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1、第第08章环和域章环和域第1页，本讲稿共37页8.1 环环定定定定义义义义8.1.18.1.1 给给给给定定定定，其其其其中中中中+和和和和 都都都都是是是是二二二二元元元元运运运运算算算算，若若若若+是是是是AbelAbel群群群群，是是是是半半半半群群群群，对对对对于于于于+是是是是可可可可分分分分配配配配的的的的，则则则则称称称称 是是是是环。环。环。环。为为为为了了了了方方方方便便便便，通通通通常常常常将将将将+称称称称为为为为加加加加法法法法，将将将将 称称称称为为为为乘乘乘乘法法法法，把把把把+称称称称为为为为加加加加法法法法群群群群，称称称称为为为为乘乘乘乘法法法法半半半半群。而
2、且还规定，运算的顺序先乘法后加法。群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。第2页，本讲稿共37页环的加法群的幺元或加法零元称为环的零环的加法群的幺元或加法零元称为环的零环的加法群的幺元或加法零元称为环的零环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以元，以元，以元，以0示之。若示之。若示之。若示之。若aR，则其加法逆元以，则其加法逆元以，则其加法逆元以，则其加法逆元以-a表表之。之。常常又根据环中乘法半群满足不同性质，常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。将环冠于不同的名称。第3页，本讲稿共37页定义
3、定义定义定义8.1.28.1.2 给定环给定环给定环给定环，若，若，若，若 是是是是可交换半群，则称可交换半群，则称可交换半群，则称可交换半群，则称 是可交换环；若是可交换环；若是可交换环；若是可交换环；若 是独异点，则称是独异点，则称是独异点，则称是独异点，则称 是含幺环；是含幺环；是含幺环；是含幺环；若若若若 满足等幂律，则称满足等幂律，则称满足等幂律，则称满足等幂律，则称 是布尔是布尔是布尔是布尔环。环。环。环。通常用通常用通常用通常用1 1表示表示表示表示 的幺元。在的幺元。在的幺元。在的幺元。在 中，中，中，中，若若若若a aR R的逆元存在，则以的逆元存在，则以的逆元存在，则以的逆
4、元存在，则以a a-1-1表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。第4页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.1.18.1.1 ,+,是环是环是环是环(a a)()(a aR Ra a0=00=0a a=0)=0)下下下下面面面面讨讨讨讨论论论论加加加加法法法法逆逆逆逆元元元元的的的的性性性性质质质质，为为为为方方方方便便便便记记记记，a a+(-+(-b b)表表表表成成成成a a-b b。定定定定 理理理理 8.1.28.1.2 是是是是 环环环环(a a)()(b b)()(a a，b bR R-(-(a a b b)=)=a a(-(-b b)=(-)=(-a a
5、)b b第5页，本讲稿共37页同理同理同理同理 -(-(a a b b)=(-)=(-a a)b b推论推论推论推论1 1 (a a)()(b b)()(a a，b bR R(-(-a a)(-)(-b b)=)=a a b b)推推推推论论论论2 2 (a a)()(b b)()(c c)()(a a，b b，c cR R(a a(b b-c c)=)=a a b b-a a c c)(b b-c c)a a=b b a a-c c a a)由由由由定定定定理理理理8.1.18.1.1可可可可知知知知，环环环环中中中中任任任任二二二二元元元元素素素素相相相相乘乘乘乘，若若若若其其其其中中中中
6、至至至至少少少少有有有有一一一一个个个个为为为为零零零零元元元元，则则则则乘乘乘乘积积积积必必必必为为为为零零零零元元元元。但但但但反反反反之之之之未未未未必必必必真真真真，这这这这是是是是因因因因为为为为在在在在环环环环中中中中，两两两两个个个个非非非非零零零零元元元元的的的的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。第6页，本讲稿共37页定义定义定义定义8.1.38.1.3 给定环给定环给定环给定环，则环，则环，则环，则环 中有零因子中有零因子中有零因子中有零因子:
