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1、教学课件现代通信原理（第2版第十二章 信道编码第十二章信道编码严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码本章内容结构n12.1 引言n12.2 纠错编码的原理n12.3 常用的简单编码n12.4 汉明码(属于一种线性分组码)n12.5 循环码(也属于一种线性分组码)n12.6 卷积码简介严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.1 引言n信道编码的概念和作用概念：根据具体信道误码情况，在发送端按照一定约束规则，在纯信息码中加入适当的冗余码（或称“监督位”）；在接收端根据规则检查或纠正传输中的错误。作用：检错纠错从而提高通信系统的可靠性。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码常用的差错控制方
2、法n检错重发(Automatic Repeat-reQuest)n前向纠错(Forward Error Correction)n混合差错控制(Hybrid Error Correction)严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码检错重发(Automatic Repeat-reQuest)n原理：系统有检错检错功能，但无纠错功能，收端发现错误后，请求发端重新发送，直至接收端认为无错为止。发送端信息信息（按一定规则，（按一定规则，对信息编码）对信息编码）编码后信息编码后信息接收端（按发端编码规则，对（按发端编码规则，对收到的码进行验证）收到的码进行验证）注意：由于信道不理想，注意：由于信道不理想
3、，传输中可能产生误码传输中可能产生误码若验证无若验证无误则向后误则向后发送或者发送或者处理处理若验证有误若验证有误通知重发通知重发（然后重复上述过程，直至所有信息正确传输。可简记为（然后重复上述过程，直至所有信息正确传输。可简记为“只检不纠只检不纠”）严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码ARQ的主要优缺点n优点:只需要少量的冗余码就能获得较低的误码率n缺点:当信道的干扰较大时，信息传输的连贯性和实时性较差。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码前向纠错(Forward Error Correction)n原理：发端发送的编码有纠错能力，收端收到码字后，根据规则校验，如果发现错误，直接纠正
4、，而不需要给发端反馈。发送端信息信息（按一定规则，对信息编码，（按一定规则，对信息编码，该编码要有纠错能力该编码要有纠错能力）编码后信息编码后信息接收端（按发端编码规则，对（按发端编码规则，对收到的码进行验证）收到的码进行验证）注意：由于信道不理想，注意：由于信道不理想，传输中可能产生误码传输中可能产生误码若验证无若验证无误则向后误则向后处理，若处理，若有误，则有误，则直接纠正直接纠正其特征可简记为其特征可简记为“只纠不检只纠不检”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码FEC的主要优缺点n优点：不需要反馈信道，能够以广播方式通信实时性好n缺点：需要针对不同信道设计编码，复杂度较高严谨 严格
5、求实 求是第十二章 信道编码混合差错控制(Hybrid Error Correction)n原理：是ARQ与FEC的结合。由于信道的随机性，所以每次传输过程中的误码，可能有时多、有时少，误码少时可纠正；误码太多，超出编码纠错能力，不能纠正，就请求重发。发送端信息信息（按一定规则，对信息编（按一定规则，对信息编码，码，该编码可纠可检该编码可纠可检）编码后信息编码后信息接收端（按发端编码规则，对（按发端编码规则，对收到的码进行验证）收到的码进行验证）注意：由于信道不理想，注意：由于信道不理想，传输中可能产生误码传输中可能产生误码若验证无若验证无误则向后误则向后处理，误处理，误码较少，码较少，直接纠
6、正直接纠正若验证误码若验证误码太多，重发太多，重发（然后重复上述过程，直至所有信息正确传输。可简记为（然后重复上述过程，直至所有信息正确传输。可简记为“既纠又检既纠又检”）严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.2 纠错编码的原理和指标n12.2.1 纠错编码的基本原理和基本概念n12.2.2 纠错编码的分类和相关指标严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.2.1 纠错编码的基本原理和基本概念n一、“编码方案”与“差控方式”的关系和区别n二、线性分组码的概念和结构n三、许用码组与禁用码组的概念n四、检错能力与纠错能力的关系严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、“编码方案”与“
7、差控方式”n区别：差控方式指的是发端与收端之间约定好的、对传输中出现错误的处理方式。其重点在于收与发的配合互动机制。而编码方案指的是发端采用什么样的算法、加入多少监督位、在哪里加这些监督位。其重点在于发端的码组生成算法。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、“编码方案”与“差控方式”n区别：同一种差控方式可以采用不同的编码方案n例1：对于ARQ，既可采用(2,1)重复码，又可采用（3,1)奇偶校验码n例2：对于FEC既可以采用(3,1)重复码，也可采用(5,1)重复码，还可以采用我们后面要讲的汉明码。n例3：对于HEC既可以采用(4,1)重复码，也可采用(5,1)重复码、(6,1)重复码
