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1、等腰三角形典型例题练习 一选择题共 2 小题 1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，假设 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为 A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定 2如图，C 是线段 AB 上的任意一点端点除外，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD 和等边BCE，连接 AE 交 CD 于 M，连接BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BD=CM MNAB 其中正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 二填空题共 1 小题 3 如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DEA
2、C，EFAB，FDBC，则DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 _ 三解答题共 15 小题 4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且EDF+EAF=180，求证 DE=DF 5在ABC 中，ABC、ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明 DE=BD+EC 6：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由 7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至 E，使CE=CD连接 DE 1E 等
3、于多少度？2DBE 是什么三角形？为什么？8如图，在ABC 中，ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30求证：AB=4BD 9如图，ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF 10等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE 11 2012*如图，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 AP PEAB
4、，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH 又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCH AB=AC，PE+PF=CH 1如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并加以证明：2填空：假设A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=_ 点P 到 AB 边的距离 PE=_ 12数学课上，李教师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上
5、，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由 小敏与同桌小聪讨论后，进展了如下解答：1特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE _ DB填“，“或“=2特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE _ DB填“，“或“=理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC 假设ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD
6、的长请你直接写出结果 13：如图，AF 平分BAC，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上，ED=EA，点P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点 M假设BAC=2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由 14 如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F 1线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论 2求BFD 的度数 15如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF 和 CF，求证：AE=CF 16：如图，在OAB 中，A
7、OB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由 17 2006*如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为 E，F，CG 是 AB 边上的高 1DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；2假设 D 在底边的延长线上，1中的结论还成立吗？假设不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 18如图甲所示，在ABC 中，AB=AC，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P点到两腰的距离之和等于定长腰上的高，即 PD+PE=CF，假设 P 点在BC
8、的延长线上，则请你猜测 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜测并加以证明 等腰三角形典型例题练习 参考答案与试题解析 一选择题共 2 小题 1如图，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D，假设 BC=5cm，BD=3cm，则点 D 到 AB 的距离为 A 5cm B 3cm C 2cm D 不能确定 考点：角平分线的性质 分析：由条件进展思考，结合利用角平分线的性质可得点 D 到 AB 的距离等于 D 到 AC 的距离即 CD 的长，问题可解 解答：解：C=90，AD 平分BAC 交 BC 于 D D 到 AB 的距离即为 CD 长 CD=53=2 应选 C 2如图，
9、C 是线段 AB 上的任意一点端点除外，分别以 AC、BC 为边并且在 AB 的同一侧作等边ACD 和等边BCE，连接 AE 交 CD 于 M，连接BD 交 CE 于 N给出以下三个结论：AE=BD=CMMNAB 其中正确结论的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 分析：由ACD 和BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得ACEDCB，即可得正确；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=M=60，利用 ASA，可证得ACMD，即可得正确；又可证得CMN 是等边三角形，即可证得正确 解答：解：ACD 和BCE 是等边
10、三角形，ACD=BCE=60，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=DCE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCBSAS，AE=BD，故正确；EAC=NDC，ACD=BCE=60，DCE=60，ACD=M=60，AC=DC，ACMDASA，CM=，故正确；又M=180MCANCB=1806060=60，CMN 是等边三角形，NMC=ACD=60，MNAB，故正确应选 D 二填空题共 1 小题 3 如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC，AB 上的点，DEAC，EFAB，FDBC，则DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的
