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1、西安电子科技大学西安电子科技大学1。第第2章章 随随 机机 过过 程程本章要求本章要求一、随机过程的基本概念一、随机过程的基本概念二、平稳随机过程二、平稳随机过程三、高斯随机过程三、高斯随机过程四、随机过程通过线性系统四、随机过程通过线性系统五、窄带随机过程五、窄带随机过程六、正弦波加窄带高斯过程六、正弦波加窄带高斯过程七七.白噪声和带限白噪声白噪声和带限白噪声西安电子科技大学西安电子科技大学2。本章要求：本章要求：随随机机过过程程的的基基本本概概念念和和数数字字特特征征（均均值值、方方差差、相关函数）；相关函数）；平平稳稳、高高斯斯、窄窄带带、正正弦弦波波加加窄窄带带高高斯斯过过程程的的统计
2、特性统计特性随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声西安电子科技大学西安电子科技大学3。一、随机过程的基本概念一、随机过程的基本概念1 1随机过程的定义随机过程的定义:无穷多个样本函数的集合构成一个随机过程，无穷多个样本函数的集合构成一个随机过程，记为记为(t t)。其属性：其属性：(t t)是一个时间函数；是一个时间函数；在某一观察时刻在某一观察时刻t t1 1 上，全体样本在上，全体样本在t t1 1 时刻时刻 的取值的取值(t t1 1)是一个随机变量。是一个随机变量。西安电子科技大学西安电子科技大学4。2 2分布函数和概率密度分布函数和概率密
3、度 设设 表表示示一一个个随随机机过过程程，在在任任意意给给定定的的时时刻刻t t1 1 T，t t1 1其其取取值值，是是一一个个一一维维随随机机变变量量，则则 小于或等于某一数值小于或等于某一数值 x x1 1 的概率的概率 叫做随机过程叫做随机过程 的一维分布函数。的一维分布函数。l如果存在如果存在 则则称称 为为 的的一一维维概概率率密密度度，维维数数n n越越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。大，对随机过程统计特性的描述就越充分。西安电子科技大学西安电子科技大学5。3 3.数字特征数字特征 均值（数学期望）均值（数学期望）它表示随机过程的它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心
4、。个样本函数曲线的摆动中心。方差方差 它它表表示示随随机机过过程程在在时时刻刻t对对于于均均值值a(t)的的偏偏离离程程度度。当当a(t)=0时，方差时，方差 。西安电子科技大学西安电子科技大学 6。（3）相关函数）相关函数 描描述述随随机机过过程程在在两两个个不不同同时时刻刻的的随随机机变变量量之之间间的的关关联联程程度度时时，常常用用相相关关函函数数 或或 协方差函数协方差函数 来表示：来表示：若若 。若若 令令 则则 可表示为可表示为 这说明，相关函数是起始时刻这说明，相关函数是起始时刻t1 和和 的函数。的函数。西安电子科技大学西安电子科技大学7。二、平稳随机过程二、平稳随机过程 1.
5、平稳性平稳性 （1）狭义平稳：对任意的）狭义平稳：对任意的n和和h，随机过程，随机过程 的的n维概率密度函数满足维概率密度函数满足西安电子科技大学西安电子科技大学 8。则称则称 是平稳随机过程。含义：随机过程是平稳随机过程。含义：随机过程 的的统统计计特特性性不不随随时时间间的的推推移移而而变变化化，即即当当取取样样点点在在时时间间轴轴上上作作任任意意平平移移时时，随随机机过过程程的的所所有有有限维分布函数不变。且有有限维分布函数不变。且有 一维分布则与时间一维分布则与时间t t无关：无关：二维分布只与二维分布只与有关有关：西安电子科技大学西安电子科技大学 9。（2 2）广广义义平平稳稳：若若
6、随随机机过过程程 的的数数学学期期望望与与时时间间无无关关，而而其其相相关关函函数数仅仅与与时时间间间间隔隔有有关关，即即 则称则称 广义平稳。广义平稳。注注意意：狭狭义义平平稳稳一一定定是是广广义义平平稳稳的的，反反之之不不一定成立。一定成立。西安电子科技大学西安电子科技大学10。西安电子科技大学西安电子科技大学 2.各态历经性（遍历性）各态历经性（遍历性）设设 是是平平稳稳随随机机过过程程 的的任任意意一一个个实实现现，它它的时间均值和时间相关函数分别为的时间均值和时间相关函数分别为 如果平稳过程如果平稳过程 依概率依概率1使下式成立使下式成立 11。则则称称平平稳稳过过程程 具具有有各各
