自动控制理论—时域分析.pptx

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1、 时时域域分分析析法法在在时时间间域域内内研研究究系系统统在在典典型型输输入入信信号号的的作作用用下下，其其输输出出响响应应随随时时间间变变化化规规律律的的方方法法。对对于于任任何何一一个个稳稳定定的的控控制制系系统统，输输出出响响应含有瞬态分量和稳态分量。应含有瞬态分量和稳态分量。瞬瞬态态分分量量 由由于于输输入入和和初初始始条条件件引引起起的的，随随时时间间的的推推移移而而趋趋向向消消失失的的响响应应部部分分，它它提提供供了了系统在过度过程中的各项动态性能的信息。系统在过度过程中的各项动态性能的信息。稳稳态态分分量量 是是过过渡渡过过程程结结束束后后,系系统统达达到到平平衡衡状状态态，其其

2、输输入入输输出出间间的的关关系系不不再再变变化化的的响响应应部分，它反映了系统的稳态性能或误差。部分，它反映了系统的稳态性能或误差。时时域域分分析析法法的的物物理理概概念念清清晰晰，准准确确度度较较高高，在在已已知知系系统统结结构构和和参参数数并并建建立立了了系系统统的的微微分分方方程程后后，使使用用时时域域分分析析法法比比较较方方便便。不不过过若若用用它它来来设设计计和和校校正正系系统统，根根据据系系统统性性能能指指标标的的要要求求来选定系统的结构和参数，却存在一定的困难。来选定系统的结构和参数，却存在一定的困难。第1页/共115页为为了了研研究究控控制制系系统统的的输输出出响响应应，必必须

3、须了了解解输输入入信信号号的的变变化化形形式式。在在工工程程实实际际中中，有有些些系系统统的的输输入入信信号号是是已已知知的的（如如恒恒值值系系统统），但但对对有有些些控控制制系系统统来来说说，常常常常不不能能准准确确地地知知道道其其输输入入量量是是如如何何变变化化的的（如如随随动动系系统统）。因因此此，为为了了方方便便系系统统的的分分析析和和设设计计，使使各各种种控控制制系系统统有有一一个个进进行行比比较较的的基基础础，需需要要选选择择一一些些典典型型试试验验信信号号作作为为系系统统的的输输入入，然然后后比比较较各各种种系系统统对对这这些些输输入入信信号号的的响响应应。常常用用的的试试验验信

4、信号号是是阶阶跃跃函函数数、斜斜坡坡函函数数、抛抛物物线线函函数数、脉脉冲冲函函数数及及正正弦弦函函数数。这这些些函函数数都都是是简简单单的的时时间间函函数数，并并且且易易于于通通过过实验产生，便于数学分析和试验研究。实验产生，便于数学分析和试验研究。第2页/共115页 如果控制系统的实际输入大部分是随时间如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管则选用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何种典型

5、输入型号，对同一系统来说，其采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。为典型实验信号。本本章章主主要要讨讨论论控控制制系系统统在在阶阶跃跃函函数数等等输输入入信号作用下的输出响应。信号作

6、用下的输出响应。第3页/共115页h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量%=AB100%动态性能指标定义1h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量%=AB100%调节时间ts第4页/共115页3-2 一阶系统的时域响应 由由一一阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为一一阶阶系系统统,典典型型闭闭环环控控制制一一阶阶系系统统如如图图3-3-2 2所所示示.其其中中 是积分环节，是积分环节，T T为它的时间常数。为它的时间常数。图3-2一阶系统的结构图C(s)-R(s)第5页/共115页系统的传递函数为系统的传递函数为可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而

7、可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而T T T T也是闭环系统的惯性时间常数。也是闭环系统的惯性时间常数。也是闭环系统的惯性时间常数。也是闭环系统的惯性时间常数。系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为 对应的微分方程为对应的微分方程为对应的微分方程为对应的微分方程为（3 33 3第6页/共115页 在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(

