平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题.pdf

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1、 平行四边形与特殊四边形提高练习常考题与培优题 一.选择题(共 5 小题)1.如图,把大小相同得两个矩形拼成如下形状,则FBD 就是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.一般三角形 D.等腰三角形 2.如图,正方形 ABCD 与正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=,CE=3,H 就是 AF 得中点,那么 CH 得长就是()A.3、5 B.C.D.2 3.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 作 OE 垂直AC 交 AD 于点 E,则 AE 得长就是()A.3 B.5 C.2、4 D.2、5 4.如图,在ABC 中,CFA

2、B 于 F,BEAC 于 E,M 为 BC 得中点,EF=7,BC=10,则EFM得周长就是()A.17 B.21 C.24 D.27 5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=8,P 就是 AD 上不与 A 与 D 重合得一个动点,过点P 分别作 AC 与 BD 得垂线,垂足为 E、F,则 PE+PF 得值为()A.10 B.4、8 C.6 D.5 二.填空题(共 4 小题)6.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AE 平分BAD 交 BC 于点 E,若CAE=15,则BOE 得度数等于 .7.如图,将平行四边形ABCD 得边 DC延长到E,使 CE=CD

3、,连接 AE 交BC 于 F,AFC=nD,当 n=时,四边形 ABEC 就是矩形.8.如图,在正五边形 ABCDE 中,连接 AC、AD、CE,CE 交 AD 于点 F,连接 BF,则线段 AC、BF、CD 之间得关系式就是 .9.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形 OABC 就是矩形,A(10,0),C(0,3),点D 就是 OA 得中点,点 P 在 BC 边上运动,当ODP 就是腰长为 5 得等腰三角形时,点 P 得坐标就是 .三.解答题(共 31 小题)10.如图,正方形 ABCD 中,AE=AB,直线 DE 交 BC 于点 F,求BEF 得度数.11.如图,梯形 ABCD

4、中,ADBC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,ACBD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 得中点.(1)求证:四边形 EFGH 为正方形;(2)若 AD=1,BC=3,求正方形 EFGH 得边长.12.如图,点 E、F 分别就是正方形 ABCD 得边 CD 与 AD 得中点,BE 与 CF 交于点 P.求证:AP=AB.13.如图,点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PEBC 于 E,PFDC 于 F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形 ABCD 得边长为 a,求四边形 PFCE 得周长.14.如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 上一

5、点,连接 DE,把DEC 沿 DE 折叠得到DEF,延长 EF 交 AB 于 G,连接 DG.(1)求EDG 得度数.(2)如图 2,E 为 BC 得中点,连接 BF.求证:BFDE;若正方形边长为 6,求线段 AG 得长.15.如图,在正方形 ABCD 中,F 就是对角线 AC 上得一点,点 E 在 BC 得延长线上,且 BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:DFE=90;(3)如果把正方形 ABCD 改为菱形,其她条件不变(如图),当ABC=50时,DFE=度.16.已知正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O.如图 1,若 E 就是 AC 上得点,过 A 作 AGB

6、E 于 G,AG、BD 交于 F,求证:OE=OF 如图 2,若点 E 在 AC 得延长线上,AGEB 交 EB 得延长线于 G,AG 延长 DB 延长线于点 F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗？17.如图,点 P 就是菱形 ABCD 中对角线 AC 上得一点,且 PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:PDC=PEB;(3)若BAD=80,连接 DE,试求PDE 得度数,并说明理由.18.如图,正方形 ABCD 中,AB=1,点 P 就是 BC 边上得任意一点(异于端点 B、C),连接AP,过 B、D 两点作 BEAP 于点 E,DFAP 于点 F.(1)求证:EF=DFBE;(

7、2)若ADF 得周长为,求 EF 得长.19.如图,正方形 ABCD 得对角线 AC、BD 得交点为 O,以 O 为端点引两条互相垂直得射线 OM、ON,分别交边 AB、BC 于点 E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形得边长为 4,求 EF 得最小值.20.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 就是边 AD 上任意一点,BE 得垂直平分线 FG 交对角 AC 于点 F.求证:(1)BF=DF;(2)BFFE.21.已知:如图所示,四边形 ABCD 中,ABC=ADC=90,M 就是 AC 上任一点,O 就是BD 得中点,连接 MO,并延长 MO 到 N,使 NO=MO,连接 BN 与