7、态态历历经经性性。“各各态态历历经经”的的含含义义：随随机机过过程程中中的的任任一一实实现现（样样本本函函数数）都都经经历历了了随随机机过过程程的的所所有有可可能能状状态态。因因此此，欲欲求求过过程程的的数数字字特特征征，无无需需作作无无限限多多次次的的观观察察，只只需需做做一一次次观观察察，用用 时时间间平平均均值值 代代替替 统统计计平平均均值值 即即可可，从从而而使使计算大为简化。计算大为简化。注注意意：各各态态历历经经的的随随机机过过程程必必定定是是平平稳稳过过程程，反反之之不一定成立。不一定成立。西安电子科技大学西安电子科技大学12。3.相关函数的性质相关函数的性质 设设 为实平稳过
8、程，则它的自相关函数为实平稳过程，则它的自相关函数 具有如下主要性质：具有如下主要性质：（1）平均功率（2）直流功率（3）当均值为当均值为0时，有时，有 （4）的偶函数 （5）西安电子科技大学西安电子科技大学13。4.频谱特性频谱特性 随随机机过过程程的的频频谱谱特特性性是是用用它它的的功功率率谱谱密密度度来来表表述述的的。可可以以证证明明：平平稳稳过过程程的的功功率率谱谱密密度度 和和自自相相关函数关函数 是一对傅里叶变换关系：即是一对傅里叶变换关系：即 简记简记 时域时域 频域频域 当当 时，有时，有 平均功率平均功率西安电子科技大学西安电子科技大学14。功率谱密度功率谱密度 性质：性质：
9、（1），非负性，非负性 （2），偶函数，偶函数 归纳：归纳：满足满足 平稳平稳 性质性质西安电子科技大学西安电子科技大学各态经历：时间平均各态经历：时间平均 统计平均统计平均时域时域 频频 域域15。三、高斯随机过程三、高斯随机过程 1 1 定义：定义：若若随随机机过过程程 的的任任意意n n维维（n=1,2,.n=1,2,.）分分布布都都服从正态，则称它为高斯过程。服从正态，则称它为高斯过程。2 2 重要性质：重要性质：（1 1）若若高高斯斯过过程程是是广广义义平平稳稳的的，则则也也是是狭狭义义平平稳稳的；的；西安电子科技大学西安电子科技大学16。（2 2）若高斯过程中的随机变量之间互不相）
10、若高斯过程中的随机变量之间互不相 关，则它们也是统计独立的；关，则它们也是统计独立的；（3 3）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高 斯型；斯型；（4 4）高斯过程经过线性变换（或线性系统）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯型后的过程仍是高斯型。西安电子科技大学西安电子科技大学17。3.一维概率密度和正态分布函数一维概率密度和正态分布函数 高高斯斯过过程程在在任任一一时时刻刻上上的的取取值值是是一一个个高高斯斯随随机机变量，其一维概率密度函数可表示为变量，其一维概率密度函数可表示为 式中式中 a、分别为期望，方差。分别为期望，方差。西安电子科技
11、大学西安电子科技大学18。曲线如图曲线如图：西安电子科技大学西安电子科技大学图图2-1 正态分布的概率密度正态分布的概率密度19。的特性如下：的特性如下：（1）对称于）对称于 的直线的直线 （2）图图1 和和 （3）a表表示示分分布布中中心心，表表示示集集中中程程度度，图图 形形 将随着将随着 的减小而变高和变窄。当的减小而变高和变窄。当 时，称时，称 为标准正态分布的密度函数。为标准正态分布的密度函数。西安电子科技大学西安电子科技大学20。正态分布函数正态分布函数 引入：误差函数引入：误差函数 它是自变量的递增函数：它是自变量的递增函数：，且且西安电子科技大学西安电子科技大学21。互补误差函
12、数互补误差函数 它是自变量的递减函数：它是自变量的递减函数：，且且 西安电子科技大学西安电子科技大学22。作变量代换，令作变量代换，令 ，有，有 则分布函数则分布函数F(x)可用误差函数表示，它简明的可用误差函数表示，它简明的 特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。西安电子科技大学西安电子科技大学23。四、随机过程通过线性系统四、随机过程通过线性系统 设线性系统的冲击响应为设线性系统的冲击响应为 输入随机过程为输入随机过程为 ，则输出随机过程，则输出随机过程 若输入有界且系统是物理可实现的，则若输入有界且系统是物理可实现的，则 或或 西安电子科技大学西
13、安电子科技大学24。利用以上关系可以证明：利用以上关系可以证明：（1）若输入若输入 平稳，则输出平稳，则输出 也平稳，且也平稳，且 有有西安电子科技大学西安电子科技大学25。（2 2）（3 3）若输入若输入 高斯过程，则输出高斯过程，则输出 也是高斯过程。即高斯过程经线性也是高斯过程。即高斯过程经线性 后的过程仍为高斯型。后的过程仍为高斯型。西安电子科技大学西安电子科技大学26。五、窄带随机过程五、窄带随机过程其频谱和样本如图其频谱和样本如图 （a）西安电子科技大学西安电子科技大学27。图图2-2 2-2 窄带过程的频谱和波形示意窄带过程的频谱和波形示意西安电子科技大学西安电子科技大学28。窄
