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1、- 1 -第二节第二节 两条直线的位置关系两条直线的位置关系2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直。2016，全国卷，4,5 分(点到直线的距离)2015，广东卷，4,5 分(平行直线)2014，福建卷，5,5 分(两条直线垂直)2013，全国卷，12,5 分(直线分割三角形)本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对
2、称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现。微知识 小题练自|主|排|查1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2。特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。与AxByC0 平行的直线，可设为AxBym0(mC)。(2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。与AxByC0 垂直的直线可设为BxAyn0。2两直线相交(1)交点：直线l1：A1xB1yC10 和l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标
3、与方程组Error!的解一一对应。(2)相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。(3)平行方程组无解。(4)重合方程组有无数个解。3三种距离公式(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为|AB|。x2x12y2y12- 2 -(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离为d。|Ax0By0C|A2B2(3)两平行直线l1：AxByC10 与l2：AxByC20(C1C2)间的距离为d。|C2C1|A2B2 4对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)。(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有Erro
4、r!可求出x，y。微点提醒 1对于直线l1与直线l2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。2求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般式。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2P114B 组 T1)与直线 3x4y50 关于x轴对称的直线的方程为( )A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50【解析】 设所求直线上任一点的坐标为(x，y)，关于x轴的对称点的坐标(x，y)在已知的直线上，所以所求直线方程为 3x4y50。故选 B。【答案】 B2(必修 2P114A 组 T10改编)两条平行直线 3x4y120 与ax8y110 之间的距离为( )A. B.
5、23 523 10C7 D.7 2【解析】 由题意知a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240。所以两条平行直线之间的距离为 。故选 D。|1124|36647 2【答案】 D二、双基查验1过点(1,0)且与直线x2y20 平行的直线方程是( )Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10- 3 -【解析】 设与直线x2y20 平行的直线方程为x2ym0，又直线过点(1,0)，所以 1m0，m1。故选 A。【答案】 A2若直线axy50 与x2y70 垂直，则实数a的值为( )A2 B.1 2C2 D1 2【解析】 直线axy50 的斜率可记为k1a，直线x2y70 的斜率可记
6、为k2 ，若两直线垂直，则k1k21，即a1，得a2。故选 A。1 21 2【答案】 A3直线x2y10 关于直线x1 对称的直线方程是_。【解析】 在直线x2y10 上任取两点(1,1)，这两点关于直线x1 的对称(0，1 2)点分别为(1,1)，过这两点的直线方程为y1 (x1)，即x2y30。(2，1 2)1 2【答案】 x2y304已知点A(3,2)和B(1,4)到直线axy10 的距离相等，则a的值为_。【解析】 由点到直线的距离公式可知。|3a21|a21|a41|a21解得a4 或 。1 2【答案】 4 或1 25(2016呼和浩特模拟)点P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离
7、的最大值等于_。【解析】 点P(1,3)到直线l：yk(x2)的距离为d3，由于1，3|k1|1k212k k212k k21当且仅当k1 时取等号，所以d3，2即距离的最大值等于 3。2【答案】 32微考点 大课堂- 4 -考点一 两条直线的平行与垂直【典例 1】 (1)若直线l1：ax2y60 与直线l2：x(a1)ya210 平行，则a_。(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_。【解析】 (1)直线l1：ax2y60 的斜率为 ，在y轴上的截距为 3。又因为直线a 2l1与直线l2平行，所以直线l2：x(a1)ya210 的斜率存在且等于，在y轴上1
8、 a1的截距为(a1)。由两直线平行得， 且 3a1，解得a2 或a1。a 21 a1(2)解法一：l1l2，k1k21，即 1，解得a2。a 2解法二：l1l2，a20，a2。【答案】 (1)2 或1 (2)2反思归纳 1当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。【变式训练】 已知两直线l1：xysin10 和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2。【解析】 (1)解法一：当 sin0 时，直
9、线l1的斜率不存在，l2的斜率为 0，显然l1不平行于l2。当 sin0 时，k1，k22sin。1 sin要使l1l2，需2sin，即 sin。1 sin22所以k，kZ Z，此时两直线的斜率相等，在y轴上截距不等。 4故当k，kZ Z 时，l1l2。 4解法二：由A1B2A2B10，得 2sin210，所以 sin，所以k，kZ Z。22 4又B1C2B2C10，所以 1sin0，即 sin1。- 5 -故当k，kZ Z 时，l1l2。 4(2)因为A1A2B1B20 是l1l2的充要条件，所以 2sinsin0，即 sin0，所以k，kZ Z。故当k，kZ Z 时，l1l2。【答案】 (
10、1)k(kZ Z) 4(2)k(kZ Z)考点二 两条直线的交点问题【典例 2】 求经过直线l1：3x2y10 和l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线l3：3x5y60 的直线l的方程。【解析】 解法一：先解方程组Error!得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率 求出l的斜率为 ，3 55 3则直线l的方程为y2 (x1)，5 3即 5x3y10。解法二：由于ll3，故l是直线系 5x3yC0 中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故 5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为 5x3y10。解法三：由于l过l1、l2的交点，故l是直线系 3x2y1(5x2y1)0
11、中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0。其斜率 ，解得 ，35 225 31 5代入直线系方程即得l的方程为 5x3y10。【答案】 5x3y10反思归纳 常用的直线系方程(1)与直线AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0 (mR R 且mC)；(2)与直线AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0 (mR R)；(3)过直线l1：A1xB1yC10 与l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R R)，但不包括l2。【变式训练】 已知直线l被两条直线l1：4xy30 和l2：3x5y50 截得的线段的中点为P(1,2)，则直线
