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1、第第08章环和域章环和域现在学习的是第1页，共37页8.1 环环定定义义8.1.1 给给定定，其其中中+和和都都是是二二元元运运算算，若若是是Abel群群，是是半半群群，对对于于+是是可可分分配配的的，则则称称是是环。环。为为了了方方便便，通通常常将将+称称为为加加法法，将将称称为为乘乘法法，把把称称为为加加法法群群，称称为为乘乘法法半半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。现在学习的是第2页，共37页环的加法群的幺元或加法零元称为环的零环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以元，以0示之。若示之。若aR，则其加法逆元以，则其加法逆元以-a表表之。之
2、。常常又根据环中乘法半群满足不同性质，常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。将环冠于不同的名称。现在学习的是第3页，共37页定义定义8.1.2 给定环给定环，若，若是是可交换半群，则称可交换半群，则称是可交换环；若是可交换环；若是独异点，则称是独异点，则称是含幺环；是含幺环；若若满足等幂律，则称满足等幂律，则称是布尔是布尔环。环。通常用通常用1表示表示的幺元。在的幺元。在中，中，若若aR的逆元存在，则以的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。现在学习的是第4页，共37页定理定理8.1.1 是环是环(a)(aRa0=0a=0)下下面面讨讨论论加加法法逆逆元元的的性
3、性质质，为为方方便便记记，a+(-b)表表成成a-b。定定 理理 8.1.2 是是 环环(a)(b)(a，bR-(ab)=a(-b)=(-a)b现在学习的是第5页，共37页同理同理 -(ab)=(-a)b推论推论1 (a)(b)(a，bR(-a)(-b)=ab)推推论论2 (a)(b)(c)(a，b，cR(a(b-c)=ab-ac)(b-c)a=ba-ca)由由定定理理8.1.1可可知知，环环中中任任二二元元素素相相乘乘，若若其其中中至至少少有有一一个个为为零零元元，则则乘乘积积必必为为零零元元。但但反反之之未未必必真真，这这是是因因为为在在环环中中，两两个个非非零零元元的的乘积可能为零元，这
4、便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。现在学习的是第6页，共37页定义定义8.1.3 给定环给定环，则环，则环中有零因子中有零因子:=(a)(b)(a，bRa0b0ab=0)并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，a和和b是零因子。是零因子。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。现在学习的是第7页，共37页定定理理8.1.3 给给定定环环，则则为无零因子环为无零因子环满足可约律。满足可约律。定定义义8.1.4 给给定定可可交交换换含含幺幺环环，若若无零因子，则称无零因子，则称为整环。为整环。由由定定义义8.1.3知知道道，环环中中可可约约律律与与无
5、无零零因因子子是是等等价价的的，因因此此整整环环是是无无零零因因子子可可交交换换含含幺幺环环或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。现在学习的是第8页，共37页下面再给出一个定理以结束本节。下面再给出一个定理以结束本节。定理定理8.1.4 给定含幺环给定含幺环且且R 0，则，则|R|2。现在学习的是第9页，共37页8.2 子环与理想子环与理想与与讨讨论论群群与与子子群群一一样样，对对于于环环也也要要讨讨论论子子环。环。定定义义8.2.1 给给定定环环和和非非空空集集合合S R，若若是是的的子子群群，是是的的子子半半群群，则则称称是是的子环。的子环。现在学习的是第10页，
6、共37页这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。子群和真子群类似。由环的定义知道，若由环的定义知道，若为群为群的的子群，子群，是是的子半群，在的子半群，在R上乘法上乘法对于加法分配律成立，则对于加法分配律成立，则是是的子环。显然由于的子环。显然由于S R而分配律、结合律在而分配律、结合律在R中成立。则在中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定义如中亦成立。于是，子环可定义如下：下：现在学习的是第11页，共37页若若(1)S R(2)是是的子群的子群(3)S对对满足封闭性满足封闭性则则为为的子环。的子环。由此及上节定理由此及上节定理7.6.3：是是
7、的的子群的充要条件是对任意子群的充要条件是对任意a，bS则则a b-1S，便可得到下面定理。便可得到下面定理。现在学习的是第12页，共37页定理定理8.2.1 给定环给定环及及S R，则，则是是的子环的子环(a)(b)(a，bSa-bSabS)本定理表明本定理表明为为的子环的子环的主要条件是的主要条件是S对减法运算封闭和对减法运算封闭和S对乘法运算对乘法运算封闭。封闭。由由此此看看出出，含含幺幺环环的的子子环环未未必必也也含含幺幺元元，因因为为是是含含幺幺元元1的的环环，其其子子环环不不再再含乘法幺元。含乘法幺元。现在学习的是第13页，共37页下下面面引引进进一一种种特特殊殊的的子子环环，称称
