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1、.1 数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)一选择题共 12 小题 1如图，DE 是ABC 的中位线，过点 C 作 CFBD 交 DE 的延长线于点 F，则以下结论正确的选项是 AEF=CF BEF=DE CCFBD DEFDE 2如图，在ABC 中，ABC=90，AB=8，BC=6假设 DE 是ABC 的中位线，延长 DE 交ABC 的外角ACM 的平分线于点 F，则线段 DF 的长为 A7 B8 C9 D10 3如图，在ABC 中，AB=4，BC=6，DE、DF 是ABC 的中位线，则四边形 BEDF 的周长是 A5 B7 C8 D10 4如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边
2、AB，AC 的中点，AFBC，垂足为点 F，ADE=30，DF=4，则 BF 的长为 A4 B8 C2 D4 5如图，将矩形纸片 ABCD 沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置，AB与 CD 交于点 E，假设 AB=8，AD=3，则图中阴影局部的周长为 A11 B16 C19 D22 6如图，在 ABCD 中，AB=6，BC=8，C 的平分线交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 AE+AF 的值等于 A2 B3 C4 D6 7如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，.1 ACAB，E 是 BC 中点，AOD 的周长比AOB 的
3、周长多 3cm，则 AE 的长度为 A3cm B4cm C5cm D8cm 8如图，在 ABCD 中，AB=12，AD=8，ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CGBE，垂足为 G，假设 EF=2，则线段 CG 的长为 A B4 C2 D 9关于 ABCD 的表达，正确的选项是 A假设 ABBC，则 ABCD 是菱形 B假设 ACBD，则 ABCD 是正方形 C假设 AC=BD，则 ABCD 是矩形 D假设 AB=AD，则 ABCD 是正方形 10如图，在 ABCD 中，BF 平分ABC，交 AD 于点 F，CE 平分BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，
4、则 BC 长为 A8 B10 C12 D14 11如图，将 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，假设1=2=44，则B 为 A66 B104 C114 D124 12 菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如下列图，顶点 A 5，0，OB=4，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D0，1，当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为 A 0，0 B 1，C，D，.1 二填空题共 12 小题 13如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=5，ABC=60，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 作 OEAD，则 OE=14如图，在ABC 中，点
5、D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形 ADEF 的周长等于 cm 15如图，ABCD 中，ABC=60，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFBC，EF=3，则 AB 的长是 16 有 3 个正方形如下列图放置，阴影局部的面积依次记为 S1，S2，则 S1：S2=17如图，在ABC 中，ACB=90，M、N 分别是 AB、AC 的中点，延长BC 至点 D，使 CD=BD，连接 DM、DN、MN假设 AB=6，则 DN=18 如图，在 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至ADE处，AD与 CE 交
6、于点 F假设B=52，DAE=20，则FED的大小为 19如图，在 RtABC 中，B=90，AB=4，BCAB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 20如图，把平行四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，假设BAE=55，则D1AD=21如图，APB 中，AB=2，APB=90，在 AB 的同侧作正ABD、正APE 和正BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是 22如图，菱形 ABCD 的边长 2，A=60，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，假设将AEF 沿直线 EF 折叠，使得点 A 恰
7、好落在 CD 边的中点 G 处，则 EF=23如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BEAD，BFCD，垂足分别为点 E，.1 F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，假设 AE=DE，则=24如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE=5，F 为 DE 的中点假设CEF 的周长为 18，则 OF 的长为 三解答题共 16 小题 25如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分BAD，交 DC 的延长线于点 E求证：DA=DE 26如图，ABC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，MEAD，交