8、 ND.(1)判断四边形 BNDM 得形状,并证明;(2)若 M 就是 AC 得中点,则四边形 BNDM 得形状又如何？说明理由.22.如图,在ABC 中,O 就是边 AC 上得一动点,过点 O 作直线 MNBC,设 MN 交BCA 得平分线于点 E,交BCA 得外角平分线于点 F.(1)求证:OE=OF;(2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 就是矩形？23.(1)如图矩形 ABCD 得对角线 AC、BD 交于点 O,过点 D 作 DPOC,且 DP=OC,连接 CP,判断四边形 CODP 得形状并说明理由.(2)如果题目中得矩形变为菱形,结论应变为什么？说明理由.(3)如果题目中得

9、矩形变为正方形,结论又应变为什么？说明理由.24.如图 1,已知 ABCD,AB=CD,A=D.(1)求证:四边形 ABCD 为矩形;(2)E 就是 AB 边得中点,F 为 AD 边上一点,DFC=2BCE.如图 2,若 F 为 AD 中点,DF=1、6,求 CF 得长度:如图 2,若 CE=4,CF=5,则 AF+BC=,AF=.25.如图,直线 a、b 相交于点 A,C、E 分别就是直线 b、a 上两点且 BCa,DEb,点 M、N 就是 EC、DB 得中点.求证:MNBD.26.如图所示,在梯形 ABCD 中,ADBC,B=90,AD=24cm,BC=26cm,动点 P 从点 A出发沿

10、AD 方向向点 D 以 1cm/s 得速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点B 以 3cm/s 得速度运动.点 P、Q 分别从点 A 与点 C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.(1)经过多长时间,四边形 PQCD 就是平行四边形？(2)经过多长时间,四边形 PQBA 就是矩形？(3)经过多长时间,当 PQ 不平行于 CD 时,有 PQ=CD.27.如图,E、F 就是正方形 ABCD 得边 AD 上得两个动点,满足 AE=DF.连接 CF 交 BD于 G,连接 BE 交 AG 于 H.已知正方形 ABCD 得边长为 4cm,解决下列问题:(1)求证:BEAG;

11、(2)求线段 DH 得长度得最小值.28.如图,点 M 就是矩形ABCD 得边 AD 得中点,点 P 就是 BC 边上一动点,PEMC,PFBM,垂足为 E、F.(1)当矩形 ABCD得长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形？猜想并证明您得结论.(2)在(1)中,当点 P 运动到什么位置时,矩形 PEMF 变为正方形,为什么？29.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:如图,正方形 ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板得直角顶点与D点重合.三角板得一边交 AB 于点 P,另一边交 BC 得延长线于点 Q.(1)求证:AP=CQ;(2)如图,小明在图1得基础上

12、作PDQ得平分线 DE交 BC于点 E,连接 PE,她发现PE 与 QE 存在一定得数量关系,请猜测她得结论并予以证明;(3)在(2)得条件下,若 AP=1,求 PE 得长.30.如图,在菱形 ABCD 中,AB=4cm,ADC=120,点 E、F 同时由 A、C 两 点出发,分别沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动(到点 B 为止),点 E 得速度 为 1cm/s,点 F 得速度为 2cm/s,经过 t 秒DEF 为等边三角形,求 t 得值.31.如图,在 RtABC 中,ABC=90,点 D 就是 AC 得中点,作ADB 得角平分线 DE交 AB 于点 E,(1)求证:DEBC;(2)若

13、 AE=3,AD=5,点 P 为 BC 上得一动点,当 BP 为何值时,DEP 为等腰三角形.请直接写出所有 BP 得值 .32.已知:如图,BF、BE 分别就是ABC 及其邻补角得角平分线,AEBE,垂足为点E,AFBF,垂足为点 F.EF 分别交边 AB、AC 于点 M、N.求证:(1)四边形 AFBE 就是矩形;(2)BC=2MN.33.如图,在边长为 5 得菱形 ABCD 中,对角线 BD=8,点 O 就是直线 BD 上得动点,OEAB 于 E,OFAD 于 F.(1)对角线 AC 得长就是 ,菱形 ABCD 得面积就是 ;(2)如图 1,当点 O 在对角线 BD 上运动时,OE+OF