8、t),其拉氏变换为 ,则输出的拉氏变换为 第7页/共115页对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为 上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量，为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-2所示。第8页/共115页图3-2中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为 .因此，如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上

9、升到稳态值的63.2%。经过3T4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T3T0.632图图3-2 3-2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应第9页/共115页由式（3-2）可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与图3-2的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为

10、一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。第10页/共115页 式中，式中，t-Tt-T为稳态分量，为稳态分量，为瞬态分量，当为瞬态分量，当tt时，时，瞬态分量衰减到零。一阶瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线系统的单位斜坡响应曲线如图如图3-33-3所示。所示。（t0t0）(3-3)(3-3)T Tt tT TC(t)C(t)r(t)=tr(t)=to o图图3-3 3-3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡

11、函数设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=tr(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为第11页/共115页显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。第12页/共115页对上式进行拉氏

12、变换，求得单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-4所示。（t0t0）(3-4)(3-4)0.3680.368C(t)C(t)3 3T T斜率斜率C(t)C(t)T T2 2T Tt t图图3-4 3-4 一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=r(t)=(t),t),其拉氏其拉氏变换为变换为R(s)=1,R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为则输出响应的拉氏变换为第13页/共115页 一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初

13、始斜率为 ，输出量的初始值为 。当 t趋于时，输出量c()趋于零，所以它不存在稳态分量在实际中一般认为在t=3T4T时过度过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值，T越小系统响应的快速性也越好。由上面的分析可见，一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为（3-4）T；在t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为 ;单位斜坡响应的稳态误差为T。T值越小，系统响应的快速性越好，精度越高。按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者是后者的导数，而后者是前者的积分。第14页/共115页比较一阶系统对上述信号的输出响应可以发现，脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。这表明

14、，系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之，系统对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个重要特征，它不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统。因此，在后面的分析中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。第15页/共115页3-3 3-3 二阶系统的时域响应 由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为二二阶阶系系统统。在在控控制制工工程程实实践践中中，二二阶阶系系统统应应用用极极为为广广泛泛，此此外外，许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统来来研研究究，因因此此，

15、详详细细讨讨论论和和分分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。C(t)C(t)R(t)R(t)_ _C(t)C(t)图图3-5 3-5 二阶系统结构图二阶系统结构图（3 35 5）设一个二阶系统的结构图如图设一个二阶系统的结构图如图设一个二阶系统的结构图如图设一个二阶系统的结构图如图3-53-53-53-5所示。所示。所示。所示。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其中其中其中其中K K K K为系统的开环放为系统的开环放为系统的开环放为系统的开环放大系数，大系数，大系数，大系数，T T T T为时间常数。

16、为时间常数。为时间常数。为时间常数。第16页/共115页与式（3-5）相对应的微分方程为 可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式式中 ，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），称为阻尼系数（或阻尼比）。(3-6)(3-6)第17页/共115页系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 （3-73-7）它的两个根为它的两个根为 （3-83-8）二二阶阶系系统统特特征征根根（即即闭闭环环极极点点）的的形形式式随随着着阻阻尼尼比比 取值的不同而不同。取值的不同而不同。1.1.二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应设

17、系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏变换表达式为的拉氏变换表达式为 （3-93-9）对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应阶跃响应 。第18页/共115页（一）过阻尼（1）的情况 当 1时，系统具有两个不相等的负实数极点，它们在S平面上的位置如图3-6所示。此时，（3-9）可写成 （3-10）j j0 0 s s图图3-6 3-6 过阻尼时极点分布过阻尼时极点分布第19页/共115页式中 将 、代入式（3-10），并进行拉氏反变换，得 （3-11)式(3-11)表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态

