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1、1配餐作业配餐作业( (七十二七十二) )离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差(时间：40 分钟)1为了响应上级号召，某省级重点中学准备从学校 30 至 50 岁(包括 30 岁，但不包括50 岁)的 15 名数学高级教师中选取 3 名参加送教下乡活动，其年龄分布的茎叶图如图所示。(1)若教师年龄分布的极差为 15，求教师年龄的平均数与众数；(2)若选取的 3 名教师中有 2 名男教师和 1 名女教师，将他们分配到甲、乙两所学校，每校至少有 1 名教师，记分配到甲学校的男教师人数为，求的分布列与数学期望。解析 (1)因为教师年龄分布的极差为 15，所以 40x3015，解得x5
2、。所以教师年龄的平均数为(30313234235363734041424445)37，众数为 37。1 15(2)随机变量的可能取值为 0,1,2，P(0) ，1 C1 3C1 21 6P(1) ，C1 2C1 2 C1 3C1 22 3P(2) 。C2 2 C1 3C1 21 6故的分布列为012P1 62 31 6数学期望E()0 1 2 1。1 62 31 6答案 (1)平均数为 37，众数为 37 (2)见解析2据中国新闻网报道，全国很多省、市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注。为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体
3、在该地区选择了 3 600 人就是否应该“取消英语听力”的问题进行调查，调查统计的结果如下表：2态度调查人群 应该取消应该保留无所谓在校学生2 100 人120 人y人社会人士600 人x人z人已知在样本中随机抽取 1 人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05。(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈，则应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 6 人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望E()。解析 (1)抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05，0.05，解得x60。
4、120x 3 600持“无所谓”态度的人数为 3 6002 10012060060720。应在持“无所谓”态度的人中抽取 72072(人)。360 3 600(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人，在所抽取的 6 人中，在校学生有64(人)，社会人士有62(人)，120 18060 180于是第一组的在校学生人数的所有可能取值为 1,2,3。P(1) ，P(2) ，C1 4C2 2 C3 61 5C2 4C1 2 C3 63 5P(3) ，C3 4C0 2 C3 61 5即的分布列为123P1 53 51 5E()1 2 3 2。1 53 51 5答案 (1)72 人 (2)见
5、解析3(2017郑州模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘。由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20 万元15 万元10 万元7.5 万元3若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务。无雨时收益为 20 万元；有雨时收益为 10 万元。额外聘请工人的成本为a万元。已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为 20 万元的概率为 0.36。(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由。解析
6、(1)设下周一无雨的概率为p，由题意，p20.36，p0.6，基地收益X的可能取值为 20,15,10,7.5，则P(X20)0.36，P(X15)0.24，P(X10)0.24，P(X7.5)0.16，所以基地收益X的分布列为：X2015107.5P0.360.240.240.16E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4，所以，基地的预期收益为 14.4 万元。(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则E(Y)200.6100.4a16a，E(Y)E(X)1.6a，综上，当额外聘请工人的成本高于 1.6 万元时，不外聘工人；成本低于 1.6 万元时，外聘工人；成本
7、恰为 1.6 万元时，是否外聘工人均可以。答案 见解析42015 年 9 月 3 日，抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节(可参加多个，也可都不参加)的情况及其概率如下表所示：参加纪念活动的环节数0123概率1 61 61 31 3(1)若从抗战老兵中随机抽取 2 人进行座谈，求这 2 人参加纪念活动的环节数不同的概率；(2)某医疗部门决定从这些抗战老兵中(其中参加纪念活动的环节数为 3 的抗战老兵数大于等于 3)随机抽取 3 名进行体检，设随机
8、抽取的这 3 名抗战老兵中参加三个环节的有名，求的分布列和数学期望。4解析 (1)设“这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M，则“这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件 ，M根据题意可得P( )2222，由对立事件的概率计算公式可得P(M)M(1 6)(1 6)(1 3)(1 3)5 181P( )，故这 2 名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为。M13 1813 18(2)根据题意可知随机变量的可能取值为 0,1,2,3，且P(0)C 3，0 3(11 3)8 27P(1)C 2 ，1 31 3(11 3)4 9P(2)C 2 ，2 3(1 3)(11 3)2
9、 9P(3)C 3，3 3(1 3)1 27则随机变量的分布列为0123P8 274 92 91 27数学期望E()01 2 31。8 274 92 91 27答案 (1) (2)见解析13 18(时间：20 分钟)1从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该区x间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中5近似为样本平均数，2近似为样本方差s2。x利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户
10、从该企业购买了 100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数。利用的结果，求E(X)。附：12.2。若ZN(，2)，则P(Z)0.682 1506，P(2Z2)0.954 4。解析 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02x200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150。(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)
11、P(20012.2Z20012.2)0.682 6。由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26。答案 (1)200，s2150x(2)P0.682 6 68.262某电视台拟举行由选手报名参加的选秀节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选。若通过海选的人数超过预定正赛参赛的人数，则优先考虑参加海选测试项目数少的选手进入正赛。甲选手通过A、B、C三个测试项目的概率分别为 、，且通过各个测试相互独立
12、。1 51 31 2(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率，若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选(假设甲一定能通过海选)时参加测试的数目数为，求的分布列和均值(用p1、p2、p3表示)，并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛。解析 (1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为，(11 5) (11 3) (11 2)4 15故甲选手能通过海选的概率为 1。4 1511 15若改变测试顺序对他通过海选的概率没有
13、影响，6因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为，(11 5) (11 3) (11 2)4 15即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为。11 15(2)依题意，的所有可能取值为 1,2,3。P(1)p1，P(2)(1p1)p2，P(3)(1p1)(1p2)。故的分布列为123Pp1(1p1)p2(1p1)(1p2)E()p12(1p1)p23(1p1)(1p2)1(2p2)(1p1)。分别计算当甲选手按CBA，CAB，BAC，BCA，ABC，ACB的顺序参加测试时E()的值，得甲选手按CBA的顺序参加测试时E()最小，所以按CBA的顺序参加测试更有利于他进入正赛。答案 (1)，不影响 (2)见解析11 15