8、严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、“编码方案”与“差控方式”n区别：同一种编码方案也可以用于不同的差控方式n例1(3,1)重复码既可用于ARQ，也可用于FECn例2(5,1)重复码既可用于ARQ，也可用于FEC，还可用于HEC。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、“编码方案”与“差控方式”n关系：插入的监督位很少的、只有检错能力、没有纠错能力的编码方案，用于ARQ随着监督位数的增多，编码方案将会具备纠错能力，此时可用于FEC或HEC由于检纠错能力的不同，监督位数较多的编码方案可以用于ARQ，但由于效率不高，不常见严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码二、线性分组码的概念和结
9、构n线性分组码的概念：顾名思义，线性分组码有两个显著的特征：“线性”和“分组”所谓“线性”，指的是监督位由纯信息位经过“线性运算”和得到所谓“分组”，指的是整个码组编完后，可以“泾渭分明”地将码组分成两组：“纯信息比特组”和“监督位比特组”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码线性分组码的结构nn位线性分组码的结构可用下图来表示an-1an-2an-kk位纯信息比特组ar-1ar-2a0r位监督比特组整体称为一个“n位的系统码”不难看出，n、k、r之间满足关系式：n=k+r通常将这样的线性分组码标记为“(n,k)码”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码三、“许用码组”与“禁用码组”n这是
10、两个码组的集合：n许用码组：在发送端，编码器输出的、所有可能出现的码组的集合。n禁用码组：发送端编码器 不可能输出的那些码组 所组成的集合。也就是许用码组集合的补集。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码许用码组与禁用码组举例n例1：(2,1)重复码的许用码组有2个：“00”和”11”禁用码组也有2个：“01”和“10”n例2：(3,1)重复码的许用码组有2个：“000”、“111”禁用码组有6个：“001”、“010”、“100”、“011”、“110”、“101”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码许用码组与禁用码组举例n例3：(3,1)偶校验码的许用码组有4个：“000”、”011
11、”、“101”、“110”禁用码组有4个：“001”、“010”、“100”、“111”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码四、检错与纠错的关系n二者是对立统一的关系：统一面：检错是纠错的基础，没有检错能力的编码方案不可能有纠错能力。对立面：但“过于自信”的纠错，可能反过来会降低检错能力。n例如(3,1)重复码：如果用于只检不纠(ARQ)，发生2位错误时n能被系统发现；如果用于前向纠错(FEC)，发生2位错误时n系统因为要进行纠错，将发现不了2位错误。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.2.1 差控编码的分类和指标n一、差控编码的分类n二、差控编码的几个重要指标n三、最小码距和检
12、纠错能力的关系规律严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、差控编码的分类n根据信息位与监督位的函数运算关系线性码非线性码n根据信息位与监督位的约束方式分组码卷积码n根据信息位在编码完成后是否保持原样系统码非系统码严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码二、差控编码的几个重要指标n1、编码效率Rn2、码重wn3、码距dn4、最小码距d0严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码指标1、编码效率Rn定义：编码后，码组中所含纯信息位数(k)，与码组总长(n)的比值，即n举例：(2,1)重复码的编码效率是50%(3,1)重复码的编码效率是1/3n推论：在信息位相同的情况下，监督位越少，编码效率越高，
13、但同时检就错能力也会下降。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码指标2、码重wn定义：一个二进制码组中“1”的个数n举例：10110的码重w=311111的码重w=500000的码重w=0严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码指标3、码距dn定义：两个等长的二进制码组，其对应位不相同的位数和，称为这两个码组的码距，通常记为dn举例：“1000”和“1001”之间的码距d=1“10100”和“01110”之间的码距d=3严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码指标4、最小码距n定义：在一组（2个或2个以上）的等长的码组集合中，求出其所有两两码距（例如有4个等长码组时，需求出d12,d13,d