18、分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升，其响应曲线如图3-7所示。第20页/共115页当 时，闭环极点 比 距虚轴远的多，故 比衰减快的多。因此，可以忽略对系统输出的影响，从而把二阶系统近似看作一阶系统来处理。在工程上，当 时，这种近似处理方法具有足够的准确度。通常，称阻尼比 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。C(t)C(t)t to o1 1图图3-7 3-7 过阻尼响应过阻尼响应第21页/共115页 它们在S平面上的位置如图3-8所示。此时，式（3-9）可写成 （3-12）s so o图图3-8 3-8 欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布(二二)欠阻尼（欠阻尼（

19、）的情况）的情况 当当 时，系统具有一对共轭复数极点，时，系统具有一对共轭复数极点，且在且在S S平面的左半部分，即平面的左半部分，即第22页/共115页将它们代入式（3-12）并将式中的第二项分成两项得因为式中式中 ，称为阻尼自振频率。，称为阻尼自振频率。根据式（根据式（2-442-44）求得）求得 ，第23页/共115页令令 ,，其中，其中 角如图角如图3-83-8所示。于所示。于是有是有 式中式中 系统的稳态响应为系统的稳态响应为1 1，瞬态分量，瞬态分量是一个随时间是一个随时间t t的增大而衰减的的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为正弦振荡过程。振荡的角频率为 它取决于阻尼比它取

20、决于阻尼比 和无阻尼自和无阻尼自然然频频率率 。衰衰减减速速度度取取决决于于 的的大大小小。此此时时系系统工作在欠阻尼状态。输出响应如图统工作在欠阻尼状态。输出响应如图3-93-9所示。所示。t tC(t)C(t)1 10 0图图3-93-9欠阻尼响应欠阻尼响应第24页/共115页（三）临界阻尼（）的情况 当 时，系统具有两个相等的负实数极点，如图3-10所示。此时有 将 代入式（3-15），并进行拉氏反变换，得o o s s图图3-10 3-10 临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布（3 31515）第25页/共115页 该式表明，当 时，系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到稳态值1

21、，其响应曲线如图3-11所示。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。（四）无阻尼（）的情况 当 时，系统具有一对共轭纯虚数极点 ,它 们 在 S平 面 上 的 位 置 如 图 3-12（a）所示。将 代入式（3-13）得 t t1 1o oC(t)C(t)图图3-11 3-11 临界阻尼响应临界阻尼响应第26页/共115页 可可见见，系系统统的的输输出出响响应应是是无无阻阻尼尼的的等等幅幅振振荡荡过过程程，其其振振荡荡频频率率为为 。响响应应曲曲线线如如图图3 3 1212（b b）所示。所示。综上所述，不难看出频率综上所述，不难看出频率 和和 的物理意义。的物理意义。图图3

22、-123-12无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应 s so o(a)(a)C(t)C(t)(b)b)1 1t to o第27页/共115页 当当 ,系系统统具具有有实实部部为为正正的的极极点点,输输出出响响应应是是发发散的，此时系统已无法正常工作。散的，此时系统已无法正常工作。根根据据上上面面的的分分析析可可知知，在在不不同同的的阻阻尼尼比比时时，二二阶阶系系统统的的响响应应具具有有不不同同的的特特点点。因因此此阻阻尼尼比比 是是二二阶阶系系统统的的重重要要特特征征参参数数。若若选选取取 为为横横坐坐标标，可可以以作作出出不不同同阻阻尼尼比比时时二二阶阶系系统统单单位位阶阶跃跃响

23、响应应曲曲线线,无无无无 阻阻阻阻 尼尼尼尼 自自自自 然然然然 振振振振 荡荡荡荡 频频频频 率率率率，此此此此 时时时时 系系系系 统统统统 输输输输 出出出出 为为为为 等幅振荡等幅振荡等幅振荡等幅振荡 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。程。程。程。第28页/共115页如图3-13所示，此时曲线只和阻尼比 有关。由图可见，越小，响应特性振荡得越厉害，随着 增大到一定程度后，响应特性变成单调上升的。从过渡过程持续的时间看，当系统无振荡时，以临界阻尼时过渡过程的时间最短，

