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1、 -11-课时提升作业(三十一)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(45 分钟 100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 48 分)1.(2013三明模拟)已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值范围为()A.(-24,7)B.(-7,24)C.(-,-7)(24,+)D.(-,-24)(7,+)【解析】选 B.根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)0,即(a+7)(a-24)0,解得-7a24.2.(2013陕西高考)若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值为()A.-6 B.-2 C.
2、0 D.2【思路点拨】画出曲线和直线围成的封闭区域,把求 2x-y 的最小值转化为求 y=2x-z 所表示直线的截距的最大值,通过平移可求解.【解析】选 A.y=|x|与 y=2 的图象围成一个三角形区域,3 个顶点的坐标分别是(0,0),(-2,2),(2,2).在封闭区域内平移直线 y=2x,过点(-2,2)时,取最小值 2x-y=-6.3.某家电企业要将刚刚生产的 100 台变频空调送往市内某商场,现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供调配.每辆甲型货车的运输费用是 400 元,可装空调 20 台,每辆乙型货车的运输费用是 300 元,可装空调 10 台,若每辆车至多运一次,则企业所
3、花的最少运费为()A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元【解析】选B.设需甲、乙型货车各x,y辆,由题意有:令w=400 x+300y,作出可行域如图.-11-由线性规划知识易知当 x=4,y=2 时,wmin=2200.4.(2013成都模拟)已知平面向量 a=(1,2),b=(2,1),c=(x,y),且满足 x0,y0.若 ac1,bc1,z=-(a+b)c,则()A.z 有最大值-2 B.z 有最小值-2 C.z 有最大值-3 D.z 有最小值-3【解析】选 A.由 ac1,bc1 知画出平面区域如图所示.由题意知z=-(a+b)c=-3(x+y)在点
4、M处取最大值-2.5.(2014温州模拟)若实数 x,y 满足:z=(x-2)2+(y-2)2,则 z 的取值范围为()A.B.-11-C.D.【解析】选 C.不等式表示的平面区域如图.z=(x-2)2+(y-2)2的几何意义是区域内的点与点(2,2)距离的平方.因为(2,2)到直线x+y-2=0的距离为,(2,2)到直线2x+y-4=0的距离为,(2,2)与(2,0)的距离为 2,(2,2)到的交点的距离的平方为,所以 z 的取值范围为.6.在如图所示的平面区域内(阴影部分且包括边界),若目标函数 z=x+ay 取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是()A.B.C.D.【解析】选 B.目标
5、函数 z=x+ay 可化为 y=-x+z.由题意 a1.答案:a1 12.(2014温州模拟)若 x,y 满足|x-1|+|y-1|1,则 x2+y2+4x 的最小值为 .【思路点拨】将已知条件中的绝对值不等式转化为四个不等式组,画出相应的平面区域,将它们合并就是原不等式对应的平面区域,然后再借助距离模型求最小值.【解析】不等式|x-1|+|y-1|1 可化为 或或或画出其对应的可行域(如图).-11-而x2+y2+4x=()2-4,其中表示区域中的点P(x,y)与点A(-2,0)之间的距离,由图形可知,当 P(x,y)在 M(0,1)时,取最小值,这时 x2+y2+4x 的最小值为 1.答案
6、:1 三、解答题(每小题 14 分,共 28 分)13.已知 D 是以点 A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域 D 的不等式组.(2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围.【解析】(1)直线 AB,AC,BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域 D 内,故表示区域 D 的不等式组为:-11-联立 解得 所以点 M 的坐标为(100,200),所以 zmax=3000100+2000200=700000,
7、即该公司在 A 电视台做 100 分钟广告,在 B 电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元.【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型(1)给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大.(2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.【加固训练】1.(2013 安徽模拟)设 D 是不等式组表示的平面区域,则 D 中的点 P(x,y)到直线+y=1 距离的最小值是()A.B.C.D.【解析】选 A.画图确定可行域如图所示,从而确定(-1,0)到直线+y=1 距离最小,为.2.变量 x,y 满足(1)设 z=,求
8、z 的最小值.-11-(2)设 z=x2+y2,求 z 的取值范围.(3)设 z=x2+y2+6x-4y+13,求 z 的取值范围.【解析】由约束条件 作出(x,y)的可行域如图所示.由 解得 A.由解得 C(1,1).由解得 B(5,2).(1)因为 z=,所以 z 的值即是可行域中的点与原点 O 连线的斜率.观察图形可知 zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.所以 2z29.(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax=8.所以 16z64.【方法技巧】常见代数式的几何意义 -11-(1)表示点(x,y)与原点(0,0)的距离.(2)表示点(x,y)与点(a,b)的距离.(3)表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率值.(4)表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率值.