14、 得值就是否发生变化？请说明理由;(3)如图 2,当点 O 在对角线 BD 得延长线上时,OE+OF 得值就是否发生变化？若不变请说明理由,若变化,请直接写出 OE、OF 之间得数量关系,不用明理由.34.如图,已知 RtABDRtFEC,且 B、D、C、E 在同一直线上,连接 BF、AE.(1)求证:四边形 ABFE 就是平行四边形.(2)若ABD=60,AB=2cm,DC=4cm,将ABD沿着BE方向以1cm/s得速度运动,设 ABD 运动得时间为 t,在ABD 运动过程中,试解决以下问题:(1)当四边形 ABEF 就是菱形时,求 t 得值;(2)就是否存在四边形 ABFE 就是矩形得情形

15、？如果存在,求出 t 得值,如果不存在,请说明理由.35.已知,矩形ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC 得垂直平分线 EF 分别交AD、BC于点 E、F,垂足为O.(1)如图 1,连接 AF、CE.求证:四边形 AFCE 为菱形.(2)如图 1,求 AF 得长.(3)如图 2,动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,沿AFB 与CDE 各边匀速运动一周.即点 P 自 AFBA 停止,点 Q 自 CDEC 停止.在运动过程中,点 P 得速度为每秒 1cm,设运动时间为 t 秒.问在运动得过程中,以 A、P、C、Q 四点为顶点得四边形有可能就是矩形吗？若有可能,请求出运动时间 t

16、与点 Q 得速度;若不可能,请说明理由.若点 Q 得速度为每秒 0、8cm,当 A、P、C、Q 四点为顶点得四边形就是平行四边形时,求 t 得值.36.如图 1,E,F 就是正方形 ABCD 得边上两个动点,满足 AE=DF,连接 CF 交 BD 于 G,连接 BE 交 AG 于点 H(1)求证:AGBE;(2)如图 2,连 DH,若正方形得边长为 4,则线段 DH 长度得最小值就是 .37.如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,DAB=60,点 E 时 AD 边得中点,点 M 时 AB 边上得一个动点(不与点 A 重合),延长 ME 交 CD 得延长线于点 N,连接 MD,AN.(1)求证:

17、四边形 AMDN 就是平行四边形.(2)填空:当 AM 得值为 时,四边形 AMDN 就是矩形;当 AM 得值为 时,四边形 AMDN 就是菱形.38.如图,已知正方形 OABC 得边长为 4,顶点 A、C 分别在 x、y 轴得正半轴上,M 就是 BC 得中点,点 P(0,m)就是线段 oc 上得一动点 9 点 P 不与点 O、C 重合 0,直线PM 交 AB 得延长线于点 D.(1)求点 D 得坐标;(用含 m 得代数式表示)(2)若APD 就是以 AP 边为一腰得等腰三角形,求 m 得值.39.如图,在ABC 中,ABC=90,点 D 为 AC 得中点,过点 C 作 CEBD 于点 E,过

18、点 A作 BD 得平行线,交 CE 得延长线于点 F,在 AF 得延长线上截取 FG=BD,连接 BG、DF.(1)证明:四边形 BDFG 就是菱形;(2)若 AC=10,CF=6,求线段 AG 得长度.40.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,点 F 在边 BC 得延长线上,连接 EF 与边CD 相交于点 G,连接 BE 与对角线 AC 相交于点 H,AE=CF,BE=EG.(1)求证:EFAC;(2)求BEF 大小;(3)若 EB=4,则BAE 得面积为 .初二数学平行四边形与特殊四边形提高练习常考题与培优题 参考答案与试题解析 一.选择题(共 5 小题)1.(2012

19、春炎陵县校级期中)如图,把大小相同得两个矩形拼成如下形状,则FBD就是()A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.一般三角形 D.等腰三角形【分析】根据正方形性质得出 FG=BC,G=C=90,GB=CD,根据 SAS 证FGB BCD,推出FBG=BDC,BF=BD,求出DBC+FBG=90,求出FBD 得度数即可.【解答】解:大小相同得两个矩形 GFEB、ABCD,FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,G=C=ABG=ABC=90,在FGB 与BCD 中,FGBBCD,FBG=BDC,BF=BD,BDC+DBC=90,DBC+FBG=90,FBD=18090=90,即FBD 就是