24、此时，系统具有最快的响应速度。当系统在欠阻尼状态时，若阻尼比 在0.40.8之间，则系统的过度过程时间比临界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。图图3-13 3-13 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应第29页/共115页 一般希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取 作为设计系统的依据。2 2二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标 在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析 和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。除了一

25、些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下。第30页/共115页 此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为 (3-18)第31页/共115页对应的响应曲线如图3-14所示下面就根据式（3-18）和图3-14所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。1、上升时间 响应曲线从零开始上升，

26、第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据上述定义，当时，由式（3-18）可得超超调调量量C(t)C(t)上升时间上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间误差带误差带稳态误差稳态误差o o1.1.0 0t t图图3-14 3-14 二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标第32页/共115页即即所以所以 （k=0,1,2k=0,1,2）由于上升时间由于上升时间 是是C C（t t）第一次到达稳态值的第一次到达稳态值的时间，故取时间，故取k=1k=1，所以所以 由式由式(3-19)(3-19)可以看出，当可以看出，当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比 越大，上升时间越大，上升时间 越长，当越长，

27、当 一定时，一定时，越大，越大，越小。越小。(3-(3-19)19)第33页/共115页由定义，将式（由定义，将式（3-183-18）对时间求导，并令其等于零，即）对时间求导，并令其等于零，即得得经变换可得经变换可得所以所以即即 （k=1,2k=1,2，）因为峰值时间因为峰值时间 是是C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取=1,=1,所以所以2 2 2 2、峰值时间、峰值时间、峰值时间、峰值时间 响应曲线响应曲线响应曲线响应曲线C C C C（t t t t）从零开始到达第一个峰值所需从零开始到达第一个峰值所需从零开始到达第一个峰值所需从零开始到达第一个峰值所需时

28、间，称为峰值时间。时间，称为峰值时间。时间，称为峰值时间。时间，称为峰值时间。（3 32020）第34页/共115页可可见见，当当 一一定定时时，越越大大，越越小小，反反应应速速度度越越快快。当当 一一定定时时，越越小小，也也越越小小。由由于于 是是闭闭环环极极点点虚虚部部的的数数值值，越越大大，则则闭闭环环极极点点到到实实轴轴的的距距离离越越远远，因因此此，也也可可以以说说峰峰值值时时间间 与闭环极点到实轴的距离成反比。与闭环极点到实轴的距离成反比。（3 32020）第35页/共115页3 3、超调量、超调量 在在响响应应过过程程中中，输输出出量量C C（t t）超超出出其其稳稳态态值值的最

29、大差量与稳态值之比称为超调量。的最大差量与稳态值之比称为超调量。超调量可表示为超调量可表示为式中式中 为输出量的最大值，为输出量的最大值，为输出量的稳态为输出量的稳态值。将式（值。将式（3-203-20）代入式（）代入式（3-183-18）求得输出量的）求得输出量的最大值为最大值为所以所以 第36页/共115页根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到 ，求得，求得 该式表明，该式表明，只是只是 的函数，的函数，而与而与 无关，无关，越小越小,则则 越大。当二阶系统的阻尼比越大。当二阶系统的阻尼比 确定后，即可求得对应的确定后，即可求得对应的超调量超调量 。反之，如果给。反之，如果给

30、出了超调量的要求值，也可出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。求得相应的阻尼比的数值。一般当一般当 时，相应时，相应的超调量的超调量 。与与 关系曲线如图关系曲线如图3-153-15所示。所示。（3-213-21）1001009090808070706060505040403030202010100 00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0图图3-153-15欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线超调与阻尼比关系曲线第37页/共115页 4 4、调节时间、调节时间响响应应曲曲线线到到达达并并停停留留在在稳稳态态值值的的 （或或 )误误差差范范围围内内所