12、l的一般式方程为_。- 6 -【解析】 解法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(2x0,4y0)，并且满足Error!即Error!解得Error!因此直线l的方程为，y2 52x1 21即 3xy10。解法二：设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20。由Error!得x。k5 k4由Error!得x。5k15 5k3则2，解得k3。k5 k45k15 5k3因此直线l的方程为y23(x1)，即 3xy10。【答案】 3xy10考点三 距离公式的应用【典例 3】 已知点P(2，1)。(1)求过点P且与原点的距离为 2 的直线l的方程；(2)求
13、过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为 2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2。若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10。由已知得2，解得k 。|2k1|k213 4此时l的方程为 3x4y100。综上，可得直线l的方程为x2 或 3x4y100。(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图。- 7 -由lOP，得klkOP1
14、，所以kl2。1 kOP由直线方程的点斜式得y12(x2)，即 2xy50。所以直线 2xy50 是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为。|5|55(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点5的距离为 6 的直线。【答案】 (1)x2 或 3x4y100 (2) (3)不存在，理由见解析5反思归纳 利用距离公式应注意1点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；2两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等。【变式训练】 (1)平行于直线 3x4y20，且与它的距离是 1 的直线方程为_。(2)直线l经
15、过点P(2，5)且与点A(3，2)和点B(1,6)的距离之比为 12，求直线l的方程。【解析】 (1)设所求直线方程为 3x4yc0(c2)，则d1，解得c3 或c7，|2c|3242所求直线方程为 3x4y30 或 3x4y70。(2)当直线l与x轴垂直时，此时直线l的方程为x2，点A到直线l的距离为d11，点B到直线l的距离为d23，不符合题意，故直线l的斜率必存在。设直线l的方程为y5k(x2)，即kxy2k50，- 8 -则点A(3，2)到直线l的距离d1，点B(1,6)到直|3k22k5|k21|k3|k21线l的距离d2，|k62k5|k21|3k11|k21d1d212， ，|k
16、3| |3k11|1 2解得k1 或k17。所求直线方程为xy30 和 17xy290。【答案】 (1)3x4y30 或 3x4y70(2)xy30 和 17xy290考点四 对称问题【典例 4】 已知直线l：2x3y10，点A(1，2)。求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60 关于直线l对称的直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程。【解析】 (1)设A(x，y)，再由已知Error!解得Error!所以A。(33 13，4 13)(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上。设对称点为M(a，b)，则E
17、rror!解得M。(6 13，30 13)设m与l的交点为N，则由Error!得N(4，3)。又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m的方程为 9x46y1020。(3)设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，因为P在直线l上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x3y90。【答案】 (1)A (2)9x46y1020(33 13，4 13)(3)2x3y90反思归纳 1.关于中心对称问题的处理方法：1若点Mx1，y1及Nx，y关于Pa，b对称，则由中点坐标公式得- 9 -(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用
18、中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求直线方程。2关于轴对称问题的处理方法：(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0 对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组Error!可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)。(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。【变式训练】 光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点
19、后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，则BC所在的直线方程为_。【解析】 作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)。由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C。故BC所在的直线方程为，y6 64x1 12即 10x3y80。【答案】 10x3y80微考场 新提升1(2016汕头模拟)已知l1：(1a)xay20，l2：ax(2a1)y30，若l1l2，则a的值为( )A0 或 2 B0 或2C2 D2解析 由l1l2得(1a)aa(2a1)0，a0 或a2。故选 B。答案 B2 “a1
20、”是“直线ax3y30 和直线x(a2)y10 平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件- 10 -C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 依题意，注意到直线ax3y30 和直线x(a2)y10 平行的充要条件是Error!解得a1。故选 C。答案 C3(2017衡阳模拟)若a，b，p(a0，b0，p0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A. B.1 a21 b21 p21 a21 b21 p2C. D.1 a21 p21 b21 a2p21 b2解析 由题意设直线方程为 1，则p2，x ay b1 1 a21 b2。故选 A。1 a21 b
21、21 p2答案 A4(2016昆明模拟)已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和xay0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为_。(0，10 a)解析 依题意，a2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(2y，y)，由中点坐标公式得Error!解得x4，y2，所以A(4,8)，B(4,2)，|AB|10。442822答案 105(2016抚顺模拟)已知直线l：(2ab)x(ab)yab0 及点P(3,4)。(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标。(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程。解析 (1)直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由Error!得Error!所以直线l恒过定点(2,3)。(2)由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大。- 11 -又直线PA的斜率kPA ，43 321 5所以直线l的斜率kl5。故直线l的方程为y35(x2)，即 5xy70。答案 (1)直线l恒过定点(2,3)(2)5xy70