8、 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F 1求证：AE=AF；2求证：BE=AB+AC 27：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，CEDB，交 AB 的延长线于点 E求证：AC=EC 28如图，平行四边形 ABCD 中，BDAD，A=45，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O 1求证：BO=DO；2假设 EFAB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AE 的长 29如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AC=AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接 BM，MN，BN 1求证：BM=MN；2
9、BAD=60，AC 平分BAD，AC=2，求 BN 的长 30在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，AE=AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G，使得EGB=EAB，连接 AG.1 1如图，当 EF 与 AB 相交时，假设EAB=60，求证：EG=AG+BG；2如图，当 EF 与 CD 相交时，且EAB=90，请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论 31 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，BAD 的角平分线 AE 交 CD 于点 F，交 BC 的延长线于点 E 1求证：BE=CD；2连接 BF，假设 BFAE，BEA=60，AB=4，求平行
10、四边形 ABCD的面积 32如图，ABCD 中，AB=2，AD=1，ADC=60，将 ABCD 沿过点 A的直线 l 折叠，使点 D 落到 AB 边上的点 D处，折痕交 CD 边于点 E 1求证：四边形 BCED是菱形；2假设点 P 是直线 l 上的一个动点，请计算 PD+PB 的最小值 33如图，在 ABCD 中，连接 BD，在 BD 的延长线上取一点 E，在 DB 的延长线上取一点 F，使 BF=DE，连接 AF、CE 求证：AFCE 34如图，在 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F 1求证：AB=CF；2连接 DE，假设 AD=2AB，求证：
11、DEAF 35如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB、CD分别相交于点 E、F，连接 EC 1求证：OE=OF；.1 2假设 EFAC，BEC 的周长是 10，求 ABCD 的周长 36如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AD、BC 的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF 于点 G、H求证：AG=CH 37如图，分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边ACD 及等边ABE，：BAC=30，EFAB，垂足为 F，连接 DF 1试说明 AC=EF；2求证：四边形 ADFE 是平行四边形 38如图，BD 是ABC 的角平分线，它的垂
12、直平分线分别交 AB，BD，BC于点 E，F，G，连接 ED，DG 1请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由；2假设ABC=30，C=45，ED=2，点 H 是 BD 上的一个动点，求 HG+HC 的最小值 39如图 1，点 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边 AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形 EFGH 是平行四边形：1如图 2，将图 1 中的点 C 移动至与点 E 重合的位置，F，G，H 仍是 BC，CD，DA 的中点，求证：四边形 CFGH 是平行四边形；2如图 3，在边长为 1 的小正方形组成的 55 网格中，点 A，C，B 都在格点上，在格点上画出
13、点 D，使点 C 与 BC，CD，DA 的中点 F，G，H 组成正方形 CFGH；3在2条件下求出正方形 CFGH 的边长 40我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.1 1如图 1，四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点 求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形；2如图 2，点 P 是四边形 ABCD 一点，且满足 PA=PB，PC=PD，APB=CPD，点 E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，猜想中点四边形 EFGH 的形状，并证明你的猜想；3假设改变2中的条件，使APB=CPD=90，其他