31、所需需的的最最小小时时间间称称为为调调节节时时间间（或或过过渡过程时间）。渡过程时间）。根据调节时间的定义应有下式成立根据调节时间的定义应有下式成立 式式中中 （或或0.020.02）将将式式（3-183-18）及及 代代入入上上式得式得 为为简简单单起起见见，可可以以采采用用近近似似的的计计算算方方法法，忽忽略略正正弦弦函函数数的的影影响响，认认为为指指数数项项衰衰减减到到0.050.05（或或0.020.02）时，过渡过程即进行完毕，于是得到）时，过渡过程即进行完毕，于是得到 第38页/共115页由此可求得由此可求得若取若取 ，则得，则得 若取若取 ，则得，则得 (3-22)(3-22)(

32、3-(3-23)23)第39页/共115页在在 时，上面两式可分别近似为时，上面两式可分别近似为 和和该式表明，调节时间该式表明，调节时间 近似与近似与 成反比。由于成反比。由于 是闭环极点实部的数值，是闭环极点实部的数值，越大，则闭环极越大，则闭环极点到虚轴的距离越远，因此，可以近似地认为点到虚轴的距离越远，因此，可以近似地认为调节时间调节时间 与闭环极点到虚轴的距离成反比。与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，在设计系统时，通常由要求的超调量所决定，通常由要求的超调量所决定，而调节时间而调节时间 则由自然振荡频率则由自然振荡频率 所决定。也所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通

33、过改变就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改变调节时间。的值可以改变调节时间。(3-24)(3-24)第40页/共115页5 5振荡次数振荡次数N N 响应曲线在响应曲线在 0 0 时间内波动的次数称为振时间内波动的次数称为振荡次数。荡次数。根据定义，振荡次数根据定义，振荡次数 式中式中 称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。若取若取 ，若取若取 ，振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关。阻尼比有关。阻尼比 和无阻尼和无阻尼自振频率自振频率 是二阶系统两个重要特征参数，它是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。当保持们对系统的性能具有决定性的影

34、响。当保持 不变时，提高不变时，提高 可使可使 、下降，从而提高系下降，从而提高系统的快速性，同时系统的快速性，同时保持统的快速性，同时系统的快速性，同时保持 和和N N不变。不变。第41页/共115页当保持当保持 不变时，增大不变时，增大 可使可使 和和 下降下降 ,但使但使 和和 上升，显然在系统的振上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的，要使二阶荡性能和快速性之间是存在矛盾的，要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定调量的限制要求选

35、定 ，然后在根据其它要求，然后在根据其它要求来确定来确定 。例例3-1 3-1 设控制系统设控制系统 如图如图3-163-16所示。其中（所示。其中（a a）为无速度反馈系统，（为无速度反馈系统，（b b）为带速度反馈系统，为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为试确定是系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较的值，并比较系统（系统（a a）和和(b)b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。第42页/共115页将上式与式（将上式与式（3-63-6）相比较得）相比较得解得解得 ,根据式（根据式（3-193-19）、（）、（3-203-20）、）、（3-213-21）、（）、（3-24

36、3-24）、）、（3-253-25）计算上升时间）计算上升时间R(s)R(s)E(s)E(s)-C(s)C(s)(a)a)(b)b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)-图图3-163-16例一系统结构图例一系统结构图（秒）（秒）解解解解 系统（系统（系统（系统（a a a a）的闭环传递函数为的闭环传递函数为的闭环传递函数为的闭环传递函数为第43页/共115页峰值时间峰值时间 超调量超调量调节时间调节时间 振荡次数振荡次数系统（系统（b b）的闭环传递函数为的闭环传递函数为 （秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）第44页/共115页将上式与式（将上式与式（3-63-6）相比较得）相