11、判定与性质；等边三角形的性质 分析：首先根据题意求得：DFE=FED=EDF=60，即可证得DEF 是正三角形，又由直角三角形中，30所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得 DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果 解答：解：ABC 是正三角形，B=C=A=60，DEAC，EFAB，FDBC，AFE=CED=BDF=90，BFD=CDE=AEF=30，DFE=FED=EDF=60，DEF 是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，=，DF：AB=1：，DEF 的面积与ABC 的面积之比等于 1：3 故答案为：1：3 三解答题共 15
12、 小题 4在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且EDF+EAF=180，求证 DE=DF 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义 分析：过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的内角和定理和平角定义求出AED=CFD，根据全等三角形的判定 AAS 推出EMDFND 即可 解答：证明：过 D 作 DMAB，于 M，DNAC 于 N，即EMD=FND=90，AD 平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN角平分线性质，DME=DNF=90，EAF+EDF=180，MED+AFD=360180=180，A
13、FD+NFD=180，MED=NFD，在EMD 和FND 中，EMDFND，DE=DF 5在ABC 中，ABC、ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E请说明 DE=BD+EC 考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质 分析：根据 OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，和 DEBC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出 DB=DO，OE=EC 然后即可得出答案 解答：解：在ABC 中，OB 和 OC 分别平分ABC 和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=E
14、C，DE=DO+OE，DE=BD+EC 6：如图，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F，且 DE=DF请判断ABC 是什么三角形？并说明理由 考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质 分析：用HL证明EBDFCD，从而得出EBD=FCD，即可证明ABC 是等腰三角形 解答：ABC 是等腰三角形 证明：连接 AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90，且 DE=DF，D 是ABC 的 BC 边上的中点，BD=DC，RtEBDRtFCDHL，EBD=FCD，ABC 是等腰三角形 7如图，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的高，延长 BC 至
15、E，使CE=CD连接 DE 1E 等于多少度？2DBE 是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定 分析：1由题意可推出ACB=60，E=CDE，然后根据三角形外角的性质可知：ACB=E+CDE，即可推出E 的度数；2根据等边三角形的性质可知，BD 不但为 AC 边上的高，也是ABC 的角平分线，即得：DBC=30，然后再结合1中求得的结论，即可推出DBE 是等腰三角形 解答：解：1ABC 是等边三角形，ACB=60，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，2ABC 是等边三角形，BDAC，ABC=60，E=30，DBC=E，DBE 是等腰三角形 8如图，在ABC 中，
16、ACB=90，CD 是 AB 边上的高，A=30求证：AB=4BD 考点：含 30 度角的直角三角形 分析：由ABC 中，ACB=90，A=30可以推出 AB=2BC，同理可得 BC=2BD，则结论即可证明 解答：解：ACB=90，A=30，AB=2BC，B=60 又CDAB，DCB=30，BC=2BDAB=2BC=4BD 9如图，ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且BD=CE，DE 与 BC 相交于点 F求证：DF=EF 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 分析：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，由平行线的性质得1=2，4=3，再根据
17、等腰三角形的性质可得B=2，则B=1，于是有 DB=DG，根据全等三角形的判定易得DFGEFC，即可得到结论 解答：证明：过 D 点作 DGAE 交 BC 于 G 点，如图，1=2，4=3，AB=AC，B=2，B=1，DB=DG，而 BD=CE，DG=CE，在DFG 和EFC 中，DFGEFC，DF=EF 10等腰直角三角形 ABC，BC 是斜边B 的角平分线交 AC 于 D，过 C作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E，求证：BD=2CE 考点：全等三角形的判定与性质 分析：延长 CE，BA 交于一点 F，由条件可证得BFE 全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明AD
18、BFAC可得FC=BD，所以 BD=2CE 解答：证明：如图，分别延长 CE，BA 交于一点 F BEEC，FEB=CEB=90，BE 平分ABC，FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE ASA FE=CE CF=2CE AB=AC，BAC=90，ABD+ADB=90，ADB=EDC，ABD+EDC=90 又DEC=90，EDC+ECD=90，FCA=DBC=ABD ADBAFCFC=DB，BD=2EC 11 2012*如图，ABC 中AB=AC，P 为底边 BC 上一点，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分别为 E、F、H易证 PE+PF=CH证明过程如下：如图，连接 AP PEAB，P
19、FAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH 又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCH AB=AC，PE+PF=CH 1如图，P 为 BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并加以证明：2填空：假设A=30，ABC 的面积为 49，点 P 在直线 BC 上，且 P到直线 AC 的距离为 PF，当 PF=3 时，则 AB 边上的高 CH=7 点 P 到AB 边的距离 PE=4 或 10 考点：等腰三角形的性质；三角形的面积 分析：1 连接 AP 先根据三角形的面积公式分别表示出 SABP，SAC
20、P，SABC，再由 SABP=SACP+SABC即可得出 PE=PF+PH；2 先根据直角三角形的性质得出 AC=2CH，再由ABC 的面积为 49，求出 CH=7，由于 CHPF，则可分两种情况进展讨论：P为底边 BC 上一点，运用结论 PE+PF=CH；P 为 BC 延长线上的点时，运用结论 PE=PF+CH 解答：解：1如图，PE=PF+CH证明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；2在ACH 中，A=30，AC=2CH SABC=ABCH
21、，AB=AC，2CHCH=49，CH=7 分两种情况：P 为底边 BC 上一点，如图 PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P 为 BC 延长线上的点时，如图 PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案为 7；4 或 10 12数学课上，李教师出示了如下的题目：“在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC，如图，试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由 小敏与同桌小聪讨论后，进展了如下解答：1特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB填“，“或“