7、=(:=(a a)()(b b)()(a a，b bR Ra a00b b00a a b b=0)=0)并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环，a a和和和和b b是零因子。是零因子。是零因子。是零因子。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。第7页，本讲稿共37页定定定定理理理理8.1.38.1.3 给给给给定定定定环环环环，则则则则 为无零因子环为无零因子环为无零因子环为无零因子环 满足可约律。满足可约律。满足可约律。满足可约律。定定定定义义义义8.1.48.1.4 给给给给定定
8、定定可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环，若若若若 无零因子，则称无零因子，则称无零因子，则称无零因子，则称 为整环。为整环。为整环。为整环。由由由由定定定定义义义义8.1.38.1.3知知知知道道道道，环环环环中中中中可可可可约约约约律律律律与与与与无无无无零零零零因因因因子子子子是是是是等等等等价价价价的的的的，因因因因此此此此整整整整环环环环是是是是无无无无零零零零因因因因子子子子可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。或者说是满足可约律可交换含幺环。第8页，本讲稿共37页
9、下面再给出一个定理以结束本节。下面再给出一个定理以结束本节。定理定理8.1.4 给定含幺环给定含幺环且且R 0，则，则|R R|2。第9页，本讲稿共37页8.2 子环与理想子环与理想与与与与讨讨讨讨论论论论群群群群与与与与子子子子群群群群一一一一样样样样，对对对对于于于于环环环环也也也也要要要要讨讨讨讨论论论论子子子子环。环。环。环。定定定定义义义义8.2.18.2.1 给给给给定定定定环环环环 和和和和非非非非空空空空集集集集合合合合S S R R，若若若若+是是是是+的的的的子子子子群群群群，是是是是 的的的的子子子子半半半半群群群群，则则则则称称称称 是是是是 的子环。的子环。的子环。的
10、子环。第10页，本讲稿共37页这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。子群和真子群类似。子群和真子群类似。子群和真子群类似。由环的定义知道，若由环的定义知道，若由环的定义知道，若由环的定义知道，若+为群为群为群为群+的子群，的子群，的子群，的子群，+是是是是 的子半群，在的子半群，在的子半群，在的子半群，在R R上乘上乘上乘上乘法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则法对于加法分配律成立，则 是是是是 的子环。显然由于的子环。显然由于的子环。
11、显然由于的子环。显然由于S S R R而分配律、结合律而分配律、结合律而分配律、结合律而分配律、结合律在在在在R R中成立。则在中成立。则在中成立。则在中成立。则在S S中亦成立。于是，子环可定中亦成立。于是，子环可定中亦成立。于是，子环可定中亦成立。于是，子环可定义如下：义如下：义如下：义如下：第11页，本讲稿共37页若若若若(1)(1)S S R R(2)(2)+是是是是+的子群的子群的子群的子群(3)(3)S S对对对对 满足封闭性满足封闭性满足封闭性满足封闭性则则则则 为为为为 的子环。的子环。的子环。的子环。由此及上节定理由此及上节定理由此及上节定理由此及上节定理7.6.37.6.3
12、：是是是是 的的的的子群的充要条件是对任意子群的充要条件是对任意子群的充要条件是对任意子群的充要条件是对任意a a，b bS S则则则则a a b b-1-1S S，便可得到下面定理。便可得到下面定理。便可得到下面定理。便可得到下面定理。第12页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.2.18.2.1 给定环给定环给定环给定环 及及及及 S S R R，则，则，则，则 是是是是 的子环的子环的子环的子环(a a)()(b b)()(a a，b bS Sa a-b bS Sa a b bS S)本定理表明本定理表明本定理表明本定理表明 为为为为 的子环的子环的子环的子环的主要条件是的主要条件是的主要
13、条件是的主要条件是S S对减法运算封闭和对减法运算封闭和对减法运算封闭和对减法运算封闭和S S对乘法运算对乘法运算对乘法运算对乘法运算封闭。封闭。封闭。封闭。由由由由此此此此看看看看出出出出，含含含含幺幺幺幺环环环环的的的的子子子子环环环环未未未未必必必必也也也也含含含含幺幺幺幺元元元元，因因因因为为为为,+,是是是是含含含含幺幺幺幺元元元元1 1的的的的环环环环，其其其其子子子子环环环环,+,不不不不再再再再含乘法幺元。含乘法幺元。含乘法幺元。含乘法幺元。第13页，本讲稿共37页下下下下面面面面引引引引进进进进一一一一种种种种特特特特殊殊殊殊的的的的子子子子环环环环，称称称称之之之之为为为为