20、等腰直角三角形,故选 B.【点评】本题考查了等腰直角三角形,全等三角形得性质与判定,正方形性质得应用,关键就是证出FGBBCD,主要考查学生运用性质进行推理得能力.2.(2015 春江阴市期中)如图,正方形 ABCD 与正方形 CEFG 中,点 D 在 CG上,BC=,CE=3,H 就是 AF 得中点,那么 CH 得长就是()A.3、5 B.C.D.2【分析】根据正方形得性质求出 AB=BC=,CE=EF=3,E=90,延长 AD 交 EF 于 M,连接 AC、CF,求出 AM=4,FM=2,AMF=90,根据正方形性质求出ACF=90,根据直角三角形斜边上得中线性质求出 CH=AF,根据勾股

21、定理求出 AF 即可.【解答】解:正方形 ABCD 与正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=,CE=3,AB=BC=,CE=EF=3,E=90,延长 AD 交 EF 于 M,连接 AC、CF,则 AM=BC+CE=4,FM=EFAB=2,AMF=90,四边形 ABCD 与四边形 GCEF 就是正方形,ACD=GCF=45,ACF=90,H 为 AF 得中点,CH=AF,在 RtAMF 中,由勾股定理得:AF=2,CH=,故选:C.【点评】本题考查了勾股定理,正方形得性质,直角三角形斜边上得中线得应用,解此题得关键就是能正确作出辅助线,并求出 AF 得长与得出 CH=AF,有一定得难

22、度.3.(2015 春泗洪县校级期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 作 OE 垂直 AC 交 AD 于点 E,则 AE 得长就是()A.3 B.5 C.2、4 D.2、5【分析】根据矩形得性质得出CDE=90,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根据线段垂直平分线性质得出 AE=CE,在 RtCDE 中,由勾股定理得出 CE2=CD2+DE2,代入求出即可.【解答】解:在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,CDE=90,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,OEAC,AE=CE,在 RtCDE 中,由勾股定理得:C

23、E2=CD2+DE2,即 AE2=42+(8AE)2,解得:AE=5,故选 B.【点评】本题考查了矩形得性质,勾股定理,线段垂直平分线性质得应用,解此题得关键就是得出关于 AE 得方程.4.(2015 秋无锡期中)如图,在ABC 中,CFAB 于 F,BEAC 于 E,M 为 BC 得中点,EF=7,BC=10,则EFM 得周长就是()A.17 B.21 C.24 D.27 【分析】根据 CFAB 于 F,BEAC 于 E,M 为 BC 得中点,利用直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半,求出 FM 与 ME 得长,即可求解.【解答】解:CFAB,M 为 BC 得中点,MF 就是 RtBFC 斜

24、边上得中线,FM=BC=10=5,同理可得,ME=BC=10=5,又EF=7,EFM 得周长=EF+ME+FM=7+5+5=17.故选 A.【点评】此题主要考查学生对直角三角形斜边上得中线这个知识点得理解与掌握,解答此题得关键就是利用直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半,求出 FM 与ME 得长.5.(2015 春乌兰察布校级期中)如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,AD=8,P 就是 AD 上不与A 与 D 重合得一个动点,过点 P 分别作 AC 与 BD 得垂线,垂足为 E、F,则 PE+PF 得值为()A.10 B.4、8 C.6 D.5【分析】连接 OP,利用勾股定理列式求出BD,再

25、根据矩形得对角线相等且互相平分求出 OA、OD,然后根据 SAOD=SAOP+SDOP列方程求解即可.【解答】解:如图,连接 OP,AB=6,AD=8,BD=10,四边形 ABCD 就是矩形,OA=OD=10=5,SAOD=SAOP+SDOP,68=5PE+5PF,解得 PE+PF=4、8.故选 B.【点评】本题考查了矩形得性质,三角形得面积,熟记性质并利用三角形得面积列出方程就是解题得关键.二.填空题(共 4 小题)6.(2016 春东平县期中)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AE 平分BAD 交 BC 于点 E,若CAE=15,则BOE 得度数等于 75.

