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1、- 1 -第四节第四节 直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。2016，全国卷，11,5 分(面面平行性质、线线角)2016，全国卷，14,5 分(线面平行性质)2016，北京卷，17,14 分(线面平行、垂直的判定)2014，全国卷，18()，12 分(线面平行的判定与性质)1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其
2、应用等内容；2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。微知识 小题练自|主|排|查1直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为线线平行线面平行)。Error!l(2)性质定理- 2 -文字语言图形语言符号语言性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记线面平行线线平行)。Error!ab2.平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平
3、面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)(2)两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行3.平行关系中的两个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a，则。(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若，则。- 3 -微点提醒 1推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内。2推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面。3利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2
4、P61A 组 T1(1)改编)下列命题中正确的是( )A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C平行于同一条直线的两个平面平行D若直线a，b和平面满足ab，a，b，则b【解析】 A 错误，因a可能在经过b的平面内；B 错误，a与内的直线平行或异面；C 错误，两个平面可能相交；D 正确，由a，可得a平行于经过直线a的平面与的交线c，即ac，又ab，所以bc，b，c，所以b。故选 D。【答案】 D2(必修 2P56练习 T2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_。【解析】 连接B
5、D，设BDACO，连接EO，在BDD1中，点E，O分别是DD1，BD的中点，则EOBD1，又因为EO平面ACE，BD1平面AEC，所以BD1平面ACE。【答案】 平行二、双基查验1若一直线上有相异三个点A，B，C到平面的距离相等，那么直线l与平面的位置关系是( )Al BlCl与相交且不垂直 Dl或l- 4 -【解析】 由于l上有三个相异点到平面的距离相等，则l与可以平行，l时也成立。故选 D。【答案】 D2下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是( )A一个平面内的一条直线平行于另一个平面B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线
6、都平行于另一个平面【解析】 由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故选 D。【答案】 D3已知直线a，b，平面，则以下三个命题：若ab，b，则a；若ab，a，则b；若a，b，则ab。其中真命题的个数是( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个【解析】 对于命题，若ab，b，则应有a或a，所以不正确；对于命题，若ab，a，则应有b或b，因此也不正确；对于命题，若a，b，则应有ab或a与b相交或a与b异面，因此也不正确。故选 A。【答案】 A4已知平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直。其中真命题的
7、序号是_。【解析】 由面面平行和线面平行的性质可知，过a与相交的平面与的交线才与a平行，故错误；正确；平面内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故错误。【答案】 5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，平面D1BQ平面PAO。- 5 -【解析】 如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA。连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO。故Q为CC1
8、的中点时，有平面D1BQ平面PAO。【答案】 Q为CC1的中点微考点 大课堂考点一 线面平行的判定及性质【典例 1】 如图，四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段1 2AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点。(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD。【证明】 (1)连接EC，ADBC，BCAD，1 2BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点。又F是PC的中点，FOAP，FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF。(2)连接FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，FH平面PAD。又O是AC的中点，H是C
9、D的中点，OHAD，OH平面PAD。又FHOHH，平面OHF平面PAD。又GH平面OHF，GH平面PAD。反思归纳 判断或证明线面平行的常用方法1利用线面平行的定义(无公共点)；2利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；- 6 -3利用面面平行的性质定理(，aa)；4利用面面平行的性质(，a，a，aa)。【变式训练】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH。求证：APGH。【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点，又M是PC的中点，APOM。又M