37、比较得将将 代入，解得代入，解得由由 和和 可求得可求得 通通过过上上述述计计算算可可知知，采采用用速速度度反反馈馈后后，可可以明显地改善系统的动态性能。以明显地改善系统的动态性能。（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）第45页/共115页例例3 32 2 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数试确定参数K K和和a a的值。的值。解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为由此得由此得 第46页/共115页由题意即 解得 而即解得 a=3 所以 （秒）（秒）第47页/共115页3-4高阶

38、系统的时域响应 若若描描述述系系统统的的微微分分方方程程高高于于二二阶阶，则则该该系系统统为为高高阶阶系系统统。在在控控制制工工程程中中，大大多多数数控控制制系系统统都都是是高高阶阶系系统统。从从理理论论上上讲讲，高高阶阶系系统统也也可可以以直直接接由由传传递递函函数数求求出出它它的的时时域域响响应应，然然后后按按上上述述二二阶阶系系统统的的分分析析方方法法来来确确定定系系统统的的瞬瞬态态性性能能指指标标。但但是是，高高阶阶系系统统的的分分布布计计算算比比较较困困难难，同同时时，在在工工程程设设计计的的许许多多问问题题中中，过过分分讲讲究究精精确确往往往往是是不不必必要要的的，甚甚至至是是无无

39、意意义义的的。因因此此，工工程程上上通通常常把把高高阶阶系系统统适适当当地地简简化化成成低低阶阶系系统统进进行行分分析析。下下面面简简单单地地介介绍绍高高阶阶系系统统时时域域响响应应的的确确定定方方法法及及研研究究高高阶阶系系统统性性能能的的思思路路和和途径。途径。第48页/共115页设高阶系统的闭环传递函数为设高阶系统的闭环传递函数为假假设设系系统统所所有有零零点点、极极点点互互不不相相同同，且且极极点点中中q q个个实实数数极极点点和和r r对对复复数数极极点点，零零点点中中只只有有实实数数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为式中式中 n=q+2rn=q

40、+2r第49页/共115页将上式展开成部分分式，得将上式展开成部分分式，得 式式中中 、和和 都都是是进进行行部部分分分式展开时所确定的常数。分式展开时所确定的常数。对对上上式式进进行行拉拉氏氏反反变变换换，求求得得系系统统在在零零初始条件下的单位阶跃响应为初始条件下的单位阶跃响应为 由由此此可可见见，高高阶阶系系统统的的时时域域响响应应是是由由稳稳态态值值和和一一些些惯惯性性环环节节及及振振荡荡环环节节的的瞬瞬态态响响应应分分量量所所组组成。成。(3-27)(3-27)第50页/共115页 各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数将取决于

41、它们的指数 、的值和相应项的值和相应项的系数的系数 、的大小。如果系统所有极的大小。如果系统所有极点都分布在点都分布在S S平面的左半部分，即所有极点均平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，当具有负实部，那么，当t t趋于无穷大时，式中趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。由式（由式（3-273-27）可以看出，在瞬态过程中，）可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指数某衰减项的指数 或或 的值越大，则该的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而项衰减越快，反之亦然。而 和和 就是系就是系统的极点到虚轴的距离，因此，如果分布在统的极点

42、到虚轴的距离，因此，如果分布在S S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。大的，是那些离虚轴最近的极点。第51页/共115页 各衰减项的系数不仅与相应的极点在各衰减项的系数不仅与相应的极点在S S平平面中的位置有关，而且还与零点的位置有关。面中的位置有关，而且还与零点的位置有关。极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如果某极点

43、与零点很靠近，则相应分量的系数也果某极点与零点很靠近，则相应分量的系数也很小，这对零极点对系统过度过程的影响也将很小，这对零极点对系统过度过程的影响也将很小。很小。因因此此，高高阶阶系系统统的的瞬瞬态态特特性性主主要要由由系系统统传传递递函函数数中中那那些些靠靠近近虚虚轴轴而而又又远远离离零零点点的的极极点点来来决决定定。如如果果高高阶阶系系统统有有一一个个极极点点（或或一一对对共共轭轭复复数数极极点点）离离虚虚轴轴最最近近，且且其其附附近近又又无无零零点点存存在在，而而其其他他所所有有极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离都都在在此此极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离的的五五倍倍以以上上，则则可可近