26、【分析】由矩形 ABCD,得到 OA=OB,根据 AE 平分BAD,得到等边三角形 OAB,推出AB=OB,求出OAB、OBC 得度数,根据平行线得性质与等角对等边得到 OB=BE,根据三角形得内角与定理即可求出答案.【解答】解:四边形 ABCD 就是矩形,ADBC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,BAD=90,OA=OB,DAE=AEB,AE 平分BAD,BAE=DAE=45=AEB,AB=BE,CAE=15,DAC=4515=30,BAC=60,BAO 就是等边三角形,AB=OB,ABO=60,OBC=9060=30,AB=OB=BE,BOE=BEO=(18030)=75.故答案为 7

27、5.【点评】本题主要考查了三角形得内角与定理,矩形得性质,等边三角形得性质与判定,平行线得性质,角平分线得性质,等腰三角形得判定等知识点,解此题得关键就是求出OBC 得度数与求 OB=BE.7.(2014 春武昌区期中)如图,将平行四边形 ABCD 得边DC延长到E,使 CE=CD,连接AE 交 BC 于 F,AFC=nD,当 n=2 时,四边形 ABEC 就是矩形.【分析】首先根据四边形 ABCD 就是平行四边形,得到四边形 ABEC 就是平行四边形,然后证得FC=FE,利用对角线互相相等得四边形就是矩形判定四边形 ABEC就是矩形.【解答】解:当AFC=2D 时,四边形 ABEC 就是矩形

28、.四边形 ABCD 就是平行四边形,BCAD,BCE=D,由题意易得 ABEC,ABEC,四边形 ABEC 就是平行四边形.AFC=FEC+BCE,当AFC=2D 时,则有FEC=FCE,FC=FE,四边形 ABEC 就是矩形,故答案为:2.【点评】此题考查了平行四边形得性质以及矩形得判定.此题难度适中,注意掌握数形结合思想得应用,解题得关键就是了解矩形得判定定理.8.(2015 春南长区期中)如图,在正五边形 ABCDE 中,连接 AC、AD、CE,CE 交 AD 于点 F,连接 BF,则线段 AC、BF、CD 之间得关系式就是 AC2+BF2=4CD2.【分析】首先根据菱形得判定方法,判断

29、出四边形 ABCF 就是菱形,再根据菱形得性质,即可判断出 ACBF;然后根据勾股定理,可得 OB2+OC2=BC2,据此推得AC2+BF2=4CD2即可.【解答】解:五边形 ABCDE 就是正五边形,ABCE,ADBC,四边形 ABCF 就是平行四边形,又AB=BC=CD=DE=EA,四边形 ABCF 就是菱形,ACBF,OB2+OC2=BC2,AC=2OC,BF=2OB,AC2+BF2=(2OC)2+(2OB)2=4OC2+4OB2=4BC2,又BC=CD,AC2+BF2=4CD2.故答案为:AC2+BF2=4CD2.【点评】(1)此题主要考查了菱形得判定与性质得应用,要熟练掌握,解答此题

30、得关键就是要明确:菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先它就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法.(2)此题还考查了勾股定理得应用:在任何一个直角三角形中,两条直角边长得平方之与一定等于斜边长得平方,要熟练掌握.9.(2015春株洲校级期中)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形OABC 就是矩形,A(10,0),C(0,3),点 D 就是 OA 得中点,点P 在 BC边上运动,当ODP 就是腰长为 5 得等腰三角形时,点 P 得坐标就是(4,3),或(1,3),或(9,3).【分析】先由矩形得

31、性质求出 OD=5,分情况讨论:(1)当 OP=OD=5 时;根据勾股定理求出 PC,即可得出结果;(2)当 PD=OD=5 时;作PEOA 于 E,根据勾股定理求出DE,得出PC,即可得出结果;作 PFOA 于 F,根据勾股定理求出DF,得出 PC,即可得出结果.【解答】解:A(10,0),C(0,3),OA=10,OC=3,四边形 OABC 就是矩形,BC=OA=10,AB=OC=3,D 就是 OA 得中点,AD=OD=5,分情况讨论:(1)当 OP=OD=5 时,根据勾股定理得:PC=4,点 P 得坐标为:(4,3);(2)当 PD=OD=5 时,分两种情况讨论:如图 1 所示:作 PE

32、OA 于 E,则PED=90,DE=4,PC=OE=54=1,点 P 得坐标为:(1,3);如图 2 所示:作 PFOA 于 F,则 DF=4,PC=OF=5+4=9,点 P 得坐标为:(9,3);综上所述:点 P 得坐标为:(4,3),或(1,3),或(9,3);故答案为:(4,3),或(1,3),或(9,3).【点评】本题考查了矩形得性质、坐标与图形性质、等腰三角形得性质、勾股定理;熟练掌握矩形得性质,并能进行推理计算就是解决问题得关键.三.解答题(共 31 小题)10.(2012 春西城区校级期中)如图,正方形 ABCD 中,AE=AB,直线 DE 交 BC 于点 F,求BEF 得度数.

