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1、1升级增分训练升级增分训练 导数的综合应用（一）导数的综合应用（一）1设函数f(x)ln xax2xa1(aR)(1)当a 时，求函数f(x)的单调区间；1 2(2)证明：当a0 时，不等式f(x)x1 在1，)上恒成立解：(1)当a 时，1 2f(x)ln xx2x ，且定义域为(0，)，1 21 2因为f(x) x1，(x0)1 x(x1 52)(x1 52)x当x时，f(x)0；(0，1 52)当x时，f(x)0，(1 52，)所以f(x)的单调增区间是；(0，1 52单调减区间是1 52，)(2)证明：令g(x)f(x)x1ln xax2a，则g(x) 2ax，1 x2ax21 x所以
2、当a0 时，g(x)0 在1，)上恒成立，所以g(x)在1，)上是增函数，且g(1)0，所以g(x)0 在1，)上恒成立，即当a0 时，不等式f(x)x1 在1，)上恒成立2(2016海口调研)已知函数f(x)mx ，g(x)3ln xm x(1)当m4 时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若x(1，(e 是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)3 恒成立，求实数me的取值范围解：(1)当m4 时，f(x)4x ，f(x)4，4 x4 x2f(2)5，又f(2)6，所求切线方程为y65(x2)，2即y5x4(2)由题意知，x(1，时，emx 3ln x3 恒成立，m
3、x即m(x21)3x3xln x恒成立，x(1，x210，e则m恒成立3x3xln x x21令h(x)，x(1，3x3xln x x21e则mh(x)minh(x)，3x21ln x6 x2123x21ln x6 x212x(1，eh(x)0，即h(x)在(1，上是减函数e当x(1，时，h(x)minh()ee9 e2e1m的取值范围是(，9 e2e2)3(2017广西质检)设函数f(x)cln xx2bx(b，cR，c0)，且x1 为f(x)的1 2极值点(1)若x1 为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)0 恰有两解，求实数c的取值范围解：f(x) xb
4、(x0)，又f(1)0，c xx2bxc x所以f(x)(x0)且c1，bc10x1xc x(1)因为x1 为f(x)的极大值点，所以c1，当 0x1 时，f(x)0；当 1xc时，f(x)0；当xc时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，)；单调递减区间为(1，c)(2)若c0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增f(x)0 恰有两解，3则f(1)0，即 b0，1 2所以 c0；1 2若 0c1，则f(x)极大值f(c)cln cc2bc，1 2f(x)极小值f(1) b，1 2因为b1c，则f(x)极大值cln cc(1c)cln cc0，c2 2c
5、2 2f(x)极小值 c0，从而f(x)0 只有一解；1 2若c1，则f(x)极小值cln cc(1c)cln cc0，c2 2c2 2f(x)极大值 c0，1 2则f(x)0 只有一解综上，使f(x)0 恰有两解的c的取值范围为(1 2，0)4(2017福建省质检)已知函数f(x)axln(x1)，g(x)exx1曲线yf(x)与yg(x)在原点处的切线相同(1)求f(x)的单调区间；(2)若x0 时，g(x)kf(x)，求k的取值范围解：(1)因为f(x)a(x1)，g(x)ex1，1 x1依题意，f(0)g(0)，即a10，解得a1，所以f(x)1，1 x1x x1当1x0 时，f(x)