14、理理理理想想想想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。定定定定义义义义8.2.28.2.2 设设设设 为为为为 的的的的子子子子环环环环，若若若若对对对对于于于于T T中中中中任任任任何何何何元元元元t t和和和和R R中中中中任任任任何何何何元元元元a a，有有有有a a t tT T且且且且t t a aT T，则则则则称称称称 为为为为环环环环 的的的的理理理理想。想。想。想。显显显显然然然然，若若若若 是是是是可可可可交交交交换换换换环环环环，a a t tS S或或或或
15、t t a aS S只要其一即可。只要其一即可。只要其一即可。只要其一即可。第14页，本讲稿共37页由定义可知，若由定义可知，若由定义可知，若由定义可知，若 为理想，则为理想，则为理想，则为理想，则R R中中中中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于任二元素相乘时，若至少有一个元素属于任二元素相乘时，若至少有一个元素属于任二元素相乘时，若至少有一个元素属于T T，则，则，则，则乘积必属于乘积必属于乘积必属于乘积必属于T T。当当当当 是环是环是环是环 的子环时，要的子环时，要的子环时，要的子环时，要求求求求S S对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；
16、而当 是环是环是环是环 的理想时，要求更强的封闭性，即的理想时，要求更强的封闭性，即的理想时，要求更强的封闭性，即的理想时，要求更强的封闭性，即T T对对对对于乘上于乘上于乘上于乘上R R中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。第15页，本讲稿共37页注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：定理：定理：定理：定理定理定理定理8.2.28.2.2 给定环给定环给定环给定环 及及及及 T T R R，则则则则 为环为环为环为环 的理想的理想的
17、理想的理想(t t)()(t t1 1)()(a a)(t t，t t1 1T Ta aR R(t t-t t1 1)T Tt t a aT Ta a t tT T)第16页，本讲稿共37页定定定定义义义义8.2.38.2.3 令令令令 是是是是环环环环 之之之之理理理理想想想想，若若若若在在在在T T中中中中存存存存在在在在元元元元g g，使使使使得得得得T T=R R g g，其其其其中中中中R R g g=a a g g|a aR R ，则则则则称称称称 为为为为环环环环 的的的的主主主主理理理理想想想想。并并并并称称称称g g为为为为 的的的的生生生生成成成成元元元元或或或或说说说说由
18、由由由g g生成生成生成生成，常常用，常常用，常常用，常常用(g g)表示表示表示表示T T。对对对对于于于于环环环环 来来来来说说说说，它它它它有有有有个个个个有有有有趣趣趣趣的的的的性性性性质质质质即即即即它它它它的的的的所所所所有有有有理理理理想想想想均均均均为为为为主主主主理理理理想想想想。因因因因此此此此有有有有下下下下面面面面待待待待证证证证定理。定理。定理。定理。第17页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.2.38.2.3 设设设设 为环为环为环为环 之理之理之理之理想，则存在想，则存在想，则存在想，则存在i iI I+，使得，使得，使得，使得L L=(=(i i)。即。即。即。
19、即 的每的每的每的每个理想皆为主理想。个理想皆为主理想。个理想皆为主理想。个理想皆为主理想。对对对对于于于于任任任任一一一一环环环环的的的的理理理理想想想想，读读读读者者者者不不不不难难难难证证证证明明明明下下下下面面面面定定定定理：理：理：理：定定定定理理理理8.2.48.2.4 若若若若 与与与与 同同同同为为为为环环环环 之之之之理理理理想想想想，则则则则 亦亦亦亦为为为为环环环环 之理想。之理想。之理想。之理想。定定定定理理理理8.2.58.2.5 若若若若 为为为为含含含含幺幺幺幺环环环环 之任一真理想，则之任一真理想，则之任一真理想，则之任一真理想，则T T中任一元素均无乘法逆元。
20、中任一元素均无乘法逆元。中任一元素均无乘法逆元。中任一元素均无乘法逆元。第18页，本讲稿共37页现现现现在在在在用用用用R R/T T表表表表示示示示群群群群+中中中中T T的的的的所所所所有有有有不不不不同同同同陪陪陪陪集的簇。首先定义集的簇。首先定义集的簇。首先定义集的簇。首先定义R R/T T中的加法中的加法中的加法中的加法如下：如下：如下：如下：(a a+T T)(b b+T T)=()=(a a+b b)+)+T T则则则则 是是是是AbelAbel群。群。群。群。其次定义其次定义其次定义其次定义R R/T T中的乘法中的乘法中的乘法中的乘法 如下：如下：如下：如下：(a a+T T