33、【分析】设BAE=x,根据正方形性质推出 AB=AE=AD,根据等腰三角形性质与三角形得内角与定理求出AEB 与AED 得度数,根据平角定义求出即可.【解答】解:设BAE=x,四边形 ABCD 就是正方形,BAD=90,AB=AD,AE=AB,AB=AE=AD,ABE=AEB=(180BAE)=90 x,DAE=90 x,AED=ADE=(180DAE)=180(90 x)=45+x,BEF=180AEBAED,=180(90 x)(45+x),=45,答:BEF 得度数就是 45.【点评】本题考查了三角形得内角与定理,等腰三角形性质,正方形性质得应用,解此题得关键就是如何把已知角得未知角结合

34、起来,题目比较典型,但就是有一定得难度.11.(2012 秋高淳县期中)如图,梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,ACBD,E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 得中点.(1)求证:四边形 EFGH 为正方形;(2)若 AD=1,BC=3,求正方形 EFGH 得边长.【分析】(1)先由三角形得中位线定理求出四边相等,然后由 ACBD 入手,进行正方形得判断.(2)连接 EG,利用梯形得中位线定理求出 EG 得长,然后结合(1)得结论求出 EH2=2,也即得出了正方形 EHGF 得边长.【解答】(1)证明:在ABC 中,E、F 分别就是 AB、BC

35、 得中点,EF=同理 FG=,GH=,HE=在梯形 ABCD 中,AB=DC,AC=BD,EF=FG=GH=HE 四边形 EFGH 为菱形.设 AC 与 EH 交于点 M 在ABD 中,E、H 分别就是 AB、AD 得中点,EHBD,同理 GHAC 又ACBD,BOC=90.EHG=EMC=BOC=90 四边形 EFGH 为正方形.(2)解:连接 EG,在梯形 ABCD 中,E、G 分别就是 AB、DC 得中点,EG=(AD+BC)=(1+3)=2,在 RtHEG 中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,则 EH=.即四边形 EFGH 得边长为.【点评】此题考查了等腰梯形得性质及

36、三角形、梯形得中位线定理,解答本题得关键就是根据三角形得中位线定理得出EH=HG=GF=FE,这就是本题得突破口.12.(2013秋青岛期中)如图,点E、F分别就是正方形ABCD得边CD与AD得中点,BE与 CF 交于点 P.求证:AP=AB.【分析】延长 CF、BA 交于点 M,先证BCECDF,再证CDFAMF 得 BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边得一半,可得 RtMBP 中 AP=BM,即 AP=AB.【解答】证明:延长 CF、BA 交于点 M,点 E、F 分别就是正方形 ABCD 得边 CD 与 AD 得中点,BC=CD,BCE=CDF,CE=DF,BCECDF,CBE=DCF

37、.DCF+BCP=90,CBE+BCP=90,BPM=CBE+BCP=90.又FD=FA,CDF=MAF,CFD=MFA,CDFAMF,CD=AM.CD=AB,AB=AM.PA 就是直角 BPM 斜边 BM 上得中线,AP=BM,即 AP=AB.【点评】本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角得性质,全等三角形得判定与对应边相等得性质,直角三角形斜边中线长为斜边长一半得性质,本题中求证CDFAMF 就是解题得关键.13.(2015 春禹州市期中)如图,点 P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PEBC 于E,PFDC 于 F.(1)求证:PA=EF;(2)若正方形 ABCD 得边长为

38、a,求四边形 PFCE 得周长.【分析】(1)连接 PC,证四边形 PFCE 就是矩形,求出 EF=PC,证ABPCBP,推出AP=PC 即可;(2)证CBD 就是等腰直角三角形,求出 BF、PF,求出周长即可.【解答】解:证明:(1)连接 PC,四边形 ABCD 就是正方形,AB=CB,ABD=CBD=45,C=90,在ABP 与CBP 中,ABPCBP(SAS),PA=PC,PEBC,PFCD,PFC=90,PEC=90.又C=90,四边形 PFCE 就是矩形,EF=PC,PA=EF.(2)由(1)知四边形 PFCE 就是矩形,PE=CF,PF=CE,又CBD=45,PEB=90,BE=P