8、之之为为理理想想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。定定义义8.2.2 设设为为的的子子环环，若若对对于于T中中任任何何元元t和和R中中任任何何元元a，有有atT且且taT，则则称称为为环环的的理理想。想。显显然然，若若是是可可交交换换环环，atS或或taS只要其一即可。只要其一即可。现在学习的是第14页，共37页由定义可知，若由定义可知，若为理想，则为理想，则R中中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T，则，则乘积必属于乘积必属于T。当当是环是环的子环时，要的子环时，要求求S对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；
9、而当是环是环的理想时，要求更强的封闭性，即的理想时，要求更强的封闭性，即T对对于乘上于乘上R中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。现在学习的是第15页，共37页注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：定理：定理定理8.2.2 给定环给定环及及T R，则，则为环为环的理想的理想(t)(t1)(a)(t，t1TaR(t-t1)TtaTatT)现在学习的是第16页，共37页定定义义8.2.3 令令是是环环之之理理想想，若若在在T中中存存在在元元g，使使得得T=Rg，其其中中Rg=ag|aR，则则称称为为环环的的主主理理想想。并并称称g为为的的生生成成元元或
10、或说说由由g生成生成，常常用，常常用(g)表示表示T。对对于于环环来来说说，它它有有个个有有趣趣的的性性质质即即它它的的所所有有理理想想均均为为主主理理想想。因因此此有有下下面面待待证证定理。定理。现在学习的是第17页，共37页定理定理8.2.3 设设为环为环之理之理想，则存在想，则存在iI+，使得，使得L=(i)。即。即的每的每个理想皆为主理想。个理想皆为主理想。对对于于任任一一环环的的理理想想，读读者者不不难难证证明明下下面面定定理：理：定定理理8.2.4 若若与与同同为为环环之之理理想想，则则亦亦为为环环之理想。之理想。定定理理8.2.5 若若为为含含幺幺环环之任一真理想，则之任一真理想
11、，则T中任一元素均无乘法逆元。中任一元素均无乘法逆元。现在学习的是第18页，共37页现现在在用用R/T表表示示群群中中T的的所所有有不不同同陪陪集的簇。首先定义集的簇。首先定义R/T中的加法中的加法如下：如下：(a+T)(b+T)=(a+b)+T则则是是Abel群。群。其次定义其次定义R/T中的乘法中的乘法 如下：如下：(a+T)(b+T)=(ab)+T则则是半群。是半群。现在学习的是第19页，共37页定定理理8.2.6 若若是是环环的理想，则的理想，则是商环。是商环。现在学习的是第20页，共37页.环同态与环同构环同态与环同构定定义义8.3.1 给给定定环环与与，则则 环环 环环:=(f)(
12、fSR(a)(b)(a，bR(f(a+b)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)称称f为为从从环环到到环环的的环环同同态态映射。映射。现在学习的是第21页，共37页又若又若f为双射，则环为双射，则环 环环，此时称，此时称f为从为从到到的的环同构映射。环同构映射。不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且态，而且f还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意a，b，cR，则，则f(a(b+c)=f(a)f(b+c)=f(a)(f(b)f(c)=(f(a)f(b)(f(a)f(c)现在学习的是第22页，共37页定定义义8.3.2 若若f为为从从
13、环环到到环环的的环环同同态态映映射射，0S为为环环的的零零元元，则则集集合合Kf=k|f(k)=0SkR，称称为为环环同同态态映映射射f的核。的核。关关于于环环同同态态、环环同同构构有有群群同同态态、群群同同构构类类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。现在学习的是第23页，共37页定理定理8.3.1 若若f为从环为从环到环到环的环同态映射，且的环同态映射，且0R，0S，1R，1S分别为两分别为两个环的零元和幺元，则个环的零元和幺元，则(1)f(0R)=0S(2)f(-a)=-f(a)(3)是是的子环的子环(4)是是的子环的子环(5)f为单射为单射Kf
14、=0R 现在学习的是第24页，共37页又若又若f为双射，即为双射，即f为环同构映射，则为环同构映射，则(6)f(1R)=1S(7)若若aR有乘法逆元有乘法逆元a-1，f(a-1)=f(a)-1。此外，由此外，由(2)可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，因为对任意因为对任意a，bR，f(a-b)=f(a+(-b)=f(a)f(-b)=f(a)(-f(b)=f(a)-f(b)现在学习的是第25页，共37页下面定理揭示了环同态映射的核有理想下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。结构。定理定理8.3.2 若若f为从环为从环到环到环的环同态映射，则的环同态映射，则为为之理想。之理想