44、近似似的的认认为为系系统统的的瞬瞬态态特特性性由由这这个个（或或这这对对）极极点点来来确确定定，而而其其它它极极点点的的影影响响可可以以忽忽略略不不计计，这这个个（或或这这对）极点就称为高阶系统的对）极点就称为高阶系统的主导极点。主导极点。第52页/共115页 高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统

45、参数，使系统具有预导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统似的用二阶系统的性能指标来设计系统。第53页/共115页3-5 控制系统的稳定性 在控制系统的分析研究中，最重要的问在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作

46、的。发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。条件及判别稳定性的基本方法。一、稳定的概念和定义 在在自自动动控控制制理理论论中中，有有多多种种稳稳定定性性的的定定义义，这这里里只只讨讨论论其其中中最最常常用用的的一一种种，即即渐渐近近稳稳定性的定义。定性的定义。第54页/共115页稳定与不稳定系统的示例稳定与不稳定系统的示例图图3-173-17摆运动示意图摆运动示意图A Af f图图3-183-18不稳定系统不稳定系统图图3-193-19小范围稳定系统小范围稳定系统dfcA A图图图图3

47、 3 3 319191919中，小球超出了中，小球超出了中，小球超出了中，小球超出了C C C C、D D D D范围后系统就不再是线范围后系统就不再是线范围后系统就不再是线范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。图图图图3 3 3 317171717为稳定的系统。为稳定的系统。为稳定的系统。为稳定的系统。图图图图3 3 3 318181818为不稳定系统。为不稳定系统。为不稳定系统。为不稳定系统。第55页/共115页二.稳定的充要条件 稳

48、稳定定性性是是系系统统在在扰扰动动消消失失后后，自自身身具具有有的的一一种种恢恢复复能能力力，它它是是系系统统的的一一种种固固有有特特性性，这这种种特特性性只只取取决决于于系统的结构和参数，与外作用无关。系统的结构和参数，与外作用无关。线线性性定定常常系系统统的的稳稳定定性性的的定定义义：如如果果线线性性定定常常系系统统受受到到扰扰动动的的作作用用，偏偏离离了了原原来来的的平平衡衡状状态态，而而当当扰扰动动消消失失后后，系系统统又又能能够够逐逐渐渐恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态，则则称称该该系系统统是是渐渐进进稳稳定定的的（简简称称为为稳稳定定）。否否则则，称称该该系系统统是是不不稳

49、稳定定的。的。在在下下面面的的讨讨论论中中，如如果果系系统统的的数数学学模模型型是是建建立立在在小小偏偏差差线线性性化化的的基基础础上上，则则认认为为系系统统中中各各信信号号的的变变化化均均不不超超出出其其线线性性范范围围。此此时时，该该系系统统采采用用上上述述的的稳稳定定性性的的定义。定义。第56页/共115页 根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于 时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的。根据这个思路分析系统稳定的充要

50、条件。设系统的闭环传递函数为 第57页/共115页特征方程为特征方程为 如如果果特特征征方方程程的的所所有有根根互互不不相相同同，且且有有q q个个实实数数根根 和和r r对对共共轭轭复复数数根根 ,则则在在单单位位脉脉冲冲函函数数 的的作作用用下下，系系统统输输出出量量的拉氏变换可表示为的拉氏变换可表示为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得 （3-28）式中式中第58页/共115页 式（式（3-283-28）表明）表明 当当系系统统特特征征方方程程的的根根都都具具有有负负实实部部时时，则则各各瞬瞬态态分分量量都都是是衰衰减减的的，且且有有 ，此此时