14、条件不变，直接写出中点四边形 EFGH 的形状 不必证明 数学平行四边形提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析 一选择题共 12 小题 1 2021如图，DE 是ABC 的中位线，过点 C 作 CFBD 交 DE 的延长线于点 F，则以下结论正确的选项是 AEF=CF BEF=DE CCFBD DEFDE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出 AE=EC，然后根据 CFBD 得出ADE=F，继而根据 AAS 证得ADECFE，最后根据全等三角形的性质即可推出 EF=DE【解答】解：DE 是ABC 的中位线，E 为 AC 中点，AE=EC，CFBD，ADE=F，.1 在ADE 和CF
15、E 中，ADECFEAAS，DE=FE 应选 B【点评】此题考察了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出 AE=EC、ADE=F，判定三角形的全等 2 2021如图，在ABC 中，ABC=90，AB=8，BC=6假设 DE 是ABC 的中位线，延长 DE 交ABC 的外角ACM 的平分线于点 F，则线段DF 的长为 A7 B8 C9 D10【分析】根据三角形中位线定理求出 DE，得到 DFBM，再证明 EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在 RTABC 中，ABC=90，AB=8，BC=6，AC=10，DE 是ABC 的中位线，DF
16、BM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，.1 EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8 应选 B【点评】此题考察三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型 3 2021来宾如图，在ABC 中，AB=4，BC=6，DE、DF 是ABC 的中位线，则四边形 BEDF 的周长是 A5 B7 C8 D10【分析】由中位线的性质可知 DE=，DF=，DEBF，DFBE，可知四边形 BEDF 为平行四边形，从而可得周长【解答】解：AB=4，BC=6，DE、DF 是ABC
17、 的中位线，DE=2，DF=3，DEBF，DFBE，四边形 BEDF 为平行四边形，四边形 BEDF 的周长为：22+32=10，应选 D【点评】此题主要考察了三角形中位线的性质，利用中位线的性质证得四边形BEDF为平行四边形是解答此题的关键 4 2021如图，在ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AFBC，垂足为点F，ADE=30，DF=4，则 BF 的长为 A4 B8 C2 D4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在 RTABF 中，利用 30.1 角所对的直角边等于斜边的一半，求出 AF 即可解决问题【解答】解：在 RTABF 中，AFB=90，AD=DB，
18、DF=4，AB=2DF=8，AD=DB，AE=EC，DEBC，ADE=ABF=30，AF=AB=4，BF=4 应选 D【点评】此题考察三角形中位线性质、含 30 度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型 5 2021一模如图，将矩形纸片 ABCD 沿其对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置，AB与 CD 交于点 E，假设 AB=8，AD=3，则图中阴影局部的周长为 A11 B16 C19 D22【分析】首先由四边形 ABCD 为矩形及折叠的特性，得到 BC=BC=AD，B=B=D=90，BEC=DEA，得到AE
19、DCEB，得出EA=EC，再由阴影局部的周长为 AD+DE+EA+EB+BC+EC，即矩形的周长解答即可【解答】解：四边形ABCD为矩形，BC=BC=AD，B=B=D=90.1 BEC=DEA，在AED 和CEB中，AEDCEBAAS；EA=EC，阴影局部的周长为 AD+DE+EA+EB+BC+EC，=AD+DE+EC+EA+EB+BC，=AD+DC+AB+BC，=3+8+8+3，=22，应选 D【点评】此题主要考察了图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，及矩形的性质熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的角是解题的关键 6 2021如图，在 ABCD 中，AB=6，BC=8，C 的平分线交
20、AD 于 E，交 BA 的延长线于 F，则 AE+AF 的值等于 A2 B3 C4 D6【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出F=FCB，证出 BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出 AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，即可得出结果【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AD=BC=8，CD=AB=6，F=DCF，CF 平分BCD，.1 FCB=DCF，F=FCB，BF=BC=8，同理：DE=CD=6，AF=BFAB=2，AE=ADDE=2，AE+AF=4；应选：C【点评】此题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解
21、决问题的关键 7 2021如图，平行四边形 ABCD 的周长是 26cm，对角线 AC 与 BD 交于点 O，ACAB，E 是 BC 中点，AOD 的周长比AOB 的周长多 3cm，则 AE 的长度为 A3cm B4cm C5cm D8cm【分析】由 ABCD 的周长为 26cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，假设AOD的周长比AOB 的周长多 3cm，可得 AB+AD=13cm，ADAB=3cm，求出AB 和 AD 的长，得出 BC 的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案【解答】解：ABCD 的周长为 26cm，AB+AD=13cm，OB=OD，AOD 的周长比AOB 的周长多
