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1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十篇计数原理概精选高考数学大一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第率随机变量及其分布第 5 5 节古典概型与几何概型习题理节古典概型与几何概型习题理【选题明细表】知识点、方法题号古典概型1,3,4,7,10,12,14,15 几何概型2,5,6,8,9,11,13 古典概型与几何概型的综合16基础对点练(时间:30 分钟)1.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标,则点P 落在圆 x2+y2=16 内的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:基本事件的总数是 36,点 P 落在圆内的基本事件是
2、(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)共 8 个,故所求的概率是=.2.如图,在圆心角为 90的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,则使得AOC 与BOC 都不小于 15的概率为( D )(A)(B)(C)(D)2 / 9解析:在上取 C1,C2 两点使AOC1=15,BOC2=15,则满足条件的射线 OC 落在C1OC2 内部,C1OC2=60,则所求概率为=.故选 D.3.在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:如图,在正六边形 ABCDEF 的 6 个顶
3、点中随机选择 4 个顶点,共有 15 种选法,其中构成的四边形是梯形的有 ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共 6 种情况,故构成的四边形是梯形的概率 P=.4.(2016湖南常德三月模拟)已知 3 件次品和 2 件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:基本事件总数可以看作,所取的随机事件含有的基本事件数为32,故其概率为=.5.甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面,并约定谁先到后必须等 10 分钟,若等待 10 分钟后另一人还没有来就
4、离开.如果甲是8:30 分到达的,假设乙在 8 点到 9 点内到达,且乙在 8 点到 9 点之间何时到达是等可能的,则他们见面的概率是( C )3 / 9(A)(B)(C)(D)解析:只要乙在 8:208:40 内到达即可,由于乙在 8:009:00 到达是等可能的,故他们能够见面的概率是=.6.如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( B ) (A)(B)(C)(D)解析:因为大正方形的面积是 34,所以大正方形的边长是,由直角三角形的较短边长为 3,得四个全等直角三角形的直
5、角边分别是 5 和 3,则小正方形边长为 2,面积为 4.所以小花朵落在小正方形内的概率为P=.故选 B.7.(2016广东省适应性考试)从一个边长为 2 的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这 7 个点中任取两个点,则这两点间的距离小于1 的概率是( A )(A)(B)(C)(D)解析:两点间的距离小于 1 共有 3 种情况,分别为中心到三个中点的情况,故两点间的距离小于 1 的概率 P=.4 / 98.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组所表示的平面区域是 ,不等式组所表示的平面区域是 .从区域 中随机取一点 P(x,y),则 P为区域 内的点的概率是( C )(A)(B)(C)(D)
6、解析:如图,总的基本事件占有的平面区域 的面积为 32,随机事件“P 为区域 内的点”占有的平面区域的面积是4=24,故所求的概率是=.9.导学号 18702582 长方体 ABCDA1B1C1D1 中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥 AA1BD 内的概率为 . 解析:设事件 M 表示“动点在三棱锥 AA1BD 内”,P(M)=.答案:5 / 910.(2016湖南市高三二联)下面茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,则这两名同学的植树总棵数为 20 棵的概率是 . 解析:记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9
7、,9,11,11:乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲,乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有=16 个.设选出的两名同学的植树总棵数为 20 为事件 C,则 C 中的结果有 4 个,它们是(A3,B1),(A4,B1),(A3,B3),(A4,B3),故所求概率为P(C)=.答案:能力提升练(时间:15 分钟)11.在区间0,2上随机取两个数 x,y,则 xy0,2的概率是( C )(A) (B)(C)(D)解析:显然在区间0,2上任取两数其积一定不小于零,故问题等价于在0,2上随机取数 x,y,使 xy2 的概率.由 xy2,即 y,所
8、求的概率是=.6 / 912.(2016江西九江三模)高中数学联赛期间,某宾馆随机安排A,B,C,D,E 五名男生入住 3 个标间(每个标间至多住 2 人),则 A,B 入住同一标间的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:因为某宾馆随机安排 A,B,C,D,E 五名男生入住 3 个标间,共有=90 种情形,A,B 入住同一标间有=18 种情形,所以 A,B 入住同一标间的概率为 P=,故选 B.13.导学号 18702583 如图,在正方形 OABC 内,阴影部分是由两曲线y=,y=x2(0x1)围成,在正方形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( B ) (A)(B)(C)(D)
9、解析:阴影部分面积S=(-x2)dx=(-x3)|=,所以所求概率为 P=.故 B 正确.14.导学号 18702584 将 5 本不同的书全发给 4 名同学,每名同学至少有一本书的概率是 . 7 / 9解析:将 5 本不同的书全发给 4 名同学共有 45 种发法,其中每名同学至少有一本书的发法有,故每名同学至少有一本书的概率是 P=.答案:15.导学号 18702585 某普通高中组队参加中学生辩论赛,文科班推荐了 3 名男生、4 名女生,理科班推荐了 3 名男生、2 名女生,他们各有所长,总体水平相当,学校拟从这 12 名学生中随机抽取 3 名男生、3 名女生组队集训.(1)求理科班至少有
10、 2 名学生入选集训队的概率;(2)若先抽取女生,每次随机抽取 1 人,设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数,求 X=0,1,2 时的概率.解:(1)理科班没有学生入选集训队的概率为=,理科班有 1 名学生入选集训队的概率为=,理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 1-(+)=.(2)X=0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.16.导学号 18702586 设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为(x-2,x-y).8 / 9(1)在一个盒子中,放有标号为 1,2,3 的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为 x,y,求|OP|的
11、最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为 x,y,求 P 点在第一象限的概率.解:(1)记抽到的卡片标号为(x,y),所有的情况分别如下表:(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x-2, x-y)(-1, 0)(-1, -1)(-1, -2)(0,1)(0,0)(0, -1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011其中基本事件的总数为 9,随机事件 A“|OP|取最大值”包含 2 个基本事件,故所求的概率为 P(A)=.(2)设事件 B 为“P 点在第一象限”.若
12、则其所表示的区域面积为 33=9.由题意可得事件 B 满足即如图所示的阴影部分,其区域面积为 13-11=.所以 P(B)=.好题天天练1.导学号 18702587 在区间0,10内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为( A )9 / 9(A) (B) (C) (D)解题关键:几何概型,构造平面区域,求基本事件所占区域的面积和所求的随机事件所占区域的面积,使用几何概型的计算公式.解析:所求概率为几何概型,测度为面积,设这两个数为 x,y,则0x,y10,构成一个正方形,面积为 102,这两个数的平方和x2+y20,10在正方形中阴影面积为,因此所求概率为=,故选 A.2.(2016安徽百校二联)从自然数 15 中任取 3 个不同的数,则这3 个数的平均数大于 3 的概率为( B )(A) (B) (C) (D)解题关键:古典概型,计算基本事件的总数,所求的随机事件含有的基本事件个数,使用古典概型的公式计算.解析:从自然数 15 中任取 3 个不同的数的基本事件总数为=10,其中平均数大于 3 的情况有(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共 4种,故概率为.