为 MN 的中点,根据 MN 的长求出MB 的长，在直角三角形 OBM 中,由半径 OM=R，及 MB 的长，利用勾股定理表示出 OB 的长，在直角三角形 OBC 中，
46、由表示出 OB 及 cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出 OC,用 OEOC=EC 列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径 第32页（共58页）R 的值；（3）把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E，F 重合，在 EF 的同一侧，这样的三角形共有 3 个延长 EO 与圆交于点 D,连接 DF,如图所示，由第二问求出半径，的长直径ED 的长，根据 ED 为直径,利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形 EFD 为直角三角形，由FDE 为 30，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，表示出三角形 EFD 的周长,再由第二问求出的三角形OBC 的三边表示出三角形 B
47、OC 的周长,即可求出两三角形的周长之比【解答】解：（1）AE 切O 于点 E，AECE，又 OBAT,AEC=CBO=90，又BCO=ACE,AECOBC，又A=30，COB=A=30；（2）AE=3，A=30,在 RtAEC 中，tanA=tan30=，即 EC=AEtan30=3,OBMN，B 为 MN 的中点，又 MN=2，MB=MN=，连接 OM，在MOB 中，OM=R,MB=，OB=，在COB 中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC，OC=OB=，又 OC+EC=OM=R，R=+3，整理得：R2+18R115=0，即(R+23)（R5）=0，第33页（共58页）解
48、得：R=23（舍去）或 R=5，则 R=5；（3）以 EF 为斜边,有两种情况，以 EF 为直角边,有四种情况，所以六种，画直径 FG，连接 EG，延长 EO 与圆交于点 D，连接 DF，如图所示:EF=5，直径 ED=10，可得出FDE=30，FD=5，则 CEFD=5+10+5=15+5，由（2)可得 CCOB=3+，CEFD:CCOB=（15+5）：（3+）=5：1 EF=5，直径 FG=10,可得出FGE=30，EG=5，则 CEFG=5+10+5=15+5,CEFG：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1【点评】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含
49、30直角三角形的性质，平移及旋转的性质,以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键 19（2011贺州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D(1）求证：AC 平分DAB;（2）过点 O 作线段 AC 的垂线 OE,垂足为 E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若 CD=4,AC=4，求垂线段 OE 的长 第34页（共58页）【分析】（1）连接 OC,由 CD 为圆 O 的切线，根据切线性质得到 OC 与 CD 垂直，又 AD 与 CD 垂直，根据平面上垂直于同一条直线的两直线平行得到 AD 与 OC 平行，由平行得一
50、对内错角相等，又因为两半径 OA 与 OC 相等，根据等边对等角，得到一对相等的角，利用等量代换，即可得到DAC=OAC,即 AC 为DAB 的平分线；(2）以 O 为圆心，以大于 O 到 AC 的距离为半径画弧，与 AC 交于两点,分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半长为半径在 AC 的另一侧画弧,两弧交于一点，经过此点与点 O 确定一条直线，即为所求的直线,如图所示;（3）在直角三角形 ACD 中,由 CD 和 AC 的长，利用勾股定理求出 AD 的长,再根据垂径定理,由 OE 与 AC 垂直,得到 E 为 AC 中点，求出 AE 的长，由（1）推出的角平分线得一对角相等，再由一