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1、 7 2015 西城一模 北京市西城区 2015 年初三一模试卷 数学2015.4 一、选择题(本题共 30 分，每小题 3 分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 113的相反数是 A.13B.13 C.3 D.3 2据市烟花办相关负责人介绍，2015 年除夕零时至正月十五 24 时，全市共销售烟花爆竹约 196 000 箱，同比下降了 32%将 196 000 用科学记数法表示应为 A.51.96 10 B.41.96 10 C.419.6 10 D.60.196 10 3下列运算正确的是 A.336abab B.32aaa C.326aa D.632aaa 4如图是一个几何体
2、的直观图，则其主视图是 5甲、乙、丙、丁四名选手参加 100 米决赛，赛场共设 1，2，3，4 四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道若甲首先抽签，则甲抽到 1 号跑道的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 6下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 7如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB，如果BOC=70，那么BAD 等于 A.20B.30 C.35 D.70 8在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P 在反比例函数的图象上，如果点 P 的纵坐 标是 3，OP=5，那么该函数的表达式为 A.12yx B.12yx C.15yx D.15yx 7 20
3、15 西城一模 9为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的 50 名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图这组数据的众数和中位数分别是 A.6，4 B.6，6 C.4，4 D.4，6 10 如图，过半径为 6 的O 上一点 A 作O 的切线l，P 为O 上的一个动点，作 PHl于点 H，连接 PA 如果 PA=x，AH=y，那么下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是 二、填空题(本题共 18 分，每小题 3 分)11如果分式15x 有意义，那么x的取值范围是 12半径为 4cm，圆心角为 60的扇形的面积为 cm2 13分解因式：2123m
4、=14如图，ABC 中，AB=AC，点 D，E 在 BC 边上，当 时，ABD ACE（添加一个适当条件即可）15如图是跷跷板的示意图，立柱 OC 与地面垂直，以 O 为横板 AB 的中点，AB 绕点 O 上下转动，横板 AB 的 B 端最大高度 h 是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设 AB=2 m，OC=0.5m，通过计算得到此时的 h1，再将横板 AB 换成横板 AB，O 为横板 AB的中点，且 AB=3m，此时 B点的最大高度为 h2，由此得到 h1与 h2的大小关系是：h1 h2（填“”、“”或“”）可进一步得出，h 随横板的长度的变化而（填“不变”或“改变”
5、）16如图，数轴上，点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第 1 次点 A 向左 移动 3 个单位长度至点1A，第 2 次从点1A向右移动 6 个单位长度至点2A，第 3 次从点 7 2015 西城一模 2A向左移动 9 个单位长度至点3A，按照这种移动方式进行下去，点4A表示的数是，如果点nA与原点的距离不小于 20，那么n的最小值是 三、解答题(本题共 30 分，每小题 5 分)17计算：011122008()6tan302 18如图，C=E，EAC=DAB，AB=AD求证：BC=DE 19解不等式组203 5148.xxx，20先化简，再求值：223312111aaaa
6、aaa，其中2a 7 2015 西城一模 21从北京到某市可乘坐普通列车或高铁已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是 520千米如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的 2.5 倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用 3 小时求高铁的平均速度是多少千米/时 22已知关于 x 的一元二次方程0)2()1(22mmxmx.（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x 是此方程的一个根，求实数 m 的值 四、解答题(本题共 20 分，每小题 5 分)23如图，四边形 ABCD 中，BD 垂直平分 AC，垂足为点 F，E 为四边形 ABCD 外一点，且ADE=BAD，AEAC（1）
7、求证：四边形 ABDE 是平行四边形；（2）如果 DA 平分BDE，AB=5，AD=6，求 AC 的长 24在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式据调查，新票价改革政策的实施给北京市轨道交通客流带来很大变化根据 2015 年 1 月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图 7 2015 西城一模 根据以上信息解答下列问题：（1）补全扇形图；（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是，调价后里程 x（千米）在范围内的客流量下降最明显对于表中客流量不降反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016 年 1 月这条线路的日均
8、客流量将达到万人次；（精确到 0.1）（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁 15.9 公里到达学校，每天上下学共乘坐两次问调价后小王每周（按 5 天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出元（不考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为 2 元）25如图，AB 为O 的直径，M 为O 外一点，连接 MA 与O 交于点 C，连接 MB 并延长交O 于点 D，经过点 M 的直线 l 与 MA 所在直线关于直线 MD 对称作 BEl 于点 E，连接 AD，DE（1）依题意补全图形；（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与BED 相等的角，并加以证明 7 2015 西城一模 26阅读下面的材料：小
9、敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且1tan2，1tan3，求的度数 小敏是这样解决问题的：如图 1，把，放在正方形网格中，使得ABD，CBE，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得ABC 是等腰直角三角形，因此可求得=ABC=.请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当tan4，3tan5时，在图 2 的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出 MON=，由此可得=_.五、解答题(本题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分)27已知二次函数21yxbxc的图象1C经过(1,0)，(0,3)两点（1）求1C对