6、0；当x0 时，f(x)0故f(x)的单调递减区间为(1,0)，单调递增区间为(0，)(2)由(1)知，当x0 时，f(x)取得最小值 0，所以f(x)0，即xln(x1)，从而 exx1设F(x)g(x)kf(x)exkln(x1)(k1)x1，则F(x)ex(k1)x1(k1)，k x1k x14()当k1 时，因为x0，所以F(x)x120(当且仅当x0 时等号1 x1成立)，此时F(x)在0，)上单调递增，从而F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)()当k1 时，因为f(x)0，所以f(x)kf(x)由()知g(x)f(x)0，所以g(x)f(x)kf(x)，故g(x)kf(x)()
7、当k1 时，令h(x)ex(k1)，k x1则h(x)ex，k x12显然h(x)在0，)上单调递增，又h(0)1k0，h(1)e110，kk所以h(x)在(0，1)上存在唯一零点x0，k当x(0，x0)时，h(x)0，所以h(x)在0，x0)上单调递减，从而h(x)h(0)0，即F(x)0，所以F(x)在0，x0)上单调递减，从而当x(0，x0)时，F(x)F(0)0，即g(x)kf(x)，不合题意综上，实数k的取值范围为(，15(2016石家庄质检)已知函数f(x)x3ax ，g(x)exe(e 为自然对数的1 4底数)(1)若曲线yf(x)在(0，f(0)处的切线与曲线yg(x)在(0，
8、g(0)处的切线互相垂直，求实数a的值；(2)设函数h(x)Error!试讨论函数h(x)零点的个数解：(1)由已知，f(x)3x2a，g(x)ex，所以f(0)a，g(0)1，由题意，知a1(2)易知函数g(x)exe 在 R 上单调递增，仅在x1 处有一个零点，且x1 时，g(x)0，又f(x)3x2a，当a0 时，f(x)0，f(x)在 R 上单调递减，且过点，f(1)(0，1 4)5 a0，3 4即f(x)在x0 时必有一个零点，此时yh(x)有两个零点；当a0 时，令f(x)3x2a0，两根为x10，x2 0，a 3a 3则 是函数f(x)的一个极小值点， 是函数f(x)的一个极大值
9、点，a 3a 3而f3a( a 3)( a 3)( a 3)1 4 0；2a 3a 31 4现在讨论极大值的情况：f3a ，a 3a 3a 31 42a 3a 31 4当f0，即a 时，a 33 4函数yf(x)在(0，)上恒小于零，此时yh(x)有两个零点；当f0，即a 时，a 33 4函数yf(x)在(0，)上有一个零点x0 ，a 31 2此时yh(x)有三个零点；当f0，即a 时，a33 4函数yf(x)在(0，)上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于，a 3a 3若f(1)1a 0，1 4即a 时，yh(x)有四个零点；5 4若f(1)1a 0，1 4即a 时，yh(x)有三个零点；
10、5 46若f(1)1a 0，1 4即a 时，yh(x)有两个零点5 4综上所述：当a 或a 时，yh(x)有两个零点；3 45 4当a 或a 时，yh(x)有三个零点；3 45 4当 a 时，yh(x)有四个零点3 45 46已知函数f(x)axbln x1，此函数在点(1，f(1)处的切线为x轴(1)求函数f(x)的单调区间和最大值；(2)当x0 时，证明：ln ；1 x1x1 x1 x(3)已知nN*，n2，求证： ln n1 1 21 31 n1 21 n1解：(1)由题意得Error!因为f(x)a ，b x所以Error!解得Error!所以f(x)xln x1即f(x)1 ，1 x
11、1x x又函数f(x)的定义域为(0，)，所以当 0x1 时，f(x)0，当x1 时，f(x)0故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)，函数f(x)的最大值为f(1)0(2)证明：由(1)知f(x)xln x1，且f(x)0(当且仅当x1 时取等号)，所以 ln xx1(当且仅当x1 时取等号)当x0 时，由1，得 ln 1 ；x1 xx1 xx1 x1 x由1，得 ln1lnlnx x1x x1x x11 x1x x11 x1x1 x1 x1故当x0 时，ln 1 x1x1 x1 x(3)证明：由(2)可知，7当x0 时，ln 1 x1x1 x1 x取x1,2，n1，nN*，n2，将所得各式相加，得 ln ln ln1 ，1 21 31 n2 13 2n n11 21 n1故 ln n1 1 21 31 n1 21 n1