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1、1 / 15【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-74-7 解三角形的综合应用教师用书理新人教解三角形的综合应用教师用书理新人教1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)【知识拓展】1三角形的面积公式：S (p)，Srp(R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p)2坡度(又
2、称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则， 的关系为 180.( )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，( )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( )(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是0，)( 2 / 15 )1(教材改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离为
3、( )A50 m B50 mC25 m D. m答案 A解析 由正弦定理得，又B30，AB50(m)2若点 A 在点 C 的北偏东 30，点 B 在点 C 的南偏东 60，且ACBC，则点 A 在点 B 的( )A北偏东 15 B北偏西 15C北偏东 10 D北偏西 10答案 B解析 如图所示，ACB90，又 ACBC，CBA45，而 30，90453015，点 A 在点 B 的北偏西 15.3(教材改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB10 n mile，从 A望 C 和 B 成 60视角，从 B 望 C 和 A 成 75视角，则 BC 等于( )A10 n mile B. n mile
4、C5 n mile D5 n mile答案 D3 / 15解析 如图，在ABC 中，AB10，A60，B75，BC5.4.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度AB_.答案 a解析 由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，ADa，又在RtADB 中，ABADa.5在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，速度的大小
5、为_ km/h.答案 60 203解析 如图，AOB60，由余弦定理知 OC2202202800cos 1201 200，故 OC20，COY303060.题型一 求距离、高度问题例 1 (1)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高 AD 是 60 m，则河流的宽度 BC 等于( )A240(1) m B180(1) mC120(1) m D30(1) m(2)(2016三明模拟)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底4 / 15的俯角分别为 30，60，则塔高是_ m.答案 (1)C (2)400 3解析 (1)如图，在ACD 中
6、，CAD903060，AD60 m，所以 CDADtan 6060(m)在ABD 中，BAD907515，所以 BDADtan 1560(2)(m)所以 BCCDBD6060(2)120(1) (m)(2)如图，设塔 AB 高为 h，在 RtCDB 中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC 中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC 中，由正弦定理得，AB(m)思维升华 求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知
7、量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(1)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到5 / 15一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15，这时船与灯塔的距离为_ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B两点分别测得树尖的仰角为 30，45，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则树的高度为_m.答案 (1)30 (2)30303解析 (1)如图，由题意，BAC30，ACB105，B45，AC60 km，由正弦定理，BC30
8、km.(2)在PAB 中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得，PB30()，树的高度为 PBsin 4530()22(3030)(m)题型二 求角度问题例 2 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_答案 2114解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得6 / 15BC
9、2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得BC sinBACsinACBsinBAC.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.思维升华 解决测量角度问题的注意事项：(1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离
10、为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是_(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)答案 5 39解析 如图，过点 P 作 POBC 于点 O，连接 AO，则PAO.设 COx m，则 OPx m.在 RtABC 中，AB15 m，AC25 m，所以 BC20 m.所以 cosBCA.7 / 15所以 AO625x22 25x 4 5(m)所以 tan 33140x625x2.当，即 x时，tan 取得最大值为.题型三 三角形与三角函数的综合问
11、题例 3 (2016长春质检)已知函数 f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间；(2)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中a7，若锐角 A 满足 f()，且 sin Bsin C，求 bc 的值解 (1)f(x)2sin xcos x2cos2x3sin 2xcos 2x2sin(2x)，因此 f(x)的最小正周期为 T.由 2k2x2k(kZ)得 kxk，kZ，即 f(x)的单调递减区间为k，k(kZ)(2)由 f()2sin2()2sin A，又 A 为锐角，则 A，由正弦定理可得 2R，sin Bsin C
12、，则 bc13，由余弦定理可知，cos A，可求得 bc40.8 / 15思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题设 f(x)sin xcos xcos2.(1)求 f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若f0，a1，求ABC 面积的最大值解 (1)由题意知 f(x)1cos(2x2) 2sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以 f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)
13、(2)由 fsin A0，得 sin A，由题意知 A 为锐角，所以 cos A.由余弦定理 a2b2c22bccos A，可得 1bcb2c22bc，即 bc2，当且仅当 bc 时等号成立因此 bcsin A.所以ABC 面积的最大值为.10函数思想在解三角形中的应用典例 (12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀9 / 15速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航
14、行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则1 分S900t2400230t20cos9030 .3 分故当 t时，Smin10，v30.即小艇以 30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在 B 处相遇则 v2t
15、2400900t222030tcos(9030)，8 分故 v2900.0v30，900900，即0，解得 t.又 t时，v30，故 v30 时，t 取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB 中，有 OAOBAB20.11 分故可设计航行方案如下：10 / 15航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时12 分1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( )A10 海里 B10 海里C
16、20 海里 D20 海里答案 A解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得 BC10.2在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为( )A. km B. kmC. km D2 km答案 A解析 如图，在ABC 中，由已知可得ACB45，AC2.3一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时( )A5 海里 B5 海里11 / 15C10 海里 D10 海里
17、答案 C解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而 CDCA10，在 RtABC 中，得 AB5，于是这艘船的速度是10(海里/时)4.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( )A30 B45C60 D75答案 B解析 依题意可得 AD20，AC30，又 CD50，所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC2AD2CD2 2ACAD，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.5.如图所示，测量河对岸的
18、塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于( )A5 B153C5 D156答案 D解析 在BCD 中，CBD1801530135.由正弦定理得，12 / 15所以 BC15.在 RtABC 中，ABBCtanACB1515.故选 D.6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是(
19、)A50 m B100 mC120 m D150 m答案 A解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，在 RtBCD 中，CBD30，BCh.在ABC 中，A60，ACh，AB100，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.7江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.答案 103解析 如图，OMAOtan 4530 (m)，ONAOtan 303010 (m)
20、，在MON 中，由余弦定理得，MN10 (m)8.如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测13 / 15得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.答案 32解析 设航速为 v n mile/h，在ABS 中，ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，v32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，
21、从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米答案 507解析 如图，连接 OC，在OCD 中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得 OC2100215022100150cos 6017 500，解得 OC50.*10.在 RtABC 中，C90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 abcx，则实数 x 的取值范围是_答案 (1，解析 xsin Acos Asin.又 A，sin sinsin ，即 x(1，11要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并
22、测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度解 如图，14 / 15设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtABC 中，由ACB45，得 BCx.在 RtADB 中，ADB30，则 BDx.在BDC 中，由余弦定理得，BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，解得 x40，所以电视塔高为 40 m.12(2015天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知ABC 的面积为 3，bc2，cos A.(1)求 a 和 sin C 的值；(2)求 cos 的值解 (1)在ABC 中，由 cos A，可得 sin A.由
23、 SABCbcsin A3，得 bc24，又由 bc2，解得 b6，c4.由 a2b2c22bccos A，可得 a8.由，得 sin C.(2)coscos 2Acos sin 2Asin 6(2cos2A1)2sin Acos A.*13.在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(1)海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间15 / 15解 如图，设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获走私船(在 D 点)，则 CD10t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos A(1)2222(1)2cos 1206，解得 BC.又，sinABC，ABC45，故 B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得，sinBCDBDsinCBD CD.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶又在BCD 中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即 10t，解得 t小时15 分钟缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