22、=2特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE=DB填“，“或“=理由如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F 请你完成以下解答过程 3拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC 假设ABC 的边长为 1，AE=2，求 CD 的长请你直接写出结果 考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 分析：1根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30，求出DEB=30，求出 BD=BE 即可；2 过 E 作 EFBC 交 AC 于 F
23、，求出等边三角形 AEF，证DEB和ECF 全等，求出 BD=EF 即可；3当 D 在 CB 的延长线上，E 在 AB 的延长线式时，由2求出 CD=3，当 E 在 BA 的延长线上，D 在 BC 的延长线上时，求出CD=1 解答：解：1故答案为：=2过 E 作 EFBC 交 AC 于 F，等边三角形 ABC，ABC=ACB=A=60，AB=AC=BC，AEF=ABC=60，AFE=ACB=60，即AEF=AFE=A=60，AEF 是等边三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB=AFE=60，DBE=EFC=120，D+BED=FCE+ECD=60，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在D
24、EB 和ECF 中，DEBECF，BD=EF=AE，即 AE=BD，故答案为：=3解：CD=1 或 3，理由是：分为两种情况：如图 1 过 A 作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，=1+=，CD=2=3；如图 2，作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N，则 AMEM，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2，AMEN，=，=，MN=1，=1=，C
25、D=2=1 13：如图，AF 平分BAC，BCAF 于点 E，点 D 在 AF 上，ED=EA，点P 在 CF 上，连接 PB 交 AF 于点 M假设BAC=2MPC，请你判断F 与MCD 的数量关系，并说明理由 考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM 和PMF中根据三角形的内角和定理求出即可 解答：解：F=MCD，理由是：AF 平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90，在ACE 和ABE 中，ACEABEASAA
26、B=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分线，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA，MPF=CDM，MPF=CDM等角的补角相等，DCM+CMD+CDM=180，F+MPF+PMF=180，又PMF=BMA=CMD，MCD=F 14 如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F 1线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论 2求BFD 的度数 考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 分析：1根
27、据等边三角形的性质可知BAC=C=60，AB=CA，结合 AE=CD，可证明ABECAD，从而证得结论；2根据BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60 解答：1 证明：ABC为等边三角形，BAC=C=60，AB=CA 在ABE 和CAD 中，ABECADAD=BE 2解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60 15如图，在ABC 中，AB=BC，ABC=90，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，BE=BF，连接 AE、EF 和 CF，求证：AE=CF 考点：全等三角形的判定与性质 分析：根
28、据利用 SAS 即可判定ABECBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到 AE=CF 解答：证明：ABC=90，ABE=CBF=90，又AB=BC，BE=BF，ABECBFSAS AE=CF 16：如图，在OAB 中，AOB=90，OA=OB，在EOF 中，EOF=90，OE=OF，连接 AE、BF问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 分析：可以把要证明相等的线段 AE，CF 放到AEO，BFO 中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得 AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去BOE 的结果，当然相等了，由此可以证
29、明AEOBFO；延长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，可证明BDA=AOB=90，则 AEBF 解答：解：AE 与 BF 相等且垂直，理由：在AEO 与BFO 中，RtOAB 与 RtOEF 等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90BOE=BOF，AEOBFO，AE=BF 延长 BF 交 AE 于 D，交 OA 于 C，则ACD=BCO，由1知OAE=OBF，BDA=AOB=90，AEBF 17 2006*如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 上任意一点，过 D 分别向 AB，AC 引垂线，垂足分别为 E，F，CG 是 AB 边上的高 1DE，DF，CG 的长之间
30、存在着怎样的等量关系？并加以证明；2假设 D 在底边的延长线上，1中的结论还成立吗？假设不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 考点：等腰三角形的性质 分析：1连接 AD，根据三角形 ABC 的面积=三角形 ABD 的面积+三角形 ACD 的面积，进展分析证明；2类似1的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积三角形ACD的面积 解答：解：1DE+DF=CG 证明：连接 AD，则 SABC=SABD+SACD，即 ABCG=ABDE+ACDF，AB=AC，CG=DE+DF 2当点 D 在 BC 延长线上时，1中的结论不成立，但有 DEDF=CG 理
31、由：连接 AD，则 SABD=SABC+SACD，即ABDE=ABCG+ACDF AB=AC，DE=CG+DF，即 DEDF=CG 同理当 D 点在 CB 的延长线上时，则有 DEDF=CG，说明方法同上 18如图甲所示，在ABC 中，AB=AC，在底边 BC 上有任意一点 P，则 P点到两腰的距离之和等于定长腰上的高，即 PD+PE=CF，假设 P 点在BC 的延长线上，则请你猜测 PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你的猜测并加以证明 考点：等腰三角形的性质；三角形的面积 分析：猜测：PD、PE、CF 之间的关系为 PD=PE+CF根据SPAB=ABPD，SPAC=ACPE，SCAB=ABCF，SPAC=ACPE，ABPD=ABCF+ACPE，即可求证 解答：解：我的猜测是：PD、PE、CF 之间的关系为 PD=PE+CF理由如下：连接 AP，则 SPAC+SCAB=SPAB，SPAB=ABPD，SPAC=ACPE，SCAB=ABCF，又AB=AC，SPAC=ABPE，ABPD=ABCF+ABPE，即 ABPE+CF=ABPD，PD=PE+CF