39、E,又 BC=a,矩形 PFCE 得周长为 2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=2a.【点评】本题主要考查正方形得性质,全等三角形得性质与判定等知识点得连接与掌握,能证出 AP=PC 就是解此题得关键.14.(2015 秋福建校级期中)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 上一点,连接 DE,把DEC 沿 DE 折叠得到DEF,延长 EF 交 AB 于 G,连接 DG.(1)求EDG 得度数.(2)如图 2,E 为 BC 得中点,连接 BF.求证:BFDE;若正方形边长为 6,求线段 AG 得长.【分析】(1)由正方形得性质可得 DC=DA.A=B=C=ADC=90,由折

40、叠得性质得出DFE=C,DC=DF,1=2,再求出DFG=A,DA=DF,然后由“HL”证明 RtDGARtDGF,由全等三角形对应角相等得出 3=4,得出2+3=45即可;(2)由折叠得性质与线段中点得定义可得 CE=EF=BE,DEF=DEC,再由三角形得外角性质得出5=DEC,然后利用同位角相等,两直线平行证明即可;设 AG=x,表示出 GF、BG,根据点 E 就是 BC 得中点求出 BE、EF,从而得到 GE 得长度,再利用勾股定理列出方程求解即可;【解答】(1)解:如图 1 所示:四边形 ABCD 就是正方形,DC=DA.A=B=C=ADC=90,DEC 沿 DE 折叠得到DEF,D

41、FE=C,DC=DF,1=2,DFG=A=90,DA=DF,在 RtDGA 与 RtDGF 中,RtDGARtDGF(HL),3=4,EDG=3+2=ADF+FDC,=(ADF+FDC),=90,=45;(2)证明:如图 2 所示:DEC 沿 DE 折叠得到DEF,E 为 BC 得中点,CE=EF=BE,DEF=DEC,5=6,FEC=5+6,DEF+DEC=5+6,25=2DEC,即5=DEC,BFDE;解:设 AG=x,则 GF=x,BG=6x,正方形边长为 6,E 为 BC 得中点,CE=EF=BE=6=3,GE=EF+GF=3+x,在 RtGBE 中,根据勾股定理得:(6x)2+32=

42、(3+x)2,解得:x=2,即线段 AG 得长为 2.【点评】本题考查了正方形得性质、全等三角形得判定与性质、等腰直角三角形得判定与性质、勾股定理、翻折变换得性质;熟练掌握正方形得性质,并能进行推理论证与计算就是解决问题得关键.15.(2016 春召陵区期中)如图,在正方形 ABCD 中,F 就是对角线 AC 上得一点,点E 在 BC 得延长线上,且 BF=EF.(1)求证:BF=DF;(2)求证:DFE=90;(3)如果把正方形 ABCD 改为菱形,其她条件不变(如图),当ABC=50时,DFE=50 度.【分析】(1)根据正方形得四条边都相等可得 BC=DC,对角线平分一组对角可得BCF=

43、DCF,然后利用“边角边”证明即可;(2)易证FBE=FEB,又因为FBE=FDC,所以可证明FEB=FDC,进而可证明DFE=90;(3)根据全等三角形对应角相等可得CBF=CDF,根据等边对等角可得CBF=E,然后求出DFE=DCE,再根据两直线平行,同位角相等可得DCE=ABC,从而得解.【解答】(1)证明:在正方形 ABCD 中,BC=DC,BCF=DCF=45,在BCF 与DCF 中,BCFDCF(SAS);BF=DF;(2)证明:BF=EF,FBE=FEB,又FBE=FDC,FEB=FDC,又DGF=EGC,DFG=ECG=90,即DFE=90;(3)证明:由(1)知,BCFDCF

44、,CBF=CDF,EE=FB,CBF=E,DGF=EGC(对顶角相等),180DGFCDF=180EGCE,即DFE=DCE,ABCD,DCE=ABC,DFE=ABC=50,故答案为:50.【点评】本题考查了正方形得性质,全等三角形得判定与性质,菱形得性质,等边对等角得性质,熟记正方形得性质确定出BCF=DCF 就是解题得关键.16.(2015 秋泗县期中)已知正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于 O.如图 1,若 E 就是 AC 上得点,过 A 作 AGBE 于 G,AG、BD 交于 F,求证:OE=OF 如图 2,若点 E 在 AC 得延长线上,AGEB 交 EB 得延长线于

