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1、1升级增分训练升级增分训练 简化解析几何运算的简化解析几何运算的 5 5 个技巧个技巧1(2016四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A B332 3C D122解析:选 C 如图所示,设P(x0,y0)(y00),则y2px0,2 0即x0y2 0 2p设M(x,y),由2,PMMF得Error!化简可得Error!直线OM的斜率为k(当且仅当y0p时取y0 3 px0 3y0py2 02p2p 2p2 y0y02p2 2p2222等号)2设双曲线1 的一条渐近线为y2x,且一
2、个焦点与抛物线yx2的焦点x2 ay2 b1 4相同,则此双曲线的方程为( )Ax25y21 B5y2x215 45 4C5x2y21 Dy25x215 45 4解析:选 D 因为x24y的焦点为(0,1),所以双曲线的焦点在y轴上因为双曲线的一条渐近线为y2x,所以设双曲线的方程为y24x2(0),即1,y2 x2 4则1, , 44 52所以双曲线的方程为y25x21,故选 D5 43已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),Px2 a2y2 b2为双曲线上任一点,且最小值的取值范围是,则该双曲线的离PF1PF23 4c2,1 2c2心率的取值范围为( )
3、A(1, B,222C(0, D2,)2解析:选 B 设P(x0,y0),则(cx0,y0)(cx0,y0)PF1PF2xc2ya2c2y,2 02 0(1y2 0 b2)2 0上式当y00 时取得最小值a2c2,根据已知c2a2c2c2,3 41 2即c2a2c2,1 41 2即 24,c2 a2即 2,2c a所以所求离心率的取值范围是,224过抛物线y22px(p0)的焦点F,斜率为 的直线交抛物线于A,B两点,若4 3 (1),则的值为( )AFFBA5 B4C D4 35 2解析:选 B 根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),由,AFFB得,(p 2x1,y1)(x2p 2,
4、y2)故y1y2,即y1 y2设直线AB的方程为y,4 3(xp 2)3联立直线与抛物线方程,消元得y2pyp203 2故y1y2p,y1y2p2,3 22 ,y1y22 y1y2y1 y2y2 y19 4即2 1 9 4又1,解得45(2015四川高考)设直线l与抛物线y24x相交于A,B两点,与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点若这样的直线l恰有 4 条,则r的取值范围是( )A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析:选 D 设A,B,M,C(5,0)为圆心,当(y2 1 4,y1)(y2 2 4,y2)(y2 1y2 2 8,y1y22)y1y2
5、时,kAB,kCM,由kABkCM1yy24,所以M4 y1y24y1y2 y2 1y2 2402 12 2,又r2|CM|24210y1y2,所以(2r220)2y y,所以(3,y1y2 2)(y1y2 2)1 22 1 2 2y,y是方程t224t(2r220)20 的两个不同的正根,由0 得 2r4综上,2 12 2r的取值范围是(2,4)6中心为原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y3x2 所得弦中点的横坐标2为 ,则该椭圆方程为( )1 2A1 B12x2 752y2 25x2 75y2 25C1 D1x2 25y2 752x2 252y2 75解析:选 C 由已知得c5,2
6、设椭圆的方程为1,x2 a250y2 a2联立Error!消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0,设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由根与系数关系得x1x2,12a250 10a24504由题意知x1x21,即1,12a250 10a2450解得a275,所以该椭圆方程为1y2 75x2 257已知双曲线C:y21,点M的坐标为(0,1)设P是双曲线C上的点,Q是点x2 2P关于原点的对称点记,则的取值范围是_MPMQ解析:设P(x0,y0),则Q(x0,y0),MPMQ(x0,y01)(x0,y01)xy12 02
7、0x23 2 2 0因为|x0|,2所以的取值范围是(,1答案:(,18(2017长春质检)已知AB为圆x2y21 的一条直径,点P为直线xy20 上任意一点,则的最小值为_PAPB解析:由题意,设A(cos ,sin ),P(x,x2),则B(cos ,sin ),(cos x,sin x2),PA(cos x,sin x2),PBPAPB(cos x)(cos x)(sin x2)(sin x2)x2(x2)2cos2sin22x24x32(x1)21,当且仅当x1,即P(1,1)时,取最小值 1PAPB答案:159设抛物线Error!(t为参数,p0)的焦点为F,准线为l过抛物线上一点A
8、作l的垂线,垂足为B设C,AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|,且ACE的面积为 3(7 2p,0),则p的值为_2解析:由Error!(p0)消去t可得抛物线方程为y22px(p0),F,|AB|AF| |CF|p,可得A(p,p)(p 2,0)1 23 22易知AEBFEC, ,|AE| |FE|AB| |FC|1 2故SACESACF 3pp p23,1 31 321 2222p26p0,p6答案:610(2016河北三市二联)已知离心率为的椭圆1(ab0)的一个焦点为63x2 a2y2 b2F,过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,|AB|2 33(1)求此椭圆的方程;(2)
9、已知直线ykx2 与椭圆交于C,D两点,若以线段CD为直径的圆过点E(1,0),求k的值解:(1)设焦距为 2c,e ,a2b2c2,c a63 ,由题意可知,b a33b2 a33b1,a,3椭圆的方程为y21x2 3(2)将ykx2 代入椭圆方程,得(13k2)x212kx90,又直线与椭圆有两个交点,所以(12k)236(13k2)0,解得k21设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1x2,x1x2,12k 13k29 13k26若以CD为直径的圆过E点,则0,ED即(x11)(x21)y1y20,而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4,则(x11)(x21
10、)y1y2(k21)x1x2(2k1)(x1x2)550,9k21 13k212k2k1 13k2解得k ,满足k217 611(2016山东高考节选)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(ab0)的离心率是,抛物线E:x22y的焦点F是C的一个顶点x2 a2y2 b232(1)求椭圆C的方程(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M求证:点M在定直线上解:(1)由题意知,a2b2a32可得a24b2因为抛物线E的焦点为F,(0,1 2)所以b ,a11 2所以椭圆C的方程为x24y21(2)证明
11、:设P(m0)(m,m2 2)由x22y,可得yx,所以直线l的斜率为m因此直线l的方程为ym(xm),m2 2即ymxm2 27设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),联立方程Error!得(4m21)x24m3xm410由0,得 0m22(*)5由根与系数的关系得x1x2,4m3 4m21因此x02m3 4m21将其代入ymx,m2 2得y0m2 24m21因为,y0 x01 4m所以直线OD的方程为yx1 4m联立方程Error!得点M的纵坐标yM ,1 4所以点M在定直线y 上1 412(2016合肥质检)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,
12、F2的距离之和为 4,离心率为32(1)求椭圆C的方程;(2)若直线ykx1 与曲线C交于A,B两点,求OAB面积的取值范围解:(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),y2 a2x2 b2由题意可知 2a4, ,又a2b2c2,c a32解得a2,c,b1,3故椭圆C的方程为x21y2 4(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由Error!得(k24)x22kx30,故x1x2,x1x2,2k k243 k248设OAB的面积为S,由x1x20,3 k24知S (|x1|x2|) |x1x2|1 21 22,1 2 x1x224x1x2k23 k242令k23t,知t3,S21t1t2对函数yt (t3),知y10,1 t1 t2t21 t2yt 在t3,)上单调递增,1 tt ,1 t10 30,0S,1t1t23 1632即OAB面积的取值范围是(0,32