22、 3cm，OA+OD+ADOA+OB+AB=ADAB=3cm，AB=5cm，AD=8cm.1 BC=AD=8cm ACAB，E 是 BC 中点，AE=BC=4cm；应选：B【点评】此题考察了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出 AE 是解决问题的关键 8 2021如图，在 ABCD 中，AB=12，AD=8，ABC 的平分线交 CD于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CGBE，垂足为 G，假设 EF=2，则线段CG 的长为 A B4 C2 D【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出CBE=CFB=ABE=E，从而得
23、到 CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出 BE，然后用等腰三角形的三线合一求出 BG，最后用勾股定理即可【解答】解：ABC 的平分线交 CD 于点 F，ABE=CBE，四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，CBE=CFB=ABE=E，CF=BC=AD=8，AE=AB=12，AD=8，DE=4，.1 DCAB，EB=6，CF=CB，CGBF，BG=BF=2，在 RtBCG 中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG=2，应选：C【点评】此题是平行四边形的性质，主要考察了角平分线的定义，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解此题的关键是求出
24、AE，记住：题目中出现平行线和角平分线时，极易出现等腰三角形这一特点 9 2021关于 ABCD 的表达，正确的选项是 A假设 ABBC，则 ABCD 是菱形 B假设 ACBD，则 ABCD 是正方形 C假设 AC=BD，则 ABCD 是矩形 D假设 AB=AD，则 ABCD 是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D 错误，C 正确；即可得出结论【解答】解：ABCD 中，ABBC，四边形 ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项 A 错误；ABCD 中，ACBD，.1 四边形 ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项 B 错误；ABCD 中，AC=BD，四
25、边形 ABCD 是矩形，选项 C 正确；ABCD 中，AB=AD，四边形 ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项 D 错误；应选：C【点评】此题考察了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键 10 2021如图，在 ABCD 中，BF 平分ABC，交 AD 于点 F，CE 平分BCD，交 AD 于点 E，AB=6，EF=2，则 BC 长为 A8 B10 C12 D14【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出ABF=AFB，得出 AF=AB=6，同理可证 DE=DC=6，再由 EF 的长，即可求出 BC 的长【解答】
26、解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，DC=AB=6，AD=BC，AFB=FBC，BF 平分ABC，ABF=FBC，则ABF=AFB，AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，EF=AF+DEAD=2，.1 即 6+6AD=2，解得：AD=10；应选：B【点评】此题主要考察了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出 AF=AB 是解决问题的关键 11 2021如图，将 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，假设1=2=44，则B 为 A66 B104 C114 D124【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出 ACD=BAC=BAC，由三角形
27、的外角性质求出BAC=ACD=BAC=1=22，再由三角形角和定理求出B 即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ACD=BAC，由折叠的性质得：BAC=BAC，BAC=ACD=BAC=1=22，B=1802BAC=1804422=114；应选：C【点评】此题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出 BAC 的度数是解决问题的关键 12 2021菱形 OABC 在平面直角坐标系的位置如下列图，顶点 A5，0，.1 OB=4，点 P 是对角线 OB 上的一个动点，D0，1，当 CP+DP 最短时，点 P 的坐标为 A
28、 0，0 B 1，C，D，【分析】如图连接 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BKOA 于 K首先说明点 P 就是所求的点，再求出点 B 坐标，求出直线 OB、DA，列方程组即可解决问题【解答】解：如图连接 AC，AD，分别交 OB 于 G、P，作 BKOA 于 K 四边形 OABC 是菱形，ACOB，GC=AG，OG=BG=2，A、C 关于直线 OB 对称，PC+PD=PA+PD=DA，此时 PC+PD 最短，在 RTAOG 中，AG=，AC=2，OABK=ACOB，BK=4，AK=3，点 B 坐标8，4，直线 OB 解析式为 y=*，直线 AD 解析式为 y=*+1，由解得，点 P