14、14,d23,d24,d34），在求出的所有这些码距中，找到最小值d0，称为这个码组集合的最小码距。n举例：“000”，“011”，“101”，“110”的最小码距为2“00”，“01”，“10”，“11”的最小码距是1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码三、最小码距和检纠错能力的关系n仔细观察(2,1)、(3,1)、(4,1)等重复码的规律，可以发现：一个编码方案的许用码组集合的最小码距，与其检纠错能力有很大关系总体趋势上看，最小码距越大，检纠错能力就越强n下面我们从许用码组角度具体分析，最小码距d0与检纠错能力的量化关系：严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码1、只检不纠(ARQ)时
15、，为检出e个错，最小码距d0的值n从重复码来引出一个假设(2,1)重复码可以检出1个错误比特，其许用码组的最小码距为2；(3,1)重复码可以检出1个、2个错误比特，其许用码组的最小码距为3；(4,1)重复码可以检出1个、2个、3个错误比特，其许用码组的最小码距为4；n我们可以假设：若想成功检出e个错，则其编码方案的许用码组的最小码距d0需要满足d0e+1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码只检不纠时，对d0e+1的证明n设A和B为某编码方案的两个许用码组n我们用几何方法,在一个平面中画出A和B,分别用2个点来表示nA和B之间的几何距离代表其码距ABd0该圆表示该圆表示:所有所有那些与那些与
16、A的的码距为码距为e的的禁用码组禁用码组e严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码只检不纠时，对d0e+1的证明n在上图中,假设发送端发送的是An则传输中无非会发生下列情况：情况1：没有误码，则接收端收到A，接收端经验算或查表，发现这是一个许用码组，无错。情况2：有e个比特误码，A变成A。如果d0e，则A必为禁用码组，接收端经验算或查表，发现这是一个禁用码组，成功检错情况3：有e个错，且d0=e，则A变成B，接收端经验算或查表，发现这是一个许用码组，错误地认为该次传输无误，没有成功检错。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码只检不纠时，对d0e+1的证明n综上所述，结合d0与e都是整数这个条
17、件n不难得出下面的结论：n当把一种编码方案用于ARQ(只检不纠)方式时,若想成功检查出e个错,则该编码方案的许用码组集合的最小码距d0应满足d0e+1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码2、前向纠错(FEC)时，为纠正t个错，最小码距d0的值n这里要预先理解三点：纠正错误是以发现错误为前提的；接收端由于不知道信道具体误码情况，所以，接收端的“纠正”是以概率最大为原则的；以后所说的纠正均指“正确(成功)的纠正”。n我们下面分别加以说明严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码纠正错误是以发现错误为前提n虽然FEC与ARQ的工作方式有很大不同，但是它们在接收端同样都要首先判断是否在传输中产生了误
18、码，然后作出不同反应n而判断是否产生误码的原理是完全一样的：若收到的是一个许用码组，则认为无错；若收到的是一个禁用码组，则认为有错。nARQ发现有错后，请求重发；nFEC发现有错后，自行纠正自行纠正。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码接收端的“纠正”是以概率最大为原则的n信道中的噪声是随机的n因而，一串数据传输时，到底有没有误码，那个比特产生错误，这都是随机的n即，发送端并能绝对完全确定是哪个比特产生了错误n所以，接收端所谓的纠错，都是以“大概率”发生情况比“小概率”发生情况多这一原则的n因而，当小概率事件发生时，接收端可能发生“错误的纠正”行为严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码以
19、后所说的纠正均指“正确(成功)的纠正”n上面所说的“错误的纠正”行为，不能算成功的纠正n例如讨论(3,1)重复码如果错了1位，可以成功的纠正如果错了2位（如发的是111，收到了100），由于接收端并不知道传输中错了几位，而错1位的概率比错2位的概率大，故接收端会错误地将100“纠正”为000，这不能算成功纠正故(3,1)重复码只能成功纠正1位错码严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码前向纠错(FEC)时，为纠正t个错，最小码距d0的值应满足d02t+1n证明：发A时，以A为圆心以t为半径内的码发生的概率大发B时，以B为圆心以t为半径内的码发生的概率大所以要想正确纠正，各自“势力范围”不能重叠
20、，也不能相切，看图可知，需2tmax+1=d0也就是d02t+1ABd0tt1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码3、既纠t个错又检e个错(et)时，最小码距d0的值n如图：ABd0et1A码的检错范围B码的纠错范围同样道理，为了既检又纠，这两个范围同样道理，为了既检又纠，这两个范围也是既不能重叠也不能相切的！也是既不能重叠也不能相切的！故有：d0e+t+1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码上面3个结论可总结如下nARQ时，若想检查出e个错，所选编码方案的许用码组集合的最小码距d0需满足d0e+1nFEC时，若想纠正t个错，所选编码方案的许用码组集合的最小码距d0需满足d02t+1n