10、O平面BMD，PA平面BMD，PA平面BMD。平面PAHG平面BMDGH，且PA平面PAHG，PAGH。考点二 面面平行的判定与性质【典例 2】 (2016山东高考)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB。(1)已知ABBC，AEEC。求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点。求证：GH平面ABC。【证明】 (1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF，连接DE。因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC。同理可得BDAC。又BDDED，所以AC平面BDEF，- 7 -因为FB平面BDEF，所以ACFB。(2)设FC的中点为I，连接GI，HI。在CEF中，因为G是C
11、E的中点，所以GIEF。又EFDB，所以GIDB。在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII，所以平面GHI平面ABC。因为GH平面GHI，所以GH平面ABC。反思归纳 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行” 、 “线面平行” 、 “面面平行”的相互转化。【变式训练】 (2016衡水模拟)如图所示的几何体ABCDFE中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，
12、四边形BCED是边长为2 的正方形，且所在平面垂直于平面ABC。(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE平面BCF。【解析】 (1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG。AOBC，AO平面ABC，平面BCED平面ABC，AO平面BCED。同理FG平面BCED。AOFG，3VABCDFE2VFBCED 42。1 338 33(2)证明：由(1)知AOFG，AOFG，四边形AOFG为平行四边形，AGOF。又DEBC，DEAGG，DE平面ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF，平面ADE平面BCF。- 8 -【答案】 (1) (2)见解
13、析8 33考点三 平行关系中的探索性问题【典例 3】 (2016北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC。(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点。在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由。【解析】 (1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC。又因为DCAC，PCACC，所以DC平面PAC。(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC。因为PC平面ABCD，所以PCAB，又PCACC。所以AB平面PAC，AB平面PAB。所以平面PAB平面PAC。(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF。证明如
14、下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF。又因为E为AB的中点，所以EFPA。又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF。【答案】 (1)(2)见解析 (3)存在，理由见解析反思归纳 解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在。而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明。【变式训练】 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形。- 9 -(1)证明：平面AB1C平面DA1
15、C1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由。【解析】 (1)证明：由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1DC1，AB1平面DA1C1，DC1平面DA1C1，AB1平面DA1C1，同理可证B1C平面DA1C1，而AB1B1CB1，由面面平行的判定定理知，平面AB1C平面DA1C1。(2)存在这样的点P，使BP平面DA1C1。A1B1綊AB綊DC，四边形A1B1CD为平行四边形。A1DB1C。在C1C的延长线上取点P，使C1CCP，连接BP，B1B綊C1C，B1B綊CP，四边形BB1CP为平行四边形，则BPB1C，BPA1D，B
16、P平面DA1C1。【答案】 (1)见解析 (2)存在 P在C1C的延长线上，且C1CCP微考场 新提升1设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是( )Aml1且nl2 Bm且nl2Cm且n Dm且l1解析 由ml1，m，l1，得l1，同理l2，又l1，l2相交，所以，反之不成立，所以ml1且nl2是的一个充分不必要条件。故选 A。答案 A2若平面平面，直线a平面，点B，则在平面内且过B点的所有直线中( )A不一定存在与a平行的直线- 10 -B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一与a平行的直线解析 当直
17、线a在平面内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选 A。答案 A3已知不重合的直线a，b和平面，若a，b，则ab；若a，b，则ab；若ab，b，则a；若ab，a，则b或b。其中命题正确的是_。(填序号)解析 若a，b，则a，b平行或异面；若a，b，则a，b平行、相交、异面都有可能；若ab，b，则a或a。答案 4给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn。其中真命题为_。解析 中当与不平行时，也能存在符合题意的l，m。中l与m也可能异面。中Error!lm，同理ln，则mn，正确。答案 5如图所示，在四棱锥
18、PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点。(1)求证：PA平面EFG；- 11 -(2)求三棱锥PEFG的体积。解析 (1)证明：如图，取AD的中点H，连接GH，FH。E，F分别为PC，PD的中点，EFCD。G，H分别是BC，AD的中点，GHCD。EFGH。E，F，H，G四点共面。F，H分别为DP，DA的中点，PAFH。PA平面EFG，FH平面EFG，PA平面EFG。(2)PD平面ABCD，CG平面ABCD，PDCG。又CGCD，CDPDD，GC平面PCD。PFPD1，EFCD1，1 21 2SPEFEFPF 。1 21 2又GCBC1，1 2VPEFGVGPEF 1 。1 31 21 6答案 (1)见解析 (2)16