29、 坐标，应选 D【点评】此题考察菱形的性质、轴对称最短问题、坐标与图象的性质等知识，.1 解题的关键是正确找到点 P 位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型 二填空题共 12 小题 13 2021新城区校级模拟如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=5，ABC=60，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 作 OEAD，则 OE=【分析】作 CFAD 于 F，由平行四边形的性质得出ADC=ABC=60，CD=AB=4，OA=OC，求 出 DCF=30，由 直 角 三 角 形 的 性 质 得 出DF=CD=2，求出 CF=DF=2，证出 O
30、E 是ACF 的中位线，由三角形中位线定理得出 OE 的长即可【解答】解：作 CFAD 于 F，如下列图：四边形 ABCD 是平行四边形，ADC=ABC=60，CD=AB=4，OA=OC，DCF=30，DF=CD=2，CF=DF=2，CFAD，OEAD，CFOE，OA=OC，OE 是ACF 的中位线，OE=CF=；故答案为：【点评】此题考察了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形.1 中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出 OE 是三角形的中位线是解决问题的关键 14 2021如图，在ABC 中，点 D、E、F 分别是边 AB、BC、CA 上的中点，且 AB=6cm，A
31、C=8cm，则四边形 ADEF 的周长等于 14 cm【分析】首先证明四边形 ADEF 是平行四边形，根据三角形中位线定理求出 DE、EF 即可解决问题【解答】解：BD=AD，BE=EC，DE=AC=4cm，DEAC，CF=FA，CE=BE，EF=AB=3cm，EFAB，四边形 ADEF 是平行四边形，四边形 ADEF 的周长=2DE+EF=14cm 故答案为 14【点评】此题考察三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型 15 2021 秋市校级月考如图，ABCD 中，ABC=60
32、，E、F 分别在CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFBC，EF=3，则 AB 的长是【分析】根据直角三角形性质求出 CE 长，利用勾股定理即可求出 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC，AB=CD，AEBD，.1 四边形 ABDE 是平行四边形，AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点，EFBC，EFC=90，ABCD，DCF=ABC=60，CEF=30，EF=3，CE=2，AB=，故答案为：【点评】此题考察了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强 16 2021区模拟有 3 个正方形如下列图
33、放置，阴影局部的面积依次记为S1，S2，则 S1：S2=4：9 【分析】设大正方形的边长为*，再根据相似的性质求出 S1、S2与正方形面积的关系，然后进展计算即可得出答案【解答】解：设大正方形的边长为*，根据图形可得：=，=，.1=，S1=S正方形 ABCD，S1=*2，=，=，S2=S正方形 ABCD，S2=*2，S1：S2=*2：*2=4：9 故答案是：4：9【点评】此题考察了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出 S1、S2与正方形面积的关系 17 2021随州如图，在ABC 中，ACB=90，M、N 分别是 AB、AC的中点，延
34、长 BC 至点 D，使 CD=BD，连接 DM、DN、MN假设 AB=6，则 DN=3 【分析】连接 CM，根据三角形中位线定理得到 NM=CB，MNBC，证明四边形 DCMN 是平行四边形，得到 DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可【解答】解：连接CM，M、N 分别是AB、AC的中点，NM=CB，MNBC，又CD=BD，MN=CD，又MNBC，.1 四边形 DCMN 是平行四边形，DN=CM，ACB=90，M 是 AB 的中点，CM=AB=3，DN=3，故答案为：3【点评】此题考察的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线
35、平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键 18 2021如图，在 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将ADE 沿 AE 折叠至ADE 处，AD与 CE 交于点 F假设B=52，DAE=20，则FED的大小为 36 【分析】由平行四边形的性质得出D=B=52，由折叠的性质得：D=D=52，EAD=DAE=20，由三角形的外角性质求出AEF=72，与三角形角和定理求出AED=108，即可得出FED的大小【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，D=B=52，由折叠的性质得：D=D=52，EAD=DAE=20，AEF=D+DAE=52+20=72，AED=180EADD=108，FED=