10、应的函数表达式；（2）将1C先向左平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到抛物线2C，将2C对应的函数表达式记为22yxmxn，求2C对应的函数表达式；（3）设323yx，在（2）的条件下，如果在2xa 内存在某一个 x 的值，使得2y3y成立，利用函数图象直接写出 a 的取值范围 7 2015 西城一模 28 ABC 中，AB=AC 取 BC 边的中点 D，作 DEAC 于点 E，取 DE 的中点 F，连接 BE，AF 交于点 H（1）如图 1，如果90BAC，那么AHB，AFBE；（2）如图 2，如果60BAC，猜想AHB的度数和AFBE的值，并证明你的结论；（3）如果BAC，那么A
11、FBE（用含的表达式表示）29.给出如下规定：两个图形 G1和 G2，点 P 为 G1上任一点，点 Q 为 G2上任一点，如果线段 PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的距离在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点（1）点 A 的坐标为(1,0)A，则点(2,3)B和射线 OA 之间的距离为_，点(2,3)C 和射线 OA 之间的距离为_；（2）如果直线 y=x 和双曲线kyx之间的距离为2，那么 k=；（可在图 1 中进行研究）（3）点 E 的坐标为(1,3)，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 60，得到射线 OF，在坐 标平面内所有和射线 OE，OF 之
12、间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M 请在图 2 中画出图形 M，并描述图形 M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）将射线 OE，OF 组成的图形记为图形 W，抛物线22 xy与图形 M 的 公共部分记为图形 N，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离 7 2015 西城一模 北京市西城区 2015 年初三一模试卷 数学试卷参考答案及评分标准2015.4 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D A C A B C 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）11 12 13 14 15
13、16 5x 38 3 2121mm BD=CE，BAD=CAE，ADB=AEC，BE=CD，BAE=CAD，ADE=AED，AE=AD（只填一个即可）=，不变 7，13 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）17解：011122008()6tan302=33621324 分=32332=35 分 18证明：如图 1 EAC=DAB，11EACDAB 即BAC=DAE1 分 在ABC 和ADE 中，,CEBACDAEABAD 3 分 ABCADE4 分 BC=DE5 分 19解：203 5148.xxx，由，得2x2 分 由，得15348xx 移项，合并，得1111x 系数化 1，得1x
14、 4 分 所以原不等式组的解集为2x5 分 图 1 7 2015 西城一模 20解：223312111aaaaaaa=2331111a aaaaa2 分 2311311a aaaaa=111aaa3 分=11aa4 分 当2a时，原式=3112125 分 21解：设普通列车的平均速度为 x 千米/时1 分 则高铁的平均速度是 2.5x 千米/时 依题意，得40052032.5xx2 分 解得120 x3 分 经检验，120 x是原方程的解，且符合题意4 分 所以30052x.答：高铁的平均速度是 300 千米/时.5 分 22（1）证明：22(1)4(2)mm m 2248448mmmm 28
15、4m1 分 28m0，284m 02 分 方程总有两个不相等的实数根3 分（2）解：2x 是此方程的一个根，2(2)2(2)(1)(2)0mm m 整理得220mm 解得10m，22m 5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）23（1）证明：ADEBAD，ABED 1 分 BD 垂直平分 AC，垂足为 F，BDAC，AF=FC 又AEAC，90EACDFC AEBD 四边形 ABDE 是平行四边形2 分（2）解：如图 2，连接 BE 交 AD 于点 O DA 平分BDE，7 2015 西城一模 ADE=1 又ADEBAD，1=BAD AB=BD3 分 ABDE 是菱形 AB=5，
16、AD=6，BD=AB=5，ADBE，132OAAD 在 RtOAB中，224OBABOA 1122ABDSAD OBBD AF，6 45AF 解得4.8AF 4 分 BD 垂直平分 AC，29.6ACAF5 分 注：其他解法相应给分 24解：（1）补全扇形图如图 3 所示1 分（2）2 号线，52x72，22.2（各 1 分）4 分（3）305 分 25解：（1）依题意，补全图形如图 41 分（2）BAD2 分 证明：如图 5，连接 BC，CD 直线 l 与直线 MA 关于直线 MD 对称，12 3 分 AB 为O 的直径，90ACB，即BCMA 又BEl，cos1MCMB，cos2MEMB，
17、MC=ME 又C，E 两点分别在直线 MA 与直线 l 上，可得 C，E 两点关于直线 MD 对称 3BED 4 分 又3BAD，BADBED5 分 26解：451 分 画图见图 63 分 455 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25题 8 分）27 解：（1）二次函数21yxbxc的图象1C经过(1,0)，(0,3)两点，10,3.bcc 1 分 图 3 图 4 图 5 图 6 图 2 7 2015 西城一模 解得2,3.bc 2 分 抛物线1C的函数表达式为3221xxy 3 分（2）22123=(1)4yxxx，抛物线1C的顶点为(1,4
18、)4 分 平移后抛物线2C的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22yx5 分（3）a1（见图 7）7 分 28解：（1）90，122 分（2）结论：90AHB，32AFBE 证明：如图 8，连接 AD AB=AC，BAC=60，ABC 是等边三角形 D 为 BC 的中点，ADBC 1+2=90 又DEAC，DEC=90 2+C=90 1=C=60 设 AB=BC=k（0k），则124kCECD，34DEk F 为 DE 的中点，1328DFDEk，3322ADABk 32ADBC，32DFCE BCADCEDF3 分 又1=C，ADFBCE4 分 32AFADBEBC，5 分 图 7 图 8 7 2015 西城一模 3=4 又4+5=90，5=6，3+6=90 90AHB6 分（3）1tan9022（）7 分 注：写1cos2sin或其他答案相应给分 29解：（1）3，13（每空各 1 分）2 分（2）14 分（3）如图 9，过点 O 分别作射线 OE、OF 的垂线 OG、OH，则图形 M 为：y 轴 正半轴，GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）7 分 说明：（画图 2 分，描述 1 分）（图形 M 也可描述为：y 轴正半轴，直线xy33下方与直线xy33下方重叠的部分（含边界）348 分 图 9