15、。现在学习的是第26页，共37页8.4 域域对对于于环环施施加加进进一一步步限限制制，即即是是可可交交换换群群，便便得得到到另另外外一一个个代代数数结结构构域。域。定定义义8.4.1 给给定定可可交交换换环环，若若为群，则称为群，则称为域。为域。现在学习的是第27页，共37页下下面面定定理理证证明明了了域域中中无无零零因因子子，因因而而域域中中可约律成立。可约律成立。定定理理8.4.1 为为域域(a)(b)(a，bFab=0(a=0b=0)定定理理8.4.2 设设是是无无零零因因子子环环，若若1|R|n，n N+，则，则是域。是域。该该定定理理说说明明了了，元元素素大大于于1的的有有限限无无零
16、零因因子子环是域。环是域。现在学习的是第28页，共37页定理定理8.4.3 设设是域，是域，R K，且，且是交换环，是交换环，F=|a,b R b 0，则，则是是交换域，且交换域，且R F。并称。并称F是包含是包含R的商域，简的商域，简称称F是是R的商域。的商域。现在学习的是第29页，共37页由由定定理理证证明明可可得得出出：只只要要R能能够够嵌嵌入入一一域域中中，则则R的的商商域域F必必存存在在，并并且且商商域域F的的构构造造完完全全由由R 确确定定。因因此此，R的的商商域域都都同同构构，进进而而可可知知同同构构环环的的商商域域也也是是同同构构的的。任任一一域域K若若包包含含R，也也就就包包
17、含含R的的商商域域F，因因此此，F是是包包含含R的的最最小小域域。如如有有理理数数域域Q是是整整数数环环Z的的商商域域，它它包包含含Z的最小域。的最小域。现在学习的是第30页，共37页定理定理8.4.4 给定环给定环，则，则为域为域n为素数。为素数。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。定定理理8.4.5 给给定定可可交交换换含含幺幺环环，则则为域为域不具有真理想。不具有真理想。现在学习的是第31页，共37页8.5 有限域有限域定定义义8.5.1 给给定定域域，若若|F|n，n N+，则则称称是是有有限限域域，或或伽伽罗罗瓦瓦(Galois)域。域。根根据据8.4节节
18、中中定定理理8.4.4可可知知，当当p是是素素数数时时，是有限域，并记为是有限域，并记为GF(p)。GF(p)表表 明明 了了，若若 p是是 素素 数数 时时，则则F=0,1,2,p-1在在mod p的的意意义义下下关关于于加加法法+和和乘乘法法构成域。构成域。现在学习的是第32页，共37页定义定义8.5.2 设设是域，是域，E F。若对。若对任意任意a,b E，有，有a-b E，且当，且当b 0时有时有ab-1 E，则称，则称是域是域的子域，称的子域，称是域是域的扩张。也简称的扩张。也简称E是是F的的子域，子域，F是是E的扩张。若的扩张。若是域，是域，且且F=E ，则，则F是是E的单扩张，并
19、记为的单扩张，并记为F=E()，称，称 是是F关于关于E的本原元素。的本原元素。现在学习的是第33页，共37页定义定义8.5.3 若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。例如，实数域例如，实数域R中的在理数域中的在理数域Q是素域，是素域，是素域。是素域。定理定理8.5.1 任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域现在学习的是第34页，共37页定定义义8.5.4 设设是是域域，e是是其其单单位位元元。若若e的的任任意意倍倍均均异异于于0，则则称称该该域域的的特特征征数数是是0；若若e的某素数的
20、某素数p倍是倍是0，称该域特征数是，称该域特征数是p。从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：定定理理8.5.2 设设素素域域的的特特征征数数是是p，则则；若若特特征征数数是是0，则则。注注意意域域与与其其子子域域的的单单位位元元是是一一致致的的，可可见见域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相同的。现在学习的是第35页，共37页定理定理8.5.3 设设是域，是域，n是整数，对是整数，对任意非零元任意非零元a F，若特征数是，若特征数是0，则，则na=o iff n=0；若特征数是；若特征数是p，则，则na=0 iff n 0(mod p)。由由定定理理可可知知，特特征征数数是是单单位位
21、元元的的性性质质，也也是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。定定理理8.5.4 设设是是有有限限域域，其其素素域域，|F|=q，则则特特征征数数p 0，且且q=pn，其其中中n是是F关于关于E的底之元数。的底之元数。现在学习的是第36页，共37页定定理理8.5.5 设设是是域域，|F|=q，则则F的元是由多项式的元是由多项式xq-x的根所组成。的根所组成。定定理理8.5.6 元元数数相相等等的的有有限限域域是是同同构构的的。在在同同构构意意义义下下，只只有有唯唯一一的的元元素素是是pn的的有有限限域域，其其中中p为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为GF(pn)。现在学习的是第37页，共37页