36、10872=36；故答案为：36.1【点评】此题考察了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出AEF 和AED是解决问题的关键 19 2021东营如图，在RtABC 中，B=90，AB=4，BCAB，点D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 4 【分析】首先证明 BCAE，当 DEBC 时，DE 最短，只要证明四边形 ABDE是矩形即可解决问题【解答】解：四边形 ADCE 是平行四边形，BCAE，当 DEBC 时，DE 最短，此时B=90，ABBC，DEAB，四边形 ABDE 是平行四
37、边形，B=90，四边形 ABDE 是矩形，DE=AB=4，DE 的最小值为 4 故答案为 4【点评】此题考察平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE 的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型 20 2021如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点 A 重合，这时点.1 D 落在 D1，折痕为 EF，假设BAE=55，则D1AD=55 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出D1AE=BAD，得出D1AD=BAE=55即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，BAD=C，由折叠的性质得：D1AE=C，D1AE=BAD，D1AD=BAE=55；故答案为：55【
38、点评】此题考察了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出 D1AE=BAD是解决问题的关键 21 2021如图，APB中，AB=2，APB=90，在 AB 的同侧作正ABD、正APE 和正BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是 1 【分析】先延长 EP 交 BC 于点 F，得出 PFBC，再判定四边形 CDEP 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形 CDEP 的面积=EPCF=ab=ab，最后根据 a2+b2=4，判断ab 的最大值即可【解答】解：延长 EP 交 BC 于点 F，APB=90，APE=BPC=60，EPC=150，CPF=180150=30，PF
39、 平分BPC，又PB=PC，.1 PFBC，设 RtABP 中，AP=a，BP=b，则 CF=CP=b，a2+b2=22=4，APE 和ABD 都是等边三角形，AE=AP，AD=AB，EAP=DAB=60，EAD=PAB，EADPABSAS，ED=PB=CP，同理可得：APBDCBSAS，EP=AP=CD，四边形 CDEP 是平行四边形，四边形 CDEP 的面积=EPCF=ab=ab，又ab2=a22ab+b20，2aba2+b2=4，ab1，即四边形 PCDE 面积的最大值为 1 故答案为：1【点评】此题主要考察了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的
40、关键是作辅助线构造平行四边形的高线 22 2021如图，菱形 ABCD 的边长 2，A=60，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，假设将AEF 沿直线 EF 折叠，使得点 A 恰好落在 CD 边的中点 G 处，则 EF=.1【分析】延长 CD，过点 F 作 FMCD 于点 M，连接 GB、BD，作 FHAE交于点 H，由菱形的性质和条件得出MFD=30，设 MD=*，则 DF=2*，FM=*，得出 MG=*+1，由勾股定理得出*+12+*2=22*2，解方程得出 DF=0.6，AF=1.4，求出 AH=AF=0.7，FH=，证明DCB是等边三角形，得出 BGCD，由勾股定理求出 BG=，设
41、BE=y，则 GE=2y，由勾股定理得出2+y2=2y2，解方程求出 y=0.25，得出 AE、EH，再由勾股定理求出 EF 即可【解答】解：延长 CD，过点 F 作 FMCD 于点 M，连接 GB、BD，作 FHAE 交于点 H，如下列图：A=60，四边形 ABCD 是菱形，MDF=60，MFD=30，设 MD=*，则 DF=2*，FM=*，DG=1，MG=*+1，*+12+*2=22*2，解得：*=0.3，DF=0.6，AF=1.4，AH=AF=0.7，FH=AFsin A=1.4=，CD=BC，C=60，DCB 是等边三角形，G 是 CD 的中点，BGCD，.1 BC=2，GC=1，BG
42、=，设 BE=y，则 GE=2y，2+y2=2y2，解得：y=0.25，AE=1.75，EH=AEAH=1.750.7=1.05，EF=故答案为：【点评】此题考察了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；此题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键 23 2021如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BEAD，BFCD，垂足分别为点 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，假设 AE=DE，则=【分析】连接 AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB=BD