21、)(b b+T T)=()=(a a b b)+)+T T则则则则 是半群。是半群。是半群。是半群。第19页，本讲稿共37页定定理理8.2.6 若若是是环环的理想，则的理想，则是商环。是商环。第20页，本讲稿共37页.环同态与环同构环同态与环同构定定定定义义义义8.3.18.3.1 给给给给定定定定环环环环 与与与与 ，则则则则 环环环环 环环环环 :=(:=(f f)()(f fS SR R(a a)()(b b)(a a，b bR R(f f(a a+b b)=)=f f(a a)f f(b b)f f(a a b b)=)=f f(a a)f f(b b)称称称称f f为为为为从从从从环
22、环环环 到到到到环环环环 的的的的环环环环同同同同态态态态映射。映射。映射。映射。第21页，本讲稿共37页又若又若又若又若f f为双射，则环为双射，则环为双射，则环为双射，则环 环环环环 ，此时称，此时称，此时称，此时称f f为从为从为从为从 到到到到 的的的的环同构映射。环同构映射。环同构映射。环同构映射。不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且态，而且态，而且态，而且f f还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意a
23、a，b b，c cR R，则，则，则，则f f(a a(b b+c c)=)=f f(a a)f f(b b+c c)=f f(a a)(f f(b b)f f(c c)=(=(f f(a a)f f(b b)(f f(a a)f f(c c)第22页，本讲稿共37页定定定定义义义义8.3.28.3.2 若若若若f f为为为为从从从从环环环环 到到到到环环环环 的的的的环环环环同同同同态态态态映映映映射射射射，0 0S S为为为为环环环环 的的的的零零零零元元元元，则则则则集集集集合合合合K Kf f=k k|f f(k k)=0)=0S Sk kR R ，称称称称为为为为环环环环同同同同态态
24、态态映映映映射射射射f f的核。的核。的核。的核。关关关关于于于于环环环环同同同同态态态态、环环环环同同同同构构构构有有有有群群群群同同同同态态态态、群群群群同同同同构构构构类类类类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。第23页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.3.18.3.1 若若若若f f为从环为从环为从环为从环 到环到环到环到环 的环同态映射，且的环同态映射，且的环同态映射，且的环同态映射，且0 0R R，0 0S S，1 1R R，1 1S S分别为两分别为两分别
25、为两分别为两个环的零元和幺元，则个环的零元和幺元，则个环的零元和幺元，则个环的零元和幺元，则(1)(1)f f(0(0R R)=0)=0S S(2)(2)f f(-(-a a)=-)=-f f(a a)(3)(3)是是是是 的子环的子环的子环的子环(4)(4)是是是是 的子环的子环的子环的子环(5)(5)f f为单射为单射为单射为单射K Kf f=0=0R R 第24页，本讲稿共37页又若又若又若又若f f为双射，即为双射，即为双射，即为双射，即f f为环同构映射，则为环同构映射，则为环同构映射，则为环同构映射，则(6)(6)f f(1(1R R)=1)=1S S(7)(7)若若若若a aR
26、R有乘法逆元有乘法逆元有乘法逆元有乘法逆元a a-1-1，f f(a a-1-1)=)=f f(a a)-1-1。此外，由此外，由此外，由此外，由(2)(2)可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，因为对任意因为对任意因为对任意因为对任意a a，b bR R，f f(a a-b b)=)=f f(a a+(-+(-b b)=)=f f(a a)f f(-(-b b)=)=f f(a a)(-(-f f(b b)=)=f f(a a)-)-f f(b b)第25页，本讲稿共37页下面定理揭示了环同态映射的核有理想结下面定理揭