14、带过程窄带过程 可表示为可表示为 等价式等价式 西安电子科技大学西安电子科技大学29。其中其中 同相分量同相分量 正交分量正交分量 结结论论1：一一个个均均值值为为零零，方方差差为为 的的平平稳稳高高斯窄带过程斯窄带过程，它的同相分量，它的同相分量 正交分量正交分量 同同样样是是平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且均均值值都都为为零零，方方差差也相同。也相同。西安电子科技大学西安电子科技大学30。即：即：且且 （互不相关或统计独立）（互不相关或统计独立）西安电子科技大学西安电子科技大学31。结结论论2：一一个个均均值值为为零零，方方差差为为 的的平平稳稳高高斯斯窄带过程窄带过程，其，其 包络包络
15、 瑞利分布：瑞利分布：相位相位 均匀分布：均匀分布：且且 （统计独立）（统计独立）西安电子科技大学西安电子科技大学32。六、正弦波加窄带高斯过程六、正弦波加窄带高斯过程 信信号号在在传传输输过过程程中中总总会会受受到到噪噪声声的的影影响响，接接收收信信号号往往往往是是信信号号与与噪噪声声的的合合成成波波。正正弦弦波波加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。加窄带高斯噪声是通信系统中常见的一种情况。设合成信号为设合成信号为西安电子科技大学西安电子科技大学33。式式中中 ，为为窄窄带带高高斯斯噪噪声声，其其均均值值为为零零；正正弦弦波波的的振振幅幅A和和频频率率 均均为为常常数数，在在 上均匀分
16、布，则上均匀分布，则西安电子科技大学西安电子科技大学34。式中式中 合成信号合成信号 的包络和相位分别为的包络和相位分别为 西安电子科技大学西安电子科技大学35。可可以以证证明明：包包络络 服服从从广广义义瑞瑞利利分分布布，也也称称莱莱斯斯分布。其概率密度函数为分布。其概率密度函数为 式中，式中，是零阶修正贝塞尔函数，当是零阶修正贝塞尔函数，当 时，时，是是单单调调上上升升函函数数，且且有有 。如如果果A=0,则则上上式变为瑞利分布。式变为瑞利分布。西安电子科技大学西安电子科技大学36。七七.白噪声和带限白噪声白噪声和带限白噪声 1.白噪声白噪声 定义：在整个频域内，功率谱密度是一个常数。定义
17、：在整个频域内，功率谱密度是一个常数。式中式中 为一常数，单位是（瓦为一常数，单位是（瓦/赫）。赫）。自相关函数自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学37。图图2-3 白噪声的谱密度和自相关函数白噪声的谱密度和自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学38。讨讨论论：白白噪噪声声只只有有在在 （同同一一时时刻刻）时时才才相相关关，而而在在任任意意两两个个时时刻刻上上的的随随机机变变量量都都是是不不相相关的。关的。若若白白噪噪声声又又是是高高斯斯分分布布的的，则则称称之之为为高高斯斯白白噪噪声声。高高斯斯白白噪噪声声在在任任意意两两个个不不同同时时刻刻上上的的取取值值之之间间，不不仅仅是是互
18、互不不相相关关的的，而而且且还还是是统统计计独独立立的。的。西安电子科技大学西安电子科技大学39。2带限白噪声带限白噪声 【例【例2-1】白噪声通过理想低通滤波器白噪声通过理想低通滤波器 设理想矩形的低通滤波器的传输特性为设理想矩形的低通滤波器的传输特性为 则输出噪声的功率谱密度为则输出噪声的功率谱密度为西安电子科技大学西安电子科技大学40。可可见见，输输出出噪噪声声的的功功率率谱谱密密度度在在 内内是是均均匀匀的的，在在此此范范围围外外则则为为零零，如如图图2-4（a）所所示示，通通常常把把这这样样的的噪噪声声称称为为带带限限白白噪噪声。声。自相关函数为自相关函数为西安电子科技大学西安电子科技大学41。图图2-4 带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声的功率谱和自相关函数西安电子科技大学西安电子科技大学（a）（b）42。如图如图2-4（b）所示，带限白噪声只有在）所示，带限白噪声只有在 上得到的随机变量才上得到的随机变量才 不相关。这一结论告诉我们，如果对带不相关。这一结论告诉我们，如果对带 限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样 值是互不相关的随机变量。值是互不相关的随机变量。西安电子科技大学西安电子科技大学43。