45、G,AG 延长 DB 延长线于点 F,其它条件不变,OE=OF 还成立吗？【分析】由正方形得性质得出OA=OB,ACBD,得出BOE=AOF=90,由角得互余关系得出OBE=OAF,由 ASA 证明BOEAOF,得出对应边相等即可;由正方形得性质得出 OA=OB,ACBD,得出BOE=AOF=90,由角得互余关系得出OBE=OAF,由 ASA 证明BOEAOF,得出对应边相等即可.【解答】证明:四边形 ABCD 就是正方形,OA=OB,ACBD,BOE=AOF=90,OEB+OBE=90,AGBE,AGE=90,OEB+OAF=90,OBE=OAF,在BOE 与AOF 中,BOEAOF(ASA

46、),OE=OF;解:OE=OF 还成立;理由如下:四边形 ABCD 就是正方形,OA=OB,ACBD,BOE=AOF=90,OEB+OBE=90,AGBE,AGE=90,OEB+OAF=90,OBE=OAF,在BOE 与AOF 中,BOEAOF(ASA),OE=OF.【点评】本题考查了正方形得性质、全等三角形得判定与性质;熟练掌握正方形得性质,并能进行推理论证就是解决问题得关键.17.(2016春邳州市期中)如图,点P就是菱形ABCD中对角线AC上得一点,且PE=PB.(1)求证:PE=PD;(2)求证:PDC=PEB;(3)若BAD=80,连接 DE,试求PDE 得度数,并说明理由.【分析】

47、(1)由菱形得性质得出 AB=BC=CD=AD,ABCD,DCP=BCP,由 SAS 证明CDPCBP,得出 PB=PD,再由 PE=PB,即可得出结论;(2)由等腰三角形得性质得出PBC=PEB,由全等三角形得性质得出PDC=PBC,即可得出PDC=PEB;(3)由四边形内角与定理得出DPE=100,由等腰三角形得性质与三角形内角与定理即可得出结果.【解答】(1)解:四边形 ABCD 就是菱形,AB=BC=CD=AD,ABCD,DCP=BCP,在DCP 与BCP 中,CDPCBP(SAS),PB=PD,PE=PB,PE=PD;(2)证明:PE=PB,PBC=PEB,CDPCBP,PDC=PB

48、C,PDC=PEB;(3)解:如图所示:PDE=40;理由如下:在四边形 DPEC 中,DPE=360(PDC+PEC+DCB)=360(PEB+PEC+DCB)=360(180+80)=100,PE=PD PDE=PED=40.【点评】本题考查了菱形得性质、全等三角形得判定与性质、等腰三角形得性质;熟练掌握菱形得性质,证明三角形全等就是解决问题得关键.18.(2016 春昆山市期中)如图,正方形 ABCD 中,AB=1,点 P 就是 BC 边上得任意一点(异于端点 B、C),连接 AP,过 B、D 两点作 BEAP 于点 E,DFAP 于点 F.(1)求证:EF=DFBE;(2)若ADF 得

49、周长为,求 EF 得长.【分析】(1)由正方形得性质得出 AD=AB,证出DAF=ABE,由 AAS 证明ADFBAE,得出 AF=BE,DF=AE,即可得出结论;(2)设DF=a,AF=b,EF=DFAF=ab0,由已知条件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出 a2+b2=1,再由完全平方公式得出 ab 即可.【解答】(1)证明:BEAP,DFAP,DFA=AEB=90,ABE+BAE=90,四边形 ABCD 为正方形,AD=AB,DAB=90=DAF+BAE,DAF=ABE,在ADF 与BAE 中,ADFBAE(AAS),AF=BE,DF=AE,EF=AEAF=DFBE;(2)解:

50、设 DF=a,AF=b,EF=DFAF=ab0,ADF 得周长为,AD=1,DF+AF=,即 a+b=,由勾股定理得:DF2+AF2=AD2,即 a2+b2=1,(ab)2=2(a2+b2)(a+b)2=2=,ab=,即 EF=.【点评】本题考查了正方形得性质、全等三角形得判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握正方形得性质,由勾股定理得出 a 与 b 得关系式就是解决问题(2)得关键.19.(2015 春繁昌县期中)如图,正方形 ABCD 得对角线 AC、BD 得交点为 O,以 O 为端点引两条互相垂直得射线 OM、ON,分别交边 AB、BC 于点 E、F.(1)求证:0E=OF;(2)若正方形