21、HEC时，若想纠正t个错的同时，还能检查出e个错（et），所选编码方案的许用码组集合的最小码距d0需满足d0e+t+1严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.3 常用的简单编码(简介)n奇偶校验码一维奇偶校验二维奇偶校验n恒比码例如:5中取3码n正反码严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码12.4 汉明码(属于一种线性分组码)n一、基本概念n二、校验子与误码的关系n三、监督矩阵的概念与特点n四、生成矩阵及其与监督矩阵的关系n五、汉明码的具体编译码方法严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码一、汉明码中的基本概念n汉明码的定义：n如果有一（n,k）线性分组码，监督位长r=n-k。若恰好2
22、r=n-1，则称该线性分组码为“汉明码”n要理解该定义，必须理解“校验子”的概念；n要理解“校验子”，需要先了解“监督方程”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码1、监督方程的概念n根据线性分组码的定义，监督位都是由信息位经过线性运算（模2加）而得到的n例如：一个(7,4)汉明码中，前4位为信息位，记为a6a5a4a3；后3位为监督位记为a2a1a0n由于a6a5a4a3是信源发的纯信息，所以可以从0000到1111的任意值；而a2a1a0则不然，它们由a6a5a4a3经过“”运算得到：严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码1、监督方程的概念n以教材P289的情况为例：这些方程即称为该编码
23、方案的这些方程即称为该编码方案的“监督方程监督方程”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码1、监督方程的概念n根据数字电路中学到的二进制异或（即模2加“”）的性质，可以将上页的方程等价地写为：我们暂且将这些等号右边全为我们暂且将这些等号右边全为0的方程称为的方程称为“标准监督方程标准监督方程”严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码2、校验子的概念n就上面的例子而言，在发送端，监督位a2a1a0是经过校验方程运算得到的；n故，在发端上面的校验方程中每个等式必然都是成立的；n信息发送到信道中后，由于噪声的干扰，有可能发生误码(这里不妨假设a1传错了)；n我们会发现在只有a1传错了(由0变成1，
24、或1变成0)的情况下，方程组中的第2个方程将不再成立；n由上面的分析得知，在发端上页方程组中“=”左边的运算结果一定都是0；但在接收端，则不一定；n既然接收端的运算结果不一定为0，那么，我们在接收端把各个方程的运算结果分别用S1,S2,S3来表示，它们就叫做“校验子”；严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码2、校验子的概念n可见，如果给“校验子”一个一句话的定义，应如下：“校验子”就是：标准监督方程组中“=”左边的运算式，在接收端的运算结果。n校验子的作用：这组运算结果可能全为0，则表示传输无误；若这组运算结果不是全0，则表示传输中一定发生了误码。严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码二、
25、校验子与误码的关系n在上面的方程中，我们分别假设a0,a1a6在传输产生误码，则可总结误码与校验子的值的关系，如下（即教材中表12.3）：错码位置错码位置S1a00S20S31a1010a2100a3011a4101a5110a6111无错无错000严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码二、校验子与误码的关系n可见，但误码个数不多于1位时，误码的位置和校验子的值是一一对应关系；n故，可倒过来，在接收端，用计算出来的校验子的值来指示误码位置；n校验子可以取到的值越多，指示的误码位置越多；n校验子的值可以取多少？与校验子的个数有关；n误码位置（假设最多错1位）的个数是多少？就是编码后的码组总长严
26、谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码校验子Si的个数n有多少个监督方程就有多少个校验子n有多少个监督位就有多少个监督方程n因此，校验子的个数有r个上面的例子中r=3n因为校验子的值也是二进制数，故，校验子取值的个数必为2rn为了使校验子的取值与错误情况数满足“一对一”的映射，于是有2r=n-1n这正是本节开头汉明码定义的起源(上式中n-1是因为有1种情况要指示“无错”)严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码监督矩阵的概念n监督矩阵的概念(仍借助上面的例子说明):将上面讲的“标准监督方程”写成如下形式：严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码三、监督矩阵的概念与特点n将上面方程中各个ai的系数以矩阵的形式写出来:该矩阵就称为这种编码方案的该矩阵就称为这种编码方案的“监督矩阵监督矩阵”，记为，记为H严谨 严格 求实 求是第十二章 信道编码典型监督矩阵n这个例子中的监督矩阵有1个显著特点:n即这个矩阵的右半部分是1个rr的单位方阵（r为监督位数，本例中r=3）n此时，将该矩阵称为典型监督矩阵典型监督矩阵