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1、- 1 - / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量精选高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10-110-1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时提升作业理分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时提升作业理(25(25 分钟分钟 5050 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3535 分分) )1.(2016东莞模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 ( )A.10 种B.25 种C.52 种D.24 种【解析】选 D.每相邻的两层之间各有 2 种走法,共分 4 步,由分步乘法计数
2、原理,共有 24 种不同的走法.2.(2016三明模拟)设集合 A=1,2,3,4,m,nA,则方程+=1 表示焦点位于 x轴上的椭圆有 ( )A.6 个B.8 个C.12 个D.16 个【解析】选 A.分三类,当 n=1 时,有 m=2,3,4,共 3 个;当 n=2 时,有 m=3,4,共 2 个;当 n=3 时,有 m=4,共 1 个.由分类加法计数原理得共有 3+2+1=6(个).【加固训练】(2016漯河模拟)椭圆+=1 的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为 .【解析】以 m 的值为标准分类,分为五类.第 1 类:当 m=1
3、 时,使 nm 的 n 有 6 种选择;- 2 - / 10第 2 类:当 m=2 时,使 nm 的 n 有 5 种选择;第 3 类:当 m=3 时,使 nm 的 n 有 4 种选择;第 4 类:当 m=4 时,使 nm 的 n 有 3 种选择;第 5 类:当 m=5 时,使 nm 的 n 有 2 种选择.由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有 20 个.答案:203.(2016开封模拟)甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 4 次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )A.4 种B.6 种C.10 种D.16 种【解题提示】按甲先传给乙,先传给丙
4、两种情况分类计数.【解析】选 B.第一类:甲先传给乙,如图所示.,有 3 种传法.第二类:甲先传给丙时也有 3 种传法,由分类加法计数原理,共有 3+3=6(种)传递方法.4.(2016蚌埠模拟)集合 P=x,1,Q=y,1,2,其中 x,y1,2,3,9,且PQ.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 ( )A.9B.14C.15D.21【解析】选 B.当 x=2 时,xy,点的个数为 17=7(个);当 x2 时,x=y,点的个数为 71=7(个),则共有 14 个点.- 3 - / 105.(2016石家庄模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满
5、足 a1a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为 ( )A.240B.204C.729D.920【解题提示】按 a2 取 2,3,4,9 分 8 类计数.【解析】选 A.若 a2=2,则“凸数”为 120 与 121,共 2 个,若 a2=3,则“凸数”有 23=6(个),若 a2=4,满足条件的“凸数”有 34=12(个),若 a2=9,满足条件的“凸数”有 89=72(个),所以所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).6.(2016雅安模拟)用 4 种不同的颜色填涂如图所示的 1,2,3,4,5 五个区域,要求一区一
6、色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是 ( )A.120B.96C.72D.48【解题提示】先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,问题得以解决.【解析】选 B.先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有 43222=96(种).【加固训练】用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个替换直线方程 Ax+By+C=0 中的A,B,C,
7、若 A,B,C 的值互不相同,则不同的直线共有 ( )A.25 条 B.60 条 C.80 条 D.181 条【解题提示】A,B,C 的值互不相同,用 1,3,5,7,9 五个数字来替换,是分步乘法计数原理.- 4 - / 10【解析】选 B.用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个来替换 A,B,C;A,B,C 的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是 543=60.7.(2016福州模拟)设集合 I=1,2,3,4,5,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有 ( )A.50 种B.49 种C.48 种D.47 种【解题提示】
8、以 A 中最大的数为标准,进行分类讨论,A 中最大的数可能为1,2,3,4 共四种情况.【解析】选 B.当 A 中最大的数为 1 时,B 可以是2,3,4,5的非空子集,即有 24-1=15(种)方法;当 A 中最大的数为 2 时,A 可以是2,也可以是1,2,B 可以是3,4,5的非空子集,即有 2(23-1)=14(种)方法;当 A 中最大的数为 3 时,A 可以是3,1,3,2,3,1,2,3,B 可以是4,5的非空子集,即有 4(22-1)=12(种)方法;当 A 中最大的数为 4 时,A 可以是4,1,4,2,4,3,4,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4,B 可以是
9、5,有 81=8(种)方法,故共有15+14+12+8=49(种)方法.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )8.若在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线共有 条.【解析】如图,在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中,从顶点 A 出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从 B,C,D,E 点出发的对角线也有两条,共 25=10(条).答案:10- 5 - / 10【加固训练】(2014安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60的共有 ( )A.24 对
10、B.30 对C.48 对D.60 对【解析】选 C.与正方体的一个面上的一条对角线成 60角的对角线有 8 条,故共有 8 对,正方体的 12 条面对角线共有 96 对,且每对均重复计算一次,故共有=48 对.9.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 .【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,另外两边长用 x,y 表示,且不妨设 1xy11,要构成三角形,必须 x+y12.当 y 取值 11 时,x=1,2,3,11,可有 11 个三角形;当 y 取值 10 时,x=2,3,10,可有 9 个三角形;当 y 取值分别为 9,8,7,6 时,x 取值个数分别是 7,5,3,1,
11、所以根据分类加法计数原理知所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36.答案:3610.(2016孝感模拟)用红,黄,蓝,绿,黑这 5 种颜色给如图所示的四连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 .【解析】根据题意,红色至少要涂两个圆,而且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆,分 3 种情况讨论:用红色涂第一、三个圆,- 6 - / 10此时第 2 个圆不能为红色,有 4 种涂色方法,第 4 个圆也不能为红色,有 4 种涂色方法,则此时共有 44=16(种)涂色方案;同理,当用红色涂第二、四个圆也有
12、 16 种涂色方案;用红色涂第一、四个圆,此时需要在剩下的 4 种颜色中,任取 2 种,涂在第二、三个圆中,有=12(种)涂色方案;则一共有 16+16+12=44(种)不同的涂色方案.答案:44(20(20 分钟分钟 4040 分分) )1.(5 分)(2016厦门模拟)某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花 ( )A.3360 元B.67
13、20 元C.4320 元D.8640 元【解题提示】根据题意,依次计算“01 至 10 中三个连号的个数” 、 “11 至 20 中两个连号的个数” 、 “21 至 30 中单选号的个数” 、 “31 至 36 中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】选 D.从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法;从 11 至 20 中选 2个连续的号共有 9 种选法;从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法;从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法,由分步乘法计数原理知共有 89106=4320(种)选法,- 7 - / 10至少需花 43202=864
14、0(元).2.(5 分)如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现 A,B 之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )A.9 种B.11 种C.13 种D.15 种【解析】选 C.按照焊接点脱落的个数进行分类:第 1 类,脱落 1 个,有 1,4,共 2种;第 2 类,脱落 2 个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种;第 3类,脱落 3 个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共 4 种;第 4 类,脱落 4 个,有(1,2,3,4),共 1 种.根据分类加法
15、计数原理,共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的情况.3.(5 分)(2016成都模拟)设三位数 n=(即 n=100a+10b+c,其中 a,b,cN*),若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n有 ( )A.45 个B.81 个C.165 个D.216 个【解析】选 C.由题意知以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,先考虑等边三角形情况,则 a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时 n 有 9 个,再考虑等腰三角形情况,若 a,b 是腰,则 a=b,当 a=b=1 时,c10,所以 10 人中必有 3 人既会英语又会法语,5 人只会英语,2 人只会法语.(1)可分类完成此事:一类是只会英语,一类是既会英语也会法语,一类是只会法语,共有 5+3+2=10(种).(2)分 4 类,共有 N=52+53+23+32=37(种)方法.