27、示了环同态映射的核有理想结下面定理揭示了环同态映射的核有理想结下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。构。构。构。定理定理8.3.28.3.2 若若f为从环为从环 到环到环到环到环 的环同态映射，则的环同态映射，则的环同态映射，则的环同态映射，则为为之理想。之理想。第26页，本讲稿共37页8.4 域域对对对对于于于于环环环环 施施施施加加加加进进进进一一一一步步步步限限限限制制制制，即即即即 是是是是可可可可交交交交换换换换群群群群，便便便便得得得得到到到到另另另另外外外外一一一一个个个个代代代代数数数数结结结结构构构构域。域。域。域。定定定定义义义义8.4.18.4.1 给给给给定定定定可可
28、可可交交交交换换换换环环环环，若若若若 为群，则称为群，则称为群，则称为群，则称 为域。为域。为域。为域。第27页，本讲稿共37页下下下下面面面面定定定定理理理理证证证证明明明明了了了了域域域域中中中中无无无无零零零零因因因因子子子子，因因因因而而而而域域域域中中中中可约律成立。可约律成立。可约律成立。可约律成立。定定定定理理理理8.4.18.4.1 为为为为域域域域(a a)()(b b)()(a a，b bF Fa a b b=0(=0(a a=0=0b b=0)=0)定定定定理理理理8.4.28.4.2 设设设设 是是是是无无无无零零零零因因因因子子子子环环环环，若若若若1|1|R R|
29、n n，n n N N+，则，则，则，则 是域。是域。是域。是域。该该该该定定定定理理理理说说说说明明明明了了了了，元元元元素素素素大大大大于于于于1 1的的的的有有有有限限限限无无无无零零零零因因因因子子子子环是域。环是域。环是域。环是域。第28页，本讲稿共37页定理定理8.4.3 设设是域，是域，R K，且且是交换环，是交换环，是交换环，是交换环，F=|=|a,b R b 0，则，则是交是交换域，且换域，且R R F。并称。并称。并称。并称F是包含是包含R的商域，简称的商域，简称F是是R的商域。的商域。第29页，本讲稿共37页由由由由定定定定理理理理证证证证明明明明可可可可得得得得出出出出
30、：只只只只要要要要R R能能能能够够够够嵌嵌嵌嵌入入入入一一一一域域域域中中中中，则则则则R R的的的的商商商商域域域域F F必必必必存存存存在在在在，并并并并且且且且商商商商域域域域F F的的的的构构构构造造造造完完完完全全全全由由由由R R 确确确确定定定定。因因因因此此此此，R R的的的的商商商商域域域域都都都都同同同同构构构构，进进进进而而而而可可可可知知知知同同同同构构构构环环环环的的的的商商商商域域域域也也也也是是是是同同同同构构构构的的的的。任任任任一一一一域域域域K K若若若若包包包包含含含含R R，也也也也就就就就包包包包含含含含R R的的的的商商商商域域域域F F，因因因因
31、此此此此，F F是是是是包包包包含含含含R R的的的的最最最最小小小小域域域域。如如如如有有有有理理理理数数数数域域域域Q Q是是是是整整整整数数数数环环环环Z Z的的的的商商商商域域域域，它它它它包包包包含含含含Z Z的最小域。的最小域。的最小域。的最小域。第30页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.4.48.4.4 给定环给定环给定环给定环 ，则，则，则，则 为域为域为域为域n n为素数。为素数。为素数。为素数。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。定定定定理理理理8.4.58.4.5 给给给给定定定
32、定可可可可交交交交换换换换含含含含幺幺幺幺环环环环，则则则则 为域为域为域为域 不具有真理想。不具有真理想。不具有真理想。不具有真理想。第31页，本讲稿共37页8.5 有限域有限域定定定定义义义义8.5.18.5.1 给给给给定定定定域域域域，若若若若|F F|n n，n n N N+，则则则则称称称称 是是是是有有有有限限限限域域域域，或或或或伽伽伽伽罗罗罗罗瓦瓦瓦瓦(GaloisGalois)域。域。域。域。根根根根据据据据8.48.4节节节节中中中中定定定定理理理理8.4.48.4.4可可可可知知知知，当当当当p p是是是是素素素素数数数数时时时时，是有限域，并记为是有限域，并记为是有限
33、域，并记为是有限域，并记为GFGF(p p)。GFGF(p p)表表表表 明明明明 了了了了，若若若若 p p是是是是 素素素素 数数数数 时时时时，则则则则F F=0,1,2,=0,1,2,p p-1-1在在在在modmod p p的的的的意意意意义义义义下下下下关关关关于于于于加加加加法法法法+和和和和乘乘乘乘法法法法 构成域。构成域。构成域。构成域。第32页，本讲稿共37页定义定义定义定义8.5.28.5.2 设设设设 是域，是域，是域，是域，E E F F。若对。若对。若对。若对任意任意任意任意a a,b b E E，有，有，有，有a a-b b E E，且当，且当，且当，且当b b