43、，然后判断出ABD 是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60求出ADB=60，设 EF 与 BD 相交于点H，AB=4*，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出 DH，从而得到 GH，利用勾股定理列式求出 EG，最后求出比值即可【解答】解：如图，连接 AC、EF，.1 在菱形 ABCD 中，ACBD，BEAD，AE=DE，AB=BD，又菱形的边 AB=AD，ABD 是等边三角形，ADB=60，设 EF 与 BD 相交于点 H，AB=4*，AE=DE，由菱形的对称性，CF=DF，EF 是ACD 的中位线，DH=DO=BD=*，在 RtEDH 中，EH=DH=
44、*，DG=BD，GH=BD+DH=4*+*=5*，在 RtEGH 中，由勾股定理得，EG=2*，所以，=故答案为：【点评】此题考察了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线 24 2021如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E为 BC 上一点，CE=5，F 为 DE 的中点假设CEF 的周长为 18，则 OF 的.1 长为【分析】先根据直角三角形的性质求出 DE 的长，再由勾股定理得出 CD 的长，进而可得出 BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论【解答】
45、解：CE=5，CEF 的周长为 18，CF+EF=185=13 F 为 DE 的中点，DF=EF BCD=90，CF=DE，EF=CF=DE=6.5，DE=2EF=13，CD=12 四边形 ABCD 是正方形，BC=CD=12，O 为 BD 的中点，OF 是BDE 的中位线，OF=BCCE=125=故答案为：【点评】此题考察的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中 三解答题共 16 小题 25 2021如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分BAD，交 DC 的延长线于点 E求证：DA=DE .1【分析】由平行四边形的性质得出 ABCD，得出错角相等E
46、=BAE，再由角平分线证出E=DAE，即可得出结论【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，E=BAE，AE 平分BAD，BAE=DAE，E=DAE，DA=DE【点评】此题考察了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出E=DAE 是解决问题的关键 26 2021如图，ABC，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，MEAD，交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F 1求证：AE=AF；2求证：BE=AB+AC 【分析】1欲证明 AE=AF，只要证明AEF=AFE 即可 2作 CGEM，交 BA 的延长线于 G，先证明
47、 AC=AG，再证明 BE=EG 即可解决问题【解答】证明：1DA 平分BAC，BAD=CAD，ADEM，BAD=AEF，CAD=AFE，.1 AEF=AFE，AE=AF 2作 CGEM，交 BA 的延长线于 G EFCG，G=AEF，ACG=AFE，AEF=AFE，G=ACG，AG=AC，EMCG，=，BM=CM，BE=EG，BE=BG=BA+AG=AB+AC 【点评】此题考察三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型 27 2021 春泉山区校级月考：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD
48、相交于点 O，CEDB，交 AB 的延长线于点 E求证：AC=EC【分析】先由矩形的对角线相等得出 AC=DB，再证明四边形 CDBE 是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出 AC=CE【解答】证明：四边形ABCD 是矩形，AC=DB，ABDC，DCBE，.1 又CEDB，四边形 CDBE 是平行四边形，DB=CE，AC=CE【点评】此题考察了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和证明平行四边形是解决问题的关键 28 2021如图，平行四边形 ABCD 中，BDAD，A=45，E、F 分别是 AB、CD 上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O 1求证：
49、BO=DO；2假设 EFAB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AE 的长【分析】1由平行四边形的性质和AAS 证明OBEODF，得出对应边相等即可；2证出 AE=GE，再证明 DG=DO，得出 OF=FG=1，即可得出结果【解答】1证明：四边形 ABCD 是平行四边形，DCAB，OBE=ODF 在OBE 与ODF 中，OBEODFAAS BO=DO 2解：EFAB，ABDC，GEA=GFD=90 A=45，.1 G=A=45 AE=GE BDAD，ADB=GDO=90 GOD=G=45 DG=DO，OF=FG=1，由1可知，OE=OF=1，GE=OE+OF+FG=3
50、，AE=3【点评】此题考察了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题1的关键 29 2021如图，在四边形ABCD 中，ABC=90，AC=AD，M，N 分别为 AC，CD 的中点，连接BM，MN，BN 1求证：BM=MN；2BAD=60，AC 平分BAD，AC=2，求 BN 的长【分析】1根据三角形中位线定理得 MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得 BM=AC，由此即可证明 2首先证明BMN=90，根据 BN2=BM2+MN2即可解决问题【解答】1证明：在CAD 中，M、N 分别是 AC、CD 的中点，MNA