34、0 0时有时有时有时有a a b b-1-1 E E，则称，则称，则称，则称 是域是域是域是域 的子域，称的子域，称的子域，称的子域，称 是域是域是域是域 的扩张。也简称的扩张。也简称的扩张。也简称的扩张。也简称E E是是是是F F的的的的子域，子域，子域，子域，F F是是是是E E的扩张。若的扩张。若的扩张。若的扩张。若,+,是域，是域，是域，是域，且且且且F F=E E ，则，则，则，则F F是是是是E E的单扩张，并记为的单扩张，并记为的单扩张，并记为的单扩张，并记为F F=E E()，称，称，称，称 是是是是F F关于关于关于关于E E的本原元素。的本原元素。的本原元素。的本原元素。第
35、33页，本讲稿共37页定义定义定义定义8.5.38.5.3 若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。域，或只有自身做子域的域，称它为素域。例如，实数域例如，实数域例如，实数域例如，实数域R R中的在理数域中的在理数域中的在理数域中的在理数域Q Q是素域，是素域，是素域，是素域，是素域。是素域。是素域。是素域。定理定理定理定理8.5.18.5.1 任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个
36、且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域第34页，本讲稿共37页定定定定义义义义8.5.48.5.4 设设设设 是是是是域域域域，e e是是是是其其其其单单单单位位位位元元元元。若若若若e e的的的的任任任任意意意意倍倍倍倍均均均均异异异异于于于于0 0，则则则则称称称称该该该该域域域域的的的的特特特特征征征征数数数数是是是是0 0；若若若若e e的某素数的某素数的某素数的某素数p p倍是倍是倍是倍是0 0，称该域特征数是，称该域特征数是，称该域特征数是，称该域特征数是p p。从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：定定定定理理理理8.5.28.5.2 设设设设素
37、素素素域域域域 的的的的特特特特征征征征数数数数是是是是p p，则则则则 ；若若若若特特特特征征征征数数数数是是是是0 0，则则则则 。注注注注意意意意域域域域与与与与其其其其子子子子域域域域的的的的单单单单位位位位元元元元是是是是一一一一致致致致的的的的，可可可可见见见见域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相同的。域与其子域的特征数是相同的。第35页，本讲稿共37页定理定理定理定理8.5.38.5.3 设设设设 是域，是域，是域，是域，n n是整数，是整数，是整数，是整数，对任意非零元对任意非零元对任意非零元对任意非零元a a F F，若特征数是，若特
38、征数是，若特征数是，若特征数是0 0，则，则，则，则nana=o o iffiff n n=0=0；若特征数是；若特征数是；若特征数是；若特征数是p p，则，则，则，则nana=0=0 iffiff n n 0(mod 0(mod p p)。由由由由定定定定理理理理可可可可知知知知，特特特特征征征征数数数数是是是是单单单单位位位位元元元元的的的的性性性性质质质质，也也也也是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。是域中任意元的公共性质。定定定定理理理理8.5.48.5.4 设设设设 是是是是有有有有限限限限域域域域，其其其其素素素素域域域域，|F F|=|=q q
39、，则则则则特特特特征征征征数数数数p p 0 0，且且且且q q=p pn n，其其其其中中中中n n是是是是F F关于关于关于关于E E的底之元数。的底之元数。的底之元数。的底之元数。第36页，本讲稿共37页定定定定理理理理8.5.58.5.5 设设设设 是是是是域域域域，|F F|=|=q q，则则则则F F的元是由多项式的元是由多项式的元是由多项式的元是由多项式x xq q-x x的根所组成。的根所组成。的根所组成。的根所组成。定定定定理理理理8.5.68.5.6 元元元元数数数数相相相相等等等等的的的的有有有有限限限限域域域域是是是是同同同同构构构构的的的的。在在在在同同同同构构构构意意意意义义义义下下下下，只只只只有有有有唯唯唯唯一一一一的的的的元元元元素素素素是是是是p pn n的的的的有有有有限限限限域域域域，其中其中其中其中p p为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为GFGF(p pn n)